ГОУ ВПО Пензенская ГТА Кафедра Ти ПМ Коновалов

ГОУ ВПО «Пензенская ГТА» Кафедра Ти. ПМ Коновалов Владимир Викторович, д. т. н. , профессор Основы проектирования и конструирования машин Основы сопротивления материалов Основные модели прочностной надежности элементов конструкций - 3

Сдвиг и кручение Деформации при сдвиге. Закон Гука Чистым сдвигом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении элемента конструкции под действием внешних сил возникает только поперечная сила Q. Напряжённое состояние чистый сдвиг-это состояние, при котором на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения . Такое состояние можно получить, например, при скручивании тонкостенного цилиндра (рис. а). Напряжения и деформации элемента при сдвиге

Выделим из этого цилиндра элемент и рассмотрим его отдельно в равновесии при условии, что одна из его граней жёстко закреплена (рис. б). Под действием касательных напряжений , действующих вдоль сторон элемента, произойдет смещение точек В и С относительно исходного положения на величину параллельно AD. Если расстояние между плоскостями сдвига равно а, то тогда где - линейная деформация, абсолютный сдвиг; - относительная деформация, угол сдвига. Ввиду малости угла можно сказать, что tg , т. е.

По аналогии с растяжением (сжатием) ( = Е ) запишем закон Гука при сдвиге где G - модуль сдвига (модуль упругости второго рода). Между модулями упругости и сдвига существует взаимосвязь С целью определения касательных напряжений в сечении рассмотрим резку металлической проволоки ножницами (рис. а). Проведём сечение А- А и рассмотрим левую часть проволоки в равновесии (рис. б). Из условия равновесия можно сделать вывод, что в сечении действует лишь поперечная сила Q-F.

Эта сила является равнодействующей касательных напряжений Схема расчета касательных напряжений при сдвиге

В дальнейшем будем считать, что касательные напряжения распределены по сечению S равномерно, тогда Подставим полученное выражение в закон Гука при сдвиге и выразим величину линейной деформации где GS - жесткость сечения при сдвиге. Таким образом, определены зависимости для расчета напряжений и деформаций при сдвиге.

Понятие о кручении, Определение напряжений и деформаций при кручении Кручением называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении элемента конструкции возникает только один крутящий момент М, действующий в плоскости поперечного сечения. Элемент конструкции, работающий на кручение, называется валом. При расчете валов на кручение необходимо решить две задачи: определить напряжения и найти угловые перемещения в зависимости от внешних скручивающих моментов.

Эти задачи наиболее просто решаются для стержня круглого поперечного сечения, т. к. для них справедливы следующие гипотезы: а) поперечные сечения вала, плоские до закручивания, остаются плоскими и после закручивания; б) радиусы сечений, прямые до деформации, остаются прямыми и после деформации. Расстояния между поперечными сечениями вала в процессе деформации не изменяются; в) в пределах упругих деформаций сдвига справедлив закон Гука. В соответствии с этими гипотезами кручение стержня круглого поперечного сечения представляют как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом сечений.

Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения радиусом r, заделанный одним концом и нагруженный скручивающим моментом Т на другом конце Расчетная схема стержня, круглого поперечного сечения при кручении

На боковой поверхности стержня проведем образующую AD, которая под действием момента Т займёт положение ADX. На расстоянии Z от заделки двумя сечениями выделим элемент длиной d. Z. Левый торец этого элемента в результате кручения повернется на угол , а правый торец - на угол + d. Образующая ВС займет положение В 1 С 1, отклонившись от исходного положения на угол . Отношение d /d. Z = представляет собой угол закручивания на единицу длины стержня и называется относительным углом закручивания. Тогда где r = max -текущий радиус сечения.

Подставим полученное выражение в закон Гука при сдвиге и получим в общем случае Для определения функции d /d. Z рассмотрим левую отсечённую часть стержня отдельно в равновесии со стороны поперечного сечения (рис. б). В сечении выделим элементарную площадку d. S, ПО которой действует касательное напряжение . Из условия равновесия следует:

Интеграл представляет собой чисто геометрическую характеристику и называетcя полярным моментом инерции сечения. Тогда Угол закручивания на единицу стержня будет Произведение GJP называется жесткостью сечения стержня при кручении. Полный угол закручивания

Если крутящий момент MKP и момент инерции сечения Jр постоянны по длине стержня, то полный угол закручивания Определим зависимость напряжения от крутящего момента: Из полученного выражения можно сделать выводы: 1) касательные напряжения при кручении по сечению распределяются по линейному закону; 2) наибольшие касательные напряжения возникают на поверхности вала:

где величина Wp = Jр /r - называется полярным моментом сопротивления. Геометрические характеристики основных видов поперечных сечений были представлены в таблице. Условие прочности вала в опасном сечении Допускаемое напряжение при кручении обычно принимают равным [ ]=(0, 5. . . 0, 6) [ р]. Условие жёсткости вала в опасном сечении Для валов допускаемый угол закручивания [ р] на длине 1 м принимается равным 0, 3. . . 2, 0.

