Графы Информация и информационные процессы 10 класс

Графы

Информация и информационные процессы, 10 класс 2 Графы «От посёлка Васюки три дороги идут в посёлки Солнцево, Грибное и Ягодное. Между Солнцевым и Грибным и между Грибным и Ягодным также есть дороги. Кроме того, есть дорога, которая идет из Грибного в лес и возвращается обратно в Грибное» . ? Как структурировать? К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 3 Графы Солнцево A C B D Грибное Васюки Ягодное ! Граф – это конечная совокупность вершин и связей между ними (рёбер). Мультиграф – граф в котором пара вершин соединена несколькими рёбрами К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

Количество рёбер, выходящих из одной вершины называется степенью этой вершины 3 Ребра соединяющие одну и ту же пару вершин называются кратными А B C Рёбра имеющие общую вершину называются смежными Вершины соединённые ребром называются смежными E D Ребро соединяющее вершину саму с собой называют петлёй

Теорема о сумме степеней вершин графа для неориентированного графа Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа без петель) — равна удвоенному числу рёбер 1. Если взять вершины, вообще не связанные друг с другом, то сумма степеней этих вершин равна нулю. 2. Прибавляя любое ребро, которое связывает две вершины, увеличиваем сумму всех степеней на 2 единицы. 3. Таким образом, сумма всех степеней вершин четна и равна удвоенному количеству рёбер.

Доказательство 12 2 1 12 3 13 6 4 1 5 3 1 1 2

Доказательство 12 2 1 1 12 3 13 5 3 1 6 4 1 2

Лемма о рукопожатиях В любом графе число вершин нечётной степени чётно. 1. Сумма степеней всех вершин в графе (или мультиграфе без петель) должна быть четной. 2. Удаляя из этой суммы степени четных вершин, получим, что сумма степеней нечетных вершин, должна быть четной. 3. Значит, само число таких вершин должно быть четным. Лемма доказана. В любой момент времени количество людей, сделавших нечетное число рукопожатий, чётно

Теорема о существовании вершин одинаковой степени В любом графе есть по крайней мере две вершины, имеющие одинаковую степень.

Теорема о существовании вершин одинаковой степени

Информация и информационные процессы, 10 класс 17 Матрица и список смежности Матрица смежности A C D B A B C D Список смежности ( A B C D (B, (A, (B, К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 A 0 1 1 0 B 1 0 1 1 C 1 1 D 0 1 1 0 петля C), C, D), B, С, D), C) ) http: //kpolyakov. spb. ru

Способы представления графа в информатике Матрица смежности - бинарная матрица каждой ячейке которой записывается число, определяющее наличие связи от вершины-строки к вершине-столбцу (либо наоборот). • Это наиболее удобный способ представления плотных графов. • Недостатком являются требования к памяти, прямо пропорциональные квадрату количества вершин.

Способы представления графа в информатике Список смежности —каждой вершине графа соответствует список, состоящий из "соседей" этой вершины. • Реализация предложенная Гвидо ван Россумом использует хэш-таблицу для ассоциации каждой вершины со списком смежных вершин. Нет явного представления рёбер в этой структуре • Кормен и другие предложили реализацию в которой вершины представлены числовым индексом в массиве, в котором каждая ячейка массива ссылается на однонаправленный связанный список соседних вершин. • Объектно ориентированный список смежности, предложенный Гудричем и Таммасией, содержит специальные классы вершин и рёбер. Каждый объект вершины содержит ссылку на коллекцию рёбер. Каждый объект ребра содержит ссылки на исходящую и входящую вершины.

• Маршрутом в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершиной ребром. • Цепью называется маршрут без повторяющихся рёбер. • Ориентированным маршрутом (или путём) в орграфе называют конечную последовательность вершин и дуг, в которой каждый элемент инцидентен предыдущему и последующему. • Циклом называют цепь, в которой первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. • Путь (или цикл) называют простым, если рёбра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются.

