Граф как форма представления бинарного отношения Тема 6

Граф как форма представления бинарного отношения Тема 6

Отношения. Формы представления o Отношение – подмножество декартова произведения множеств Rn X 1 X 2 … Xn o В случае использования 2 х множеств отношение называется бинарным: R X Y (X и Y могут совпадать) o Формы представления бинарного отношения: n Теоретико-множественная n Проекции (срезы, сечения) o Верхний (прямой) – проекция по X o Нижний (обратный) – проекция по Y n Граф G= n Матрица смежности Aсм o вершин o ребер (дуг) n Интенсиональная форма n Матрица инцидентности Aи n Список инциденций

История теории графов o Задача о Кенигсбергских мостах (решена Эйлером в 1736) o Задача о трех домах и трех колодцах (решена Куратовским в 1930) o Задача о четырех красках (предложена Ф. Гутри в 1852 году, не решена) o 1936: монография Кёнига «Теория конечных и бесконечных графов»

Свойства элементов графа o Смежность. o Инцидентность. o Степень вершины (валентность): n полустепень захода; n полустепень исхода. o Теорема: в конечном графе число вершин нечетной степени четно. o Кратность дуги.

Полнота графа o Нуль-граф (нулевая полнота) n «быть несравнимым» o Единичный граф n «быть равным» o Универсальный граф n полный o «быть сравнимым со всеми» n слабополный o «быть не равным» n однонаправленный полный

Виды графов o По наличию ориентации дуг: o По возможности расположения n ориентированный, на плоскости: n неориентированный, n плоские (планарные), n смешанный. n неплоские. o По кратности дуг: o По дополнительным пометкам: n граф с одиночными дугами, n помеченный n мультиграф. n взвешенный o По однородности структуры дуг: n со взвешенными вершинами n граф с однородными ребрами, o со взвешенными ребрами n гиперграф. o полностью взвешенный o По регулярности структуры графа: o Двудольный (N-дольный) граф. n регулярные (однородные), o Звездный граф. n нерегулярные (неоднородные). o Граф-кольцо.

Части графа o Дан граф G=. Граф H= может быть: o частью G; o суграфом G (в том числе нулевой); o покрывающим суграфом G; o остовом G; o подграфом G; o кликой G; o звездным подграфом.

Элементарные свойства графов o Относительно наличия петель, граф может быть: n рефлексивным, n нерефлексивным, n антирефлексивным. o Относительно наличия дуг и ребер: n симметричным, n несимметричным, n антисимметричным. o Относительно наличия дуг, замыкающих пары: n транзитивным, n нетранзитивным, n антитранзитивным.

Неэлементарные свойства Рефлек- Симмет- Транзи- сивность ричность тивность Эквивалентность Строгий порядок Нестрогий порядок Слабый порядок (доминирование) Безразличие (толерантность)

Операции над графами o Унарные n Дополнение n Обратное отношение n Двойственное отношение n Сужение на множество вершин o Бинарные n Объединение n Пересечение n Разность n Симметрическая разность n Композиция