ГОУ ВПО Воронежская государственная технологическая академия Кафедра процессы

ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия» Кафедра процессы и аппараты химических и пищевых производств Курс лекций по дисциплине Процессы и аппараты пищевых производств Лекция № 2 Гидродинамика Профессор Остриков А. Н.

ЗАДАЧИ ГИДРОДИНАМИКИ Внутренняя задача Смешанная задача связана с анализом движения решается при движении жидкости через жидкостей внутри труб и каналов зернистый слой твердого материала, когда она перемещается как внутри каналов сложной изучает закономерности обтекания Внешняя формы, так и одновременно обтекает твердые жидкостями различных тел (при задача частицы. Такие условия наблюдаются в механическом перемешивании, процессах фильтрования, массопередачи в осаждении твердых частиц в жидкости и т. п. ). аппаратах с насадками, сушки и т. д. Анализ движения жидкостей в случаях такой смешанной задачи гидродинамики проводят приближенно, сводя его к решению внутренней или внешней задачи.

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ СКОРОСТЬ И РАСХОД ЖИДКОСТИ Q – объемный расход, м 3/c; S – площадь живого сечения потока жидкости, м 2 Скорость жидкости (м/с) Объемный расход (м 3/c) Массовый расход (кг/c) – плотность жидкости, кг/м 3 Массовая скорость жидкости (кг/(м 2 с))

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАДИУС Гидравлический радиус (м) S – площадь сечения потока жидкости, м 2 П – смоченный периметр, м Для круглой трубы с внутренним диаметром d Диаметр, выраженный через гидравлический радиус, представляет собой эквивалентный диаметр Для канала прямоугольного сечения со сторонами а и b, полностью заполненного жидкостью

УСТАНОВИВШИЙСЯ И НЕУСТАНОВИВШИЙСЯ ПОТОКИ Движение жидкости является установившимся, или стационарным, если скорости частиц потока, а также все другие влияющие на его движение факторы (плотности, температуры, давления и др. ), не изменяются во времени в каждой фиксированной точке пространства, через которую проходит жидкость. При неустановившемся или нестационарном потоке факторы, влияющие на движение жидкости, изменяются во времени. Для каждой частицы движущейся жидкости изменение ее параметров во времени и в пространстве выражается не частной, а полной производной по времени, называемой в гидродинамике субстанциональной производной. По своему смыслу эта производная может быть названа также производной, следующей за потоком. Сумма локального и конвективного изменений. Однако

РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ Движение, при котором все частицы жидкости движутся по параллельным траекториям, называют струйчатым, или ламинарным. Неупорядоченное движение, при котором отдельные частицы жидкости движутся по запутанным, хаотическим траекториям, в то время как вся масса жидкости в целом перемещается в одном направлении, называют турбулентным. Критерия Рейнольдса (Re) Критерий Re является мерой соотношения между силами вязкости и инерции в движущемся потоке. При движении жидкостей по прямым гладким трубам Reкр 2320. При Re < 2320 течение является ламинарным, поэтому данную область значений Re называют областью устойчивого ламинарного режима течения. При 2320 < Re < 10000 режим течения неустойчив – область неразвитого турбулентного режима или переходная область. При Re > 10000 турбулентное движение становится устойчивым (развитым).

ЗАКОН СТОКСА Распределение скоростей и расход жидкости при установившемся ламинарном параболическое распределение потоке Движение слоя происходит скоростей в сечении под действием разности трубопровода при ламинарном сил давления Р 1 и P 2 с движении обеих торцовых сторон цилиндра Рис. К определению распределения скоростей и расхода жидкости при ламинарном движении где p 1, p 2 – гидростатические давления в сечениях 1– 1 и 2– 2. Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего трения Т, для которой справедливо выражение

Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегрируем это дифференциальное уравнение, учитывая, что радиус в левой части уравнения изменяется от r до r = R, а переменная скорость в правой части — от w = wr до w = 0 (у стенки, где r = R). Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, где r = 0:

УРАВНЕНИЕ ПУАЗЕЙЛЯ Объемный расход жидкости через сечение составляет Интегрируя последнее уравнение, получим общий расход жидкости через трубу: Подставляя вместо R диаметр трубы d = 2 R и обозначая (р1 — р2) = р, окончательно находим Определяющее расход жидкости при ее ламинарном движении по круглой прямой трубе, носит название уравнения Пуазейля. Соотношение между средней скоростью w и максимальной скоростью wmax можно получить, сопоставив значение Q из уравнений расхода:

При ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы. Параболический закон распределения скоростей по сечению трубы может быть представлен в виде Этот закон, выведенный теоретически, хорошо подтверждается эпюрами скоростей, полученными опытным путем (рис. 2, а). Рис. 2. Распределение скоростей при различных режимах движения: а – ламинарный поток; б – турбулентный поток

УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ (СПЛОШНОСТИ) ПОТОКА (1) Рис. 3 К выводу дифференциального уравнения неразрывности потока где – плотность жидкости на левой грани параллелепипеда. Через правую грань параллелепипеда за то же время d выйдет масса жидкости (2) Приращение массы жидкости в параллелепипеде вдоль оси x (3)

Приращения массы в элементарном объеме вдоль этих осей по аналогии составят: (4) (5) Общее накопление массы жидкости в параллелепипеде за время d равно сумме ее приращений вдоль всех осей координат: (6) Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объеме параллелепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объеме (7) (8) (9)

