ГОУ ВПО Ивановская Государственная медицинская академия агентства по

ГОУ ВПО Ивановская Государственная медицинская академия агентства по здравоохранению и социальному развитию. Кафедра физики, математики и информатики Тема: «Гидродинамика и гемодинамика»

Вопросы 1. Уравнение неразрывности потока жидкости. Уравнение Бернулли. Статистическое и динамическое давление в потоке. 2. Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона. Коэффициент вязкости. Классификация жидкости по вязким свойствам. 3. Уравнение Пуазейля-Гагена. Гидравлическое сопротивление. 4. Гидравлическое сопротивление. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам постоянного, переменного сечения и разветвлениям. 5. Ламинарное и турбулентное течение жидкости.

Вопросы (продолжение) 6. Кровь как жидкость. Особенности протекания крови по сосудам. 7. Давление и скорость кровотока. 8. Пульсовая волна. Скорость распространения пульсовой волны. 9. Ударный объем крови. Работа и мощность сердца. 10. Резистивная модель ССС

1. Уравнение неразрывности потока S – площадь сечения V – скорость Для любого сечения неразветвляющегося потока идеальной жидкости произведение V·S = Const Следовательно: V 1 S 1=V 2 S 2 тогда V 1 V 2 S 1 Вывод: в сужениях потока скорость увеличивается и наоборот. Величина Q=S·V скоростью потока. [м 3/с] – называется объемной

Уравнение Бернулли P 1, P 2 – статистическое давление. p – плотность жидкости. Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии в потоке идеальной жидкости для разных сечений. P + ρg. H + ρ(V 2/2) = Const Статическое давл. Гидростатическое давл-е Гидродинамическое давл.

Уравнение Бернулли P + ρg. H + ρ(V 2/2) = Const Для двух сечений потока, изображенного внизу: (1)

Как работает уравнение Бернулли

Важное следствие уравнения Бернулли для горизонтальной трубы: h 1=h 2, следовательно уравнение (1) упрощается до: (1) (2) ВЫВОД: так как в узких местах труб скорость увеличивается, то по уравнению (2) статистическое давление должно уменьшаться. На рисунке вверху показано, что в узком месте уровень манометрической трубки ниже , чем в более широких частях.

Некоторые важные понятия гидродинамики 1. Линия тока – линия, проведенная в потоке жидкости так, что касательная к ней в каждой точке совпадала с вектором скорости. 2. Стационарное течение – характер течения, когда вектор скорости в каждой точке остается постоянным. Картина линий тока в СТ не изменяется, а линии тока совпадают с траекториями частиц. 3. Трубка тока – часть жидкости ограниченная линиями тока. Т. к. вектор скорости касателен к линиям тока, то он касателен и к трубке тока, т. е. частицы жидкости не пересекают границ трубки тока. Трубка тока Линия тока

2. Вязкость жидкости Вязкость – это явление торможения движущихся в жидкостях и газах тел, возникающее вследствие межмолекулярного взаимодействия. На рисунке показаны два слоя жидкости. Перемещение верхнего слоя со скоростью V 1 вызывают перемещение второго слоя со скоростью V 2 < V 1. Происходит это из-за наличия сил сцепления между молекулами слоя 1 и 2, это и есть явление вязкого трения. Сила взаимодействия между слоями может быть оценена по формуле Ньютона: (3) S – площадь взаимодействующих слоев, d. V/d. Z – градиент скорости η – коэффициент вязкости (динамический)

Коэффициент вязкости. Из формулы (3) следует, что коэффициент вязкости Это основной параметр, характеризующий вязкие свойства жидкости ( газа). Вязкость жидкости зависит прежде всего от молекулярного строения в-ва. Внешние факторы также оказывают влияние на вязкость жидкости - в большей степени температура жидкости. .

Другие коэффициенты вязкости В физике иногда применяется понятие – кинематическая вязкость. Коэффициент кинематической вязкости Этот параметр удобен тем, что не зависит от плотности жидкости В биологии обычно пользуются понятием «относительная вязкость» (по отношению к вязкости воды). Коэффициент относительной вязкости - величина безразмерная

Ниже приведены коэффициенты вязкости некоторых биологических жидкостей: Жидкость η ηотн Вода Этанол Кровь (артериальная) Кровь (венозная) 0, 0012 0, 0045 0, 005 1, 0 1, 2 3, 5 -4, 5 5, 0 -6, 0

Классификация жидкостей по вязким свойствам ЖИДКОСТИ ИДЕАЛЬНЫЕ РЕАЛЬНЫЕ (ВЯЗКИЕ) НЬЮТОНОВСКИЕ НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ВЯЗКО-УПРУГИЕ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНЫЕ

Классификация жидкостей по вязким свойствам Идеальные жидкости – жидкости без вязкости, это физическая абстракция. Ньютоновские жидкости – реальные (вязкие жидкости), обычно неорганические или низкомолекулярные органические жидкости. Коэффициент вязкости таких жидкостей не зависит от характера течения (скорости, градиента скорости, давления). Однако температурная зависимость вязкости сохраняется.