Построение эпюр. Построим эпюры крутящих моментов и углов закручивания для бруса на рис. а, если М=20 к. Н м, d=100 мм, l = 1 м. а б в Эпюры крутящих моментов и углов закручивания

1. Построение эпюры крутящих моментов МКP, (рис. б). Всю длину бруса разобьем на два участка. На эпюре внутренних крутящих моментов в сечениях, где приложены внешние силы, будут скачки, равные приложенным нагрузкам. Применяя метод сечений с учетом правила знаков для крутящих моментов, строим эпюры МКP. На рис. а для изображения внешних моментов принято условное обозначение в виде кружков: кружок с точкой означает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестиком - силу, направленную от наблюдателя.

2. Построение эпюры углов закручивания (рис. в). Угол закручивания будем определять по формуле Вал по длине эпюры разбиваем на четыре участка. Построение эпюры начинаем от неподвижного сеч-я. На четвертом участке угол закручивания будет равен углу закручивания 3, так как на этом участке отсутствуют внутренние крутящие моменты. Вычисленные угловые перемещения откладываем на эпюре .

Изгиб Определение изгибающих моментов и поперечных сил. Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении стержня возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, изгиб называется чистым. Если в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающим моментом действуют и поперечные силы, изгиб называется поперечным.

Стержни, работающие на изгиб, называются балками. Для восприятия внешних нагрузок балка должна быть закреплена. Существуют три основных вида закрепления (опор): 1) шарнирно-подвижная опора, 2) шарнирно-неподвижная опора, 3) жёсткая заделка. Значения поперечных сил и изгибающих моментов определяются методом сечений. Величина поперечной силы Q в поперечном сечении балки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения на ось, перпендикулярную продольной оси балки. Величина изгибающего момента М в поперечном сечении равна алгебраической сумме моментов от всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно центра тяжести сечения.

Правило знаков: поперечная сила Q в сечении считается положительной, если внешние силы слева от сечения направлены вверх, а справа от сечения направлены вниз и стремятся повернуть балку по ходу часовой стрелки. Поперечная сила отрицательна, если внешние силы направлены наоборот Правила знаков при изгибе Привило знаков: изгибающий момент в сечении считается положительным, если ось балки изгибается выпуклостью вниз, т. е. он направлен слева отсечения почасовой стрелке, справа от сечения - против часовой стрелки. Изгибающий момент в сечении считается отрицательным, если ось бруса изгибается выпуклостью вверх, т. е. он направлен наоборот

Построение эпюр. Построим эпюры для балки, если F=15 к. Н, а = 1 м, l = 3 м. 1. Определяем реакции опор. Выбираем плоскую систему координат YZ и составляем уравнения равновесия плоской системы сил:

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

2. Заданную балку разбиваем на участки, заключенные между точками приложения сосредоточенных сил. На балке выделим два участка: АС, СВ. 3. Определяем поперечные силы на каждом участке: -в сечении z 1 -в сечении z 2 4. Строим эпюры поперечных сил. Поперечные силы постоянны на каждом из двух участков, поэтому откладываем полученные значения с учетом знаков. Нужно обратить внимание на то, что в точке приложения внешней силы должен быть скачок, равный приложенной силе. 5. Определяем внутренние изгибающие моменты в выделенных сечениях балки для каждого участка: - в сечении z 1

для участка 0 z 1 а при z 1=0 МА=0, при z 1 = a -в сечении z 2 для участка 0 z 2 (l-a) при z 2=0 МB=0, при z 2 = (l-a) МC=10 к. Н м. 6. Строим эпюры изгибающих моментов. Эпюра Мизг на обоих участках имеет линейную зависимость, поэтому откладываем полученные по участкам точки на эпюре и соединяем их линиями. 7. Из анализа эпюр Q и М следует, что опасным сечением является сечение С: Qc=10 к. H, Мс = 10 к. H м.

