Графическое описание распределения случайной величины Дискретная случайная величина

Графическое описание распределения случайной величины Дискретная случайная величина: Х – оценка, полученная на экзамене Распределение случайной величины: Х 1 2 3 4 5 ni 0 12 35 38 15 pi 0 0. 12 0. 35 0. 38 0. 15

Графическое описание распределения случайной величины Непрерывная случайная величина: Х – температура тела человека Распределение случайной величины: X ≡ Т 35, 5÷ 36 36÷ 36, 5÷ 37 37, 0÷ 37, 5÷ 38 ni 5 30 52 10 3 pi 0. 05 0. 3 0. 52 0. 1 0. 03 Гистограмма распределения Плотность распределения вероятности случайной величины Х

Функция распределения случайной величины Непрерывная случайная величина: Х – температура тела человека Количество человек, у которых температура не более T*: X ≡ Т 36 36, 5 37 ni* 5 (5+30)= 35 (5+30+52)= (5+30+52+10)= 87 97 (5+30+52+10+3)= 100 wi* 0. 05 0. 35 0. 87 1. 00 37, 5 0. 97 Гистограмма накопленных относительных частот случайной величины Х 38 Функция распределения вероятности случайной величины Х

Числовые характеристики случайных величин • Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины (ожидаемое значение) Дискретная СВ: Непрерывная СВ: - Определяется с помощью - Математическое ожидание СВ равно интегрирования функции сумме всех ее возможных значений, плотности распределения умноженных на вероятности этих вероятностей значений Свойства математического ожидания M(C)=C M(X+Y)= M(X)+M(Y) M(CX)=CM(X). M(X×Y)= M(X)M(Y), (если X и Y – независимые СВ)

Числовые характеристики случайных величин • Мода (M*) – характеризует значение случайной величины, реализующееся с наибольшей вероятностью • Медиана (μ) – значение случайной величины, для которого вероятность того, что СВ не превзойдет это значение, равна 0, 5 (площадь под кривой распределения плотности вероятности делит пополам)

Числовые характеристики случайных величин • Дисперсия и стандартное отклонение – характеризуют степень разброса случайной величины относительно ее математического ожидания Дисперсия случайной величины X – математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожида Обозначается: D(Х), или σ2 Дискретная СВ: - Дисперсия равна сумме квадратов отклонений отдельных значений случайной величины от ее математического ожидания, умноженных на вероятности этих значений Часто используется формула: Непрерывная СВ: - Определяется с помощью интегрирования функции плотности распределения вероятностей

Числовые характеристики случайных величин Стандартное отклонение случайной величины X – корень квадратный из дисперсии Имеет размерность случайная величины. Показывает, на какую величину в среднем отличаются значения случайной величины от ее математического ожидания. Коэффициент вариации случайной величины X - безразмерная величина, характеризует стандартное отклонение в долях от математического ожидания Свойства дисперсии D(C)=0, D(CX)= C 2 D(X). D(X+Y)= D(X)+D(Y), если X и Y – независимые СВ

Числовые характеристики случайных величин (пример) Дискретная случайная величина: Х – оценка, полученная на экзамене Распределение случайной величины: Х 1 2 3 4 5 ni 0 12 35 38 15 pi 0 0. 12 0. 35 0. 38 0. 15

Нормальное распределение • Случайная величина X распределена по нормальному закону (закону Гаусса) с параметрами m и σ ( ), если ее плотность распределения вероятностей задается выражением: • График плотности распределения вероятности (нормальная кривая):

Нормальное распределение Свойства нормального распределения • При любом x p(x)>0; • Наибольшая плотность распределения достигается при значении СВ, равном математическому ожиданию m; • Значения СВ, достаточно удаленные от математического ожидания, встречаются очень редко (их вероятность стремится к нулю) • Кривая плотности распределения СВ симметрична относительно математического ожидания m; • Площадь под всей кривой плотности распределения равна 1; • Положение кривой плотности нормального распределения на оси x определяется значением математического ожидания m; • Степень концентрации случайной величины вокруг значения математического ожидания определяется параметром σ; • Большинство значений случайной величины сосредоточено вблизи ее математического ожидания m.

Нормальное распределение Свойства нормального распределения N (m, σ) N(1, 0. 5) N (m, σ) N(1, 1) N(2, 1) N(1, 2)