Информация и информационные процессы, 10 класс 21 Постройте матрицу смежности, найдите её порядок и размер A D C B A B C D К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 C A B D D C A B C D http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 22 Постройте матрицу смежности A A D D B C B A B C D К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 C C D A B C D http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 23 Нарисуйте граф A A B C D 0 1 1 B 0 1 0 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 C 1 1 0 D 1 0 0 A A B C D 1 0 1 B 1 1 0 C 0 1 D 1 0 1 1 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 24 Нарисуйте граф A B C D E A B 0 0 1 1 1 0 0 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 C D E 1 1 0 1 0 A B C D E A B 0 0 1 1 1 0 C D E 1 1 0 0 0 1 0 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 25 Нарисуйте граф A B C D E A B 0 0 1 1 1 0 1 1 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 C D E 1 1 0 1 0 A B C D E A B 0 0 0 1 1 0 0 1 C D E 0 1 0 1 0 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 26 Связность графа A B C D ! Связный граф – это граф, между любыми вершинами которого существует путь. Солнцево A C B D Грибное Васюки Ягодное компоненты связности К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 27 Дерево – это граф? ! Дерево – это связный граф без циклов (замкнутых путей). A A C B D D B ABC BCD ABDC CCC… К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 H C E F G J дерево http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 28 Взвешенные графы 2 Солнцево 12 8 A Грибное 5 B Ягодное Васюки 2 C 5 12 4 8 4 6 D 6 вес ребра Весовая матрица: К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 A A B C D 12 8 B 12 5 6 C 8 5 2 4 D 6 4 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 29 Постройте весовую матрицу A 1 B 1 A A 4 3 1 C 2 B C A B C D К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 3 D 2 B D D C 4 A B C D http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 30 Постройте весовую матрицу 2 A D 1 1 B A 4 B A B C D К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 1 D 2 1 B C C A 3 C A B D 4 C D A B C D http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 31 Нарисуйте граф A A B C D B 4 C 3 4 3 D 2 6 2 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 6 A A B C D B C 2 2 3 4 D 3 4 5 5 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 32 Нарисуйте граф A B C D E A B 4 4 3 2 7 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 C D E 3 7 2 6 6 1 1 A B C D E A B 2 2 5 3 6 C D E 5 6 3 1 1 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 33 Нарисуйте граф A B C 2 D 2 E 6 2 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 C D E 2 2 6 2 2 2 A B C D E A B 5 5 2 5 6 C D E 2 6 5 2 2 3 3 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 34 Кратчайший путь (перебор) A B 2 C 4 1 D E 6 C D E 4 6 1 5 3 1 3 Определите кратчайший путь между пунктами A и D. 2 B A 4 С 2 6 E 4 1 С 5 D 8 1 С 3 6 3 7 D 9 1 E 4 3 дерево возможных путей К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 D 7 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 35 Кратчайший путь A B 2 C 4 1 D 7 E C D E 4 1 7 3 5 3 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 Определите кратчайший путь между пунктами A и E. http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 36 Кратчайший путь A B C 3 D 1 E 4 C D E 3 1 4 2 2 2 Определите кратчайший путь между пунктами A и B. 2 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 37 Кратчайший путь A B C 3 D 1 E 1 4 C D E 3 1 1 4 2 Определите кратчайший путь между пунктами A и B. 2 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 38 Кратчайший путь A B C 3 D 1 E 4 4 C D E 3 1 4 4 2 2 2 Определите кратчайший путь между пунктами A и B. 2 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 39 Кратчайший путь A B C D 1 E 4 1 C D E 1 4 2 4 2 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 Определите кратчайший путь между пунктами A и B. http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 40 Ориентированные графы (орграфы) Рёбра имеют направление (начало и конец), рёбра называю дугами. Солнцево 12 8 Грибное 5 Ягодное 6 ! Весовая матрица может быть несимметрична! К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 A A B C D B A 12 C 5 12 4 Васюки 8 4 D 6 B 12 C 8 5 4 D 6 4 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 41 Нарисуйте орграф A B 2 C 3 D 1 E К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 C D E 3 1 4 2 2 A B C 3 D E 4 2 C D E 5 1 6 4 3 3 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 42 Нарисуйте орграф A B C D E 4 4 К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 C D E 3 1 4 4 2 2 2 A B C 3 D 1 E 1 4 2 1 C D E 1 4 2 4 2 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 43 Количество путей из А в Ж Б 1 1 Д 1+1+1=3 1 А 1+1+3=7 Ж Г В 1 Е 1 ! NЖ= NД + NБ + NГ + NВ + NЕ К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 44 Количество путей из А в К Д Б B Е А Г К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 З Ж К И http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 45 Количество путей из А в К Д Б B Е А Г К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 З Ж К И http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 46 Количество путей из А в К Е Б B Ж А К Г Д К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 З И http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 47 Количество путей из А в К Е Б B Ж А К Г Д К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 З И http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 48 Количество путей из А в Л не через В Сколько существует различных путей из города А в город Л, не проходящих через B? Д Б Ж В А Г К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 И Е Л К http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 49 Количество путей из А в Л через Д Сколько существует различных путей из города А в город Л, проходящих через Д? Д Б Ж В А Г К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 И Е Л К http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 50 Количество путей из А в Л через Д Сколько существует различных путей из города А в город Л, проходящих через Д? Д Б И Ж В А Г К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 Е Л К http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 51 Конец фильма ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич д. т. н. , учитель информатики ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург kpolyakov@mail. ru ЕРЕМИН Евгений Александрович к. ф. -м. н. , доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь eremin@pspu. ac. ru К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru

Информация и информационные процессы, 10 класс 52 Источники иллюстраций 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. http: //overhealth. ru https: //ufhealth. org http: //wmposters. com http: //ozon. ru http: //www. bikeshot. ru http: //ru. wikipedia. org http: //salestores. com http: //gimp-werkstatt. de http: //frontal-cortex. tumblr. com http: //www. intermedia. kg http: //pc-azbuka. ru авторские материалы К. Ю. Поляков, Е. А. Ерёмин, 2013 http: //kpolyakov. spb. ru