Деформации и напряжения при изгибе. Рассмотрим брус произвольного сечения, жёстко закреплённый с одного конца и испытывающий "чистый" изгиб Экспериментально установлено: 1) сечения бывшие плоскими до нагружения, остаются плоскими и после нагружения, т. е. изгиб реализуется путём поворота сечений на некоторый угол 2) продольные слои бруса не давят друг на друга Схема деформаций стержня при чистом изгибе 3) продольные слои выпуклой стороны бруса удлиняются (растягиваются), а вогнутой -укорачиваются (сжимаются), т. к. при М=const продольные слои бруса искривляются по дуге окружности радиусом

4) в теле бруса существует единственный слой, который не изменяет своей длины. Этот слой называется нейтральным 5) в зоне упругих деформаций материал бруса подчиняется закону Гука. Для определения деформаций и напряжений из бруса выделим элементарный участок длиной d. Z и рассмотрим его отдельно в равновесии Схема деформаций элемента стержня при чистом изгибе

Выделим на участке d. Z нейтральный слой и исследуемый слой CD на расстоянии У от нейтрального слоя. Примем условно левое сечение за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол d. Z под действием изгибающего момента исследуемый слой растянется и займёт положение C 1 D 1. Тогда относительное удлинение слоя CD где CD = АВ = d. Z = d. Из полученного выражения вытекает линейное распределение деформаций по высоте поперечного сечения.

Для определения нормальных напряжений используем закон Гука: Полученная зависимость показывает, что нормальные напряжения в сечении бруса распределяются по линейному закону и на нейтральном слое равны нулю. Кривизна оси бруса зависит от прилагаемой нагрузки и жёсткости сечения бруса: где Jx - момент инерции поперечного сечения стержня относительно центральной оси характеризует способность стержня сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы поперечного сечения.

Произведение EJX называют жесткостью сечения бруса при изгибе. Подставляя 1/ из полученного выражения в закон Гука при изгибе, найдем Из полученной формулы следует ряд важных выводов: - центр тяжести сечения стержня является началом координат для анализа напряжений и приведения внешних сил - напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, момента инерции и координаты точки - напряжения в любых точках, лежащих на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой

- нормальные напряжения не зависят, а упругие перемещения зависят от модуля упругости материала стержня - максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (на поверхности балки): -момент сопротивления сечения стержня при изгибе. Геометрические характеристики различных поперечных сечений были представлены в таблице. Внутренние слои материала вблизи нейтральной линии мало напряжены. Поэтому при проектировании балок, работающих на изгиб, стремятся к использованию сечений с возможно более большими моментами инерции относительно нейтральной оси. Для этого необходимо располагать площадь сечения подальше от нейтральной оси.

Рациональные сечения балок при изгибе Условие прочностной надежности балки по допускаемым напряжениям имеет вид где [ ] - допускаемое напряжение при изгибе для материала стержня. Исходя из условия прочности можно решить три инженерные задачи. 1. Проверить прочность балки при заданных условиях нагружения:

2. Подобрать рациональную форму поперечного сечения балки при заданных условиях нагружения: Рациональным называется сечение, обладающее максимальным моментом сопротивления при минимальной его площади. Для количественной оценки рациональности поперечного сечения служит безразмерная величина – удельный момент сопротивления 3. Определим максимальную несущую способность балки при заданном профиле и размерах поперечного сечения

При изгибе ось балки искривляется. Приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид -угол поворота сечения при изгибе, т. е. угол на который поворачивается сечение относительно первоначального положения; У(Z) - прогиб балки в заданном сечении, т. е. перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки до деформации. Условие жёсткости при изгибе На практике ymax, max определяют с помощью интеграла Мора, теоремы Кастильяно и т. д.

Пластины и оболочки Основные особенности Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности. Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной. Осесимметричными (симметричными) оболочками называют такие, срединная поверхность которых представляет собой поверхность вращения. Для упрощения расчетов будем полагать, что нагрузка, действующая на такую оболочку, обладает свойствами осевой симметрии.

Задача о расчете оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда можно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная на этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек. Чем меньше толщина оболочки, тем ближе к истине предполагаемый закон постоянства напряжений по толщине и тем более точные результаты дает безмоментная теория. Рассмотрим симметричную оболочку толщиной h (рис. а). Симметричная оболочка

Обозначим через m радиус кривизны дуги меридиана ее срединной поверхности, а через t радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного к дуге меридиана. Радиусы m и t являются функцией угла между нормалью и осью симметрии. Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений (рис. б) выделим из оболочки элемент (рис. в). На гранях элемента возникают меридиональное m и окружное t напряжения. Напряжения, умноженные на соответствующие площади граней элемента, дают силы m h ds 2 и t h ds 1, кроме того, к элементу приложена сила нормального давления p dsx ds 2. Проектируя все силы на нормаль, получим