(10) (11) Для капельных жидкостей = const и, следовательно (12) Уравнение (12) является дифференциальным уравнением неразрывности потока несжимаемой жидкости. Сумма изменений скорости вдоль осей координат в левой части уравнения (12) называется дивергенцией вектора скорости (12 а) Проинтегрируем дифференциальное уравнение (11). где w – средняя скорость жидкости

Если же площадь сечения S трубопровода переменна, то (13) Для трех различных сечений (1— 1, 2— 2 и 3— 3) трубопровода, изображенного на рис. 4, имеем (14) или Рис. 4. К выводу уравнения постоянства расхода где – массовый расход жидкости, кг/с Выражение (13) или (14) представляет собой уравнение неразрывности (сплошности) потока в его интегральной форме для установившегося движения. При установившемся движении жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его поперечное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости. и уравнение (14) принимает вид Для капельных жидкостей Следовательно, (15) (15 а) или где – объемный расход жидкости, м 3/с. Скорости капельной жидкости в различных поперечных сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям этих сечений.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЙЛЕРА на ось х на ось y на ось z Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, действующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение. (1) Масса жидкости в объеме параллелепипеда равна (2)

или после сокращения (3) где субстанциональные производные соответствующих составляющих скорости (4) Система уравнений (3) с учетом выражений (4) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для установившегося потока. При неустановившемся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частицы потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени в каждой точке. Поэтому для неустановившихся условий они принимают вид (5) , Система уравнений (3) с учетом выражений (5) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановившегося потока.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НАВЬЕ–СТОКСА Рис. 5. Схема к выводу уравнений Навье Стокса

Указанные на рис. 5 стрелками направления сил трения, приложенных к параллелепипеду на его нижней и верхней гранях, обусловлены тем, что более медленные вышележащие слои жидкости затормаживают слой, в котором находится параллелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х (1) (2) В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости x будет изменяться не только в направлении z, но и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х примет вид Сумму вторых производных по осям координат называют оператором Лапласа: (3) Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на оси может быть представлена как:

на ось z на ось х на ось y Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жидкости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выводе уравнений Эйлера), составляют: на ось х на ось y на ось z (4) где субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившегося потоков соответствующими уравнениями. Уравнения (4) представляют собой уравнения Навье Стокcа, описывающие движение вязкой капельной жидкости. При движении идеальной жидкости, когда силы трения отсутствуют, при подстановке = 0 в уравнения (4) последние совпадают с уравнениями движения Эйлера. Полное описание движения вязкой жидкости возможно путем решения уравнений Навье Стокса совместно с уравнением неразрывности потока. Однако уравнения Навье Стокса не могут быть решены в общем виде. Это становится возможным либо при ряде упрощающих допущений, либо при преобразовании уравнений методами теории подобия.

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Сложим эти уравнения Слагаемые левой части этого уравнения могут быть представлены как следовательно, их сумма Разделив обе части этого уравнения на ускорение свободного падения g и перенеся все его члены в левую часть, находим

причем для несжимаемой однородной жидкости = const. Сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы, следовательно (1) Уравнение (1) для любых двух поперечных сечений 1 и 2 потока (2)

(3) В случае горизонтально расположенного трубопровода z 1 = z 2 и уравнение Бернулли для идеальной жидкости упрощается:

Пусть для точек, лежащих на оси трубопровода в поперечных сечениях 1— 1 и 2— 2, нивелирные высоты равны z 1 и z 2 Установим пьезометрические трубки, у одной из которых нижний конец загнут навстречу потоку жидкости в трубопроводе. В прямых вертикальных трубках жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому давлению в точках их погружения, т. е. эти трубки будут измерять пьезометрические напоры Площадь поперечного сечения 2— 2 трубопровода меньше сечения 1— 1. Соответственно Для двух любых сечений 1– 1 и 2– 2 трубопровода, расположенных по ходу движения реальной жидкости (см. рис. 6) Уравнение Бернулли для реальных жидкостей: Рис. 6. К уравнению Бернулли для идеальной жидкости Потерянный напор hпот характеризует удельную энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении реальной жидкости. где рпот – потерянное давление, равное

НЕКОТОРЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ПРИНЦИПЫ ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ И РАСХОДА ЖИДКОСТИ. Для определения скоростей и расходов жидкостей в промышленной практике обычно применяются дроссельные приборы и пневмометрические трубки. Разность уровней рабочей жидкости в трубках удобнее измерять не посредством пьезометрических трубок, как показано на рис. 7, а при помощи дифференциального манометра а б в г Рис. 7 Измерение скорости жидкости : а-пневмометрической трубкой; б-мерная диафрагма; в- мерное сопло; г-труба Вентури Мерная диафрагма представляет собой тонкий диск с отверстием круглого сечения, центр которого расположен на оси трубы. Мерное сопло является насадкой, имеющим плавно закругленный вход и цилиндрический выход.

где h — перепад (разность) давлений, измеряемый дифференциальным манометром и выражаемый в метрах столба рабочей жидкости. Подставим значение w 1 в выражение разности скоростных напоров

Объемный расход жидкости Q в сечении So отверстия диафрагмы (а значит, и в трубопроводе) будет равен где —поправочный коэффициент ( < 1); этим коэффициентом учитывается уменьшение скорости wo в сечении So по сравнению со скоростью w 2 из-за сужения струи (So > S 2), а также потеря напора в диафрагме. Коэффициент называется коэффициентом расхода дроссельного прибора. : Расход жидкости по уравнению Среднюю скорость жидкости в трубопроводе