Градиентный метод решения задач Выполнил студент группы 816

Градиентный метод решения задач Выполнил студент группы 816 Мусеев Герман

Градие нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма» . Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл. Однако утверждение, что градиент есть истинный вектор, все-таки не корректное, поскольку согласно «градиент функции при заменах координат преобразуется иначе, чем вектор» .

Градиентный метод первого порядка При оптимизации методом градиента оптимум исследуемого объекта ищут в направлении наиболее быстрого возрастания (убывания) выходной переменной, т. е. в направлении градиента. Но прежде чем сделать шаг в направлении градиента, необходимо его рассчитать. Градиент можно рассчитать либо по имеющейся модели grad y(X)= Где - частная производная по i-му фактору; i, j, k – единичные векторы в направлении координатных осей факторного пространства, либо по результатам n пробных движений в направлении координатных осей.

Пример. Минимизировать функцию при ограничениях

Решение. Систему ограничений запишем в виде Определим градиент целевой функции Определим стационарную точку

Данная точка не является допустимой, так как не удовлетворяет системе ограничений. Следовательно, внутри области допустимых решений экстремума целевой функции нет, глобальный экстремум может достигаться только на границах или в вершинах области решений. Рассмотрим граничную линию Составим для нее систему где Имеем откуда получаем

Так как точка удовлетворяет системе ограничений и то данная точка является стационарной. Таким же способом находим остальные граничные линии. В последней граничной линии стационарных точек на грани нет так как Решая систему уравнений граничных линий, находим угловые точки области допустимых решений Находим значения в этих точках и ранее найденной точке Следовательно при

Спасибо за внимание и за то что не уснули. Ну или уснули