Графики математических функций. Гипербола
ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ Одним из первых, кто начал изучать конические сечения — эллипс, парабола, гипербола, был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IV в. до н. э. ). Решая задачу об удвоении куба, Менехм задумался: «А что случится, если разрезать конус плоскостью, перпендикулярной его образующей? »
ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ Так, изменяя угол при вершине прямого кругового конуса, Менехм получил три вида кривых: эллипс — если угол при вершине конуса острый; парабола — если угол прямой; одну ветвь гиперболы — если угол тупой. Название этих кривых придумал не Менехм.
ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ Названия предложил один из крупнейших геометров древности Аполлоний Пергский, посвятивший замечательным кривым трактат из восьми книг «Конические сечения» ( «О кониках» ). Семь книг сохранились, три из них — в арабском переводе. Первые четыре книги содержат начало теории и основные свойства конических сечений. Это — трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса, где изложение доведено до исследования эволют конического сечения.
ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ Аполлоний показал, что кривые можно получить, проводя различные сечения одного и того же кругового конуса, причем любого. При надлежащем наклоне секущей плоскости удается получить все типы конических сечений. Если считать, что конус не заканчивается в вершине, а проектируется на нее, тогда у некоторых сечений образуется две ветви.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГИПЕРБОЛА Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , называется гиперболой. Однако это —частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола). Определение: гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности которых до двух данных точек (F 1 и F 2), называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2 а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами (2 c).
ЭЛЕМЕНТЫ ГИПЕРБОЛЫ Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью (2 а) гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы), а половина действительной оси – действительной полуосью (а). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (2 b) (в канонических координатах – ось Оу), а половина мнимой оси – мнимой полуосью (b). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси. Прямоугольник со сторонами 2 а и 2 b называется основным прямоугольником гиперболы.
ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ ЕСЛИ К>0 1. Построим простейший график функции y = 1/x ООФ: х не равен 0 МЗФ: у не равен 0 y = k/x - нечетная
ПОСТРОЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ ЕСЛИ К<0 1. Построим простейший график функции y = -2/x ООФ: х не равен 0 МЗФ: у не равен 0 y = -k/x - нечетная
АСИМПТОТА Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат (см. рис. 1). Асимптота кривой, имеющая бесконечную ветвь — это прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.
СВЯЗАННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями. Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами. Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы. Середина большой оси называется центром гиперболы. Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы. ◦Обычно обозначается a. Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием. ◦Обычно обозначается c.
СВЯЗАННЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы. Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр называется мнимой или сопряженной осью гиперболы. Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром: Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром. ◦Обычно обозначается b. • Уравнения директрис:
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Примером является зона слышимости звука пролетающего самолета. Если самолет движется со сверхзвуковой скоростью, то в воздухе зона слышимости образует конус. Поверхность Земли может приближенно считаться плоскостью, рассекающей этот конус. Если гиперболу вращать вокруг ее оси, проходящей через фокусы, то получающаяся поверхность будет называться двуполостным гиперболоидом, потому что состоит из двух полостей: одна – рассмотренная нами, а вторая получается от вращения второй ветви гиперболы. Если же вращать гиперболу вокруг второй ее оси, то получится поверхность, называемая однополостным гиперболоидом. Такую форму имеют секции Шаболовской радиобашни в Москве.
ПРЕЗЕНТАЦИЮ ВЫПОЛНИЛИ: УЧЕНИЦЫ 10 «Б» КЛАССА ЯКУБОВСКАЯ КСЕНИЯ ЛЕПЕШКО ЕКАТЕРИНА
Скачать презентацию Графики математических функций Гипербола ИСТОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ
Гипербола 2007.pptx