Так как то можно записать Это уравнение называется уравнением Лапласа. Для части оболочки, отсеченной коническим нормальным сечением, можно составить еще одно уравнение, проектируя все силы на направление оси оболочки. Обозначив через P осевую равнодействующую внешних сил, получим Таким образом, согласно безмоментной теории напряжения m и t в оболочке можно определить из уравнений равновесия. Отсеченная часть оболочки

Напряжение надавливания между слоями оболочки полагаем малым и напряженное состояние оболочки считаем двухосным. При практических расчетах с использованием безмоментной теории используют две теоремы. Теорема 1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то независимо от формы поверхности проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления р на площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную к заданной оси. Теорема 2. Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Причем сила давления не зависит от формы сосуда, удерживающего жидкость.

Так, во всех трех случаях, представленных на рис, сила давления на дно сосуда будет одной и той же, т. е. равной весу жидкости в объеме выше расположенного цилиндра ABCD.

Расчет сферической оболочки, находящейся под действием внутреннего давления. Сферическая оболочка радиусом R и толщиной h, находится под действием внутреннего давления р Сферическая оболочка Для сферической оболочки m = t = R. Из условия полной симметрии следует, что m= t. Согласно формуле Лапласа имеем: Напряженное состояние двухосное (наименьшее напряжение 3 =0), поэтому

Расчет цилиндрического сосуда (рис. а), находящегося под действием внутреннего давления. Радиус цилиндра R, толщина стенки h. Отсекаем поперечным сечением часть цилиндра (рис. б) и составляем для нее уравнение равновесия Цилиндрический сосуд Осевая составляющая сил давления независимо от формы днища, согласно теореме 1, будет P= R 2 p. Таким образом

Для цилиндра m = , t =R. Из формулы Лапласа найдем т. е. окружное напряжение оказывается вдвое больше меридионального. Элемент ABCD, выделенный из цилиндрической оболочки, находится в двухосном напряженном состоянии: 1 = t; 2 = m; 3=0. Эквивалентное напряжение Для цилиндра эквивалентное напряжение оказывается в два раза большим, чем для сферической оболочки того же радиуса и той же толщины.

Прочность при напряжениях, циклически меняющихся во времени Циклы переменных напряжений, их характеристики. Кривая усталости. Предел выносливости Большинство движущихся деталей приборных устройств испытывают переменные напряжения, циклически изменяющиеся во времени. Они возникают в деталях от изменения нагрузки или в связи с изменением положения их сечения по отношению к постоянной нагрузке (например, при вращении детали). Законы изменения переменных напряжений могут быть различными, но все их можно представить в виде синусоиды

Любой цикл напряжений характеризуется следующими параметрами: 1) максимальным напряжением за цикл mах 2) минимальным напряжением за цикл min Циклы переменных напряжений 3) средним напряжением за цикл 4) амплитудой переменного напряжения

5) периодом цикла Т 6) коэффициентом асимметрии цикла Коэффициент R характеризует вид цикла: • если R= -1, то цикл называется симметричным (рис. б) • если R=0, то цикл называется пульсационным (отнулевый) (рис. в) • если R=1, TO напряжение постоянное • если R=±a (где a - любое число), то цикл называется асимметричным (рис. а) Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа нагружений может наступить внезапное разрушение детали без заметных остаточных деформаций, т. е. материал «устал» .

Процесс постепенного накопления повреждений материала под действием переменных напряжений, приводящий к изменению свойств, образованию трещин, их развитию и разрушению, называется усталостью. Свойство материала противостоять усталости называется сопротивлением усталости. Его оценивают с помощью предела выносливости, который определяется экспериментально на опытных машинах. По результатам испытаний строят кривую усталости -1 - предел выносливости максимальное напряжение, которое выдерживает образец, не разрушаясь при сколь угодно большом числе циклов нагружения

Nб - базовое число циклов нагружения: - черные металлы Nб = 107 циклов - цветные металлы Nб =108 циклов Считают, что если образец выдержал базовое число циклов, то он может выдержать без разрушения и большее число циклов Наибольшее значение максимального напряжения цикла, которое образец выдерживает до базы испытаний, называется пределом выносливости. При симметричном цикле предел выносливости обозначается через -1, при пульсирующем - 0, при асимметричном - r. Для расчета деталей, не предназначенных на длительный срок службы, вводится понятие ограниченного предела выносливости r. N, где N - заданное число циклов (меньше базового).