Неньютоновские жидкости – органические жидкости со сложными молекулами или это смеси жидкостей, суспензии, эмульсии, полимеры. Коэффициент вязкости таких жидкостей зависит от характера течения их по сосудам (давления, градиента скорости). Среди таких жидкостей различают вязко-упругие и вязко-пластичные жидкости. У первых коэффициент вязкости с ростом градиента скорости увеличивается. У вторых – наоборот (см. график) η d. V/dx

Распределение скорости течения ньютоновской жидкости по сечению сосуда

3. Уравнение Пуазейля – Гагена - основное уравнение гидродинамики Вывод уравнения выносим на семинарское занятие по теме «Гидродинамика» . Полностью он приведен в учебнике А. Н. Ремизова «Медицинская и биологическая физика» любых выпусков, начиная с 70 -х годов. Где: Q – объемная скорость потока жидкости (м 3/с) Все остальные величины ясны из рисунка или из предыдущего материала

Как работает уравнение Пуазейля?

4. Гидравлическое сопротивление Оставим в числителе только Δр остальное вынесем в знаменатель: ω – гидравлическое сопротивление потоку Как это понимать и какой смысл у ω? Все очень просто! I = U / R. Узнаете формулу? Если нет, то примите мои соболезнования.

Гидравлическое сопротивление I = U / R – закон Ома для участка электрической цепи Q = Δp/ω – закон Пуазейля для участка гидравлической цепи Омическое сопротивление и гидравлическое ведут себя очень похоже. Например: сопротивление увеличивается, чем длиннее эл. проводник и чем длиннее труба. Сопротивление уменьшается, чем толще проводник, и, чем больше сечение трубы. При последовательном соединении эл. сопротивлений общее сопротивление увеличивается, у гидравлических сопротивлений, то же самое. При параллельном соединении – наоборот в обоих случаях.

Гидравлическое сопротивление Но есть небольшой нюанс с большими последствиями для нашего с вами здоровья. Посмотрим на эти формулы внимательнее: У гидравлического сопротивления зависимость от радиуса сосуда сильнее (R 4) в отличие от омического сопротивления (R 2)

Гидравлическое сопротивление Две разветвляющиеся гидравлические системы. Суммарный просвет (сечение) и в том и в другом случае больше, чем до разветвления. Казалось бы, что гидравлическое сопротивление должно уменьшаться в обоих случаях. НО! Во втором случае сосуды гораздо тоньше, чем в первом. ω1 И здесь начинает работать второе R 2, которое приведет к увеличению гидравлического сопротивления. ω1< ω2 ω2 ВЫВОД. При разветвлении тонких сосудов (пусть даже очень большом), гидравлическое сопротивление этих участков представляет большую величину, не смотря на то, что суммарный просвет сосудов велик.

5. Характер течения жидкости по сосудам 1. Ламинарное (спокойное) течение – это стационарное течение, векторы скорости жидкости при котором, в любом сечении параллельны Такой характер течение жидкости имеет при относительно небольших скоростях в трубах с гладкими стенками при отсутствии множественных разветвлений. В норме течение крови по сосудам имеет ламинарный характер

Характер течения жидкости по сосудам 2. Турбулентное течение. При увеличении скорости потока жидкости (газов) ламинарное течение скачкообразно переходит в состояние, когда частицы жидкости, хаотически завихряясь, переходят из слоя в слой. Происходит перемешивание жидкости.

ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА Переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при достижении определенной скорости потока, которая может быть вычислена по приведенной формуле: Где: η - коэффициент динамической вязкости, ρ – плотность жидкости, D – диаметр сосуда, Re – число Рейнольдса Число Рейнольдса (безразмерная величина) является критерием, определяющим переход ламинарного течения жидкости в турбулентное. Для воды Re = 2000, для крови ≈ 1000.

Два важных вывода из вышеизложенного 1. Из предыдущей формулы следует, что при увеличении диаметра сосуда, турбулизация потока наступит при меньшей его скорости. 2. При перекрытии потока (уменьшении сечения до 0) скорость в этом месте возрастает и поток в любом случае становится турбулентным, разумеется на какое то время. У клапанов сердца поток крови турбулентный, завихрения крови создают шум, который хорошо прослушивается даже фонендоскопом. Исследование шумов сердца является областью диагностики ССС, получившей название – фонокардиография. Есть и другие применения звуковых методов исследования потоков крови.

6. Элементы гемодинамики Гемодинамика – раздел биофизики. Изучающий текучесть и деформацию крови в сосудистой системе. Кровь состоит из плазмы и форменных элементов (эритроциты -93%, лейкоциты и тромбоциты – 7%) – неньютоновская жидкость. Плазма – коллоидная суспензия белков в электролите из ионов неорганических и органических кислот- ньютоновская