Графический подход решения В мире проблем ! C 5 к ЕГЭ . "Мой университет" - www. moimummi. ru
4 C 5. Графический подход Задача: Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение: |x + 2 y + 1| ≤ 11 ❶ (x - a)2 + (y - 2 a)2 = 2 + a ❷ ❶ - 11 ≤ x + 2 y + 1 ≤ 11 ● 5 ! x + 2 y + 1 ≤ 11 y ≤ - 0, 5 x + 5 ! x + 2 y + 1 ≥ -11 y ≥ - 0, 5 x ─ 6 2 строим полоса ● Центр С(а; 2 а) R² = 2 + a y = 2 x Решение: P K ● C● ● C Точка касания ? ● C ● y= ❷окружность ● 1 2 x -12 ● -6 "Мой университет" - www. moimummi. ru ● 10 Касание полосы и окружности
5 Решение: С ❶ случай (●)Р y = - 0, 5 x + 5 (●)Р (2; 4) y = 2 x лежит на окружности (x - a)2 + (y - 2 a)2 = 2 + a подставим (2 - a)2 + (4 - 2 a)2 = 2 + a ≥ 0 ❷случай (●) К аналогично❶ а₁ = 3 а₂ = 1, 2 y = - 0, 5 x ─ 6 (●) К (-2, 4; -4, 8) y = 2 x (-2, 4 - a)2 + (-4, 8 - 2 a)2 = 2 + a 5 a 2 + 23 a + 28, 4 = 0 Ответ: а₁ = 3 "Мой университет" - www. moimummi. ru D < 0 ø а₂ = 1, 2
По определению модуля: 3|x - 2| + |y| = 3 3(-x + 2) - y = 3 y = -3 х + 3 3(-x + 2) + y = 3 x - 3 3(x - 2) + y = 3 y = -3 х + 9 3(x - 2) - y = 3 x - 9 6 ● 9 строим ❷ ❶ ● ● 3 2 -е уравнение: ax - y + 2 a + 2 = 0 ● Выразим у у = -ах - 2 а - 2 - прямая 2 решения: x = 2 -3 < у < 3 -3 < -2 а - 2 < 3 -1 < -4 а < 5 Найти все значения параметра a, при которых система уравнений 3|x - 2| + |y| = 3 имеет ровно ax - y + 2 a + 2 = 0 ДВА решения. "Мой университет" - www. moimummi. ru ● 1● ● ● 3 2 ● ● ● -3 ● -9 ● ❶ ❷ Ø - ⁵⁄₄ <а < ¹⁄₄
7 С 5. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение. По определению модуля: Заметим: x – 9, если х ≥ 0 , |x| – 9 = – x – 9, если х ˂ 0 , х² = ( – х)² = ( – 1∙ х)² = ( – 1)² ∙ х² = х² (– x – 9) ² = (-(х+9))² =( – 1)²∙(х+9)² = (х+9)² х ≥ 0 (х – 9)² + (у – 5)² = 9 центры (- х+– 9)² ++(у –– 5)² ==99 (х 9)² (у 5)² График уравнения - совокупность двух окружностей. R = 3 (9; 5) "Мой университет" - www. moimummi. ru х ˂0 (-9; 5)
8 Первыеуравнение системы: График 1 -го уравнения системы: Второе уравнения (х + 9)² + (у – 5)² = 9 Центр (-9; 5) BC² = 61 первый ответ: у (х – 9)² + (у – 5)² = 9 Центр (9; 5) АС = 13 окружность Центр (-3; 0) Радиус МЕНЯЕТСЯ 5 В R=3 B ● 3 R=3 А ● 3 13 -9 ед т инс в ная ен -6 С ● -3 О 1 6 12 "Мой университет" - www. moimummi. ru 9 12 х Второй случай R=а
При каких значениях параметра a система уравнений x² +12 x +36 +1 + y² - 4 y + 4 - 4 = 5 a (x + 6)² + (y - 2)² = 5 a + 3 окружность Центр (-6; 2) Радиус R=√ 5 а+3 = OK меняется K - точка O ● ● A(-5; 2) ● 2 касания ● ● K B(-6; 1) -3 ● имеет единственное решение? ❶ ❷ x+3≥ 0 y+3˂0 x≥-3 y˂-3 x+3+y+3=7 x+3 -y-3=7 y=-x+1 y=x-7 -6 лежат на прямой ❸ -3 ∆ОАК R² + R²= 1, прямоугольный, равнобедренный a = -¹⁄₂ ❸ ❹ x+3˂0 y+3≥ 0 y+3˂0 x˂-3 y≥-3 y˂-3 -x-3 +y+3=7 -x-3 -y-3=7 - www. moiy=x+7 y=-x-13 "Мой университет" mummi. ru 9
10 Найти значения а, при которых уравнение 2 имеет более двух корней. х+1 = a|x-5| на [0; + ∞) Корни - абсциссы точек пересечения f(x)= 2 х+1 гипербола 5 на [0; + ∞] f(x) g(x) =a|x-5| y = x-5 y = |x-5| a(5 -x) a(x-5) ❶ 2● 0, 5 величина «УГОЛКА» модуля зависит от а при х = 0 → а = ²⁄₅ 3 корня 2 корня левый луч «УГОЛКА» ● ●❷ 3 ❸ 5 ●● Должны выполняться условия: касается гиперболы 1 корень 2 корня Определим точку касания f(x) = g(x) f ′(x) =g ′(x) 2 х+1 = a(5 -x) – левый -2 луч =-a (х+1)² -5 2 = 2(5 -x) х+1 |∙ 2 1= 5 -x х = 2 в точке касания а = ²⁄₉ (2 корня) х+1 (х+1)² х+1 Ответ: лучи «УГОЛКА» а Є (²⁄₉; ²⁄₅] "Мой университет" - www. moimummi. ru ЕГЭ. 07. 06. 12. Кузбасс
Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 4 x² + 4 ax + a² - 2 a +2 на множестве 1 ≤ |x| ≤ 3 не меньше 6. х ≥ 0, 1 ≤ х ≤ 3 ❶ По определению модуля: |x| = х ˂ 0, 1 ≤ – х ≤ 3, -3 ≤ х ≤ -1❷ //////// 6 ● Выделим полный квадрат: f(x) = (2 x+a)² -2 a+2 y = 4 x² 4(x+¹⁄₂a)² -2 a+2 исходная вершина решение зависит х₀ =-¹⁄₂а у₀ = -2 а+2 от положения 4 ● ● -3 0 ● ● ● -1 1 11 ● 3 Исследуем: параболы ❶ ❺ -1≤-¹⁄₂а ≤ 1 ❷ -3≤-¹⁄₂а ≤-1 ❸ ❹ 1≤-¹⁄₂а≤ 3 -¹⁄₂а≥ 3 -¹⁄₂а ≤-3 f(-1) ≥ 6 f(-¹⁄₂a) ≥ 6 f(3) ≥ 6 f(-3) ≥ 6 f( 1) - 6 для сверки "Мой (─∞; -2]U{0}U[7+√ 17; +∞) университет"≥www. moiответ mummi. ru
12 Для сверки: f(x) = 4 x² + 4 ax + a² - 2 a +2 а≥-6 a² - 14 a + 32 ≥ 0 f(-3) = a² - 14 a + 38 2≤а ≤ 6 f(-¹⁄₂a) = -2 a + 2 f(-1) = a² - 6 a + 6 f(1) = a² + 2 a + 6 f(3) = a² + 10 a + 38 "Мой университет" - www. moimummi. ru а ≤-6 -2≤а ≤ 2 a² - 6 a≥ 0 a² + 2 a≥ 0 -6≤а ≤-2 а ≤-6 a² + 10 a + 32 ≥ 0
При каких a уравнение |x² -2 x -3| -2 a = |x – a| -1 ❶ имеет ровно три корня? Нули y ось вершина ❸ y=-x, х˂0 4● ● ●К ❷ ● ● ❶ ● -1 ❸ ● ● 3 ● y=x, х≥ 0 |x² -2 x -3| = |x – a|+ 2 a - 1 y = |x² -2 x -3| y = |x – a|+ 2 a - 1 модуль «линейная» Пусть а = 0 y = |x| - 1 - «угол» y₁= -x+a+2 a-1 y₂= x-a+2 a-1 y₁ = -x+ 3 a -1 по ней х = а → у = 2 х-1 двигаем (0; -1) и (2; 3) К- точка касания или (-1; 0) прямая - её координаты ❶ ❷ -4 ● ● y = x² -2 x -3 y = -x² +2 x +3 13 Очевидно, а = 0 у′ = k - касательной -2 x + 2 = - 1 x = 1, 5 у′ =(-х²-2 х-3)′ у = 3, 75 y₁= -x +a+2 a -1 3, 75 = -1, 5 + 3 а -1 а = ²⁵⁄₁₂ "Мой университет" - www. moimummi. ru
14 картинка C 5. Лучи «уголка» касаются окружности Найдите все значения а, при каждом из которых система (x - 4)2 + (y - 6)2 = 25, (1) y = |x - a| + 1. (2) имеет ровно три различных решения. ● (1) ● ● ●С 6 ❷ ● В ● 1 tk ● t В (4 -k - ● k 4 k ; 1 ) ● ❶ A ● ● k t t Окружность с центром С(4; 6), R=5 (2) a) y = Ix. I б) y = Iх - а. I Перемещение «уголка» вдоль ОХ б) y = Iх – а. I + 1 по прямой у=1 Возможные случаи для трёх решений ❶ Правый луч «уголка касается окр-ти левый луч - пересекает Решение ❷ случай ❸ случай Координаты А (4+k ; 1 продолжим "Мой университет" - www. moimummi. ru ) Подставив k в (2) → а Подставив (1) k
15 продолжим ❶ А (4+k (k ; 1 )²+ (- 5 ) в уравнение (x - 4)2 + (y - 6)2 = 25 (1) )² =25, k² + k²√ 2 + 0, 5 k² + 25 - 5 k√ 2 + 0, 5 k² = 25 2 k² + k²√ 2 - 5 k√ 2 = 0 K(2 k + k√ 2 - 5√ 2) = 0 K=0 Случай ❸ C (4; 1) 2 k + k√ 2 = 5√ 2 K = 5√ 2 2 + √ 2 ❶А K = 5√ 2 -5 y = |x - a| + 1 (2) 1=4 -a+1 а=4 ❷ В (4 -k аналогично y = x - a + 1 – правый луч «уголка» = 4+k 1 ; 1 ) -а+1 а=4+k а = 5√ 2 -1 y = |x - a| + 1 (2) y = - x + a + 1 – левый луч «уголка» а = 9 - 5 √ 2 Ответ: "Мой университет" - www. moimummi. ru
Скачать презентацию Графический подход решения В мире проблем C
Гафический способ решения задач с параметрами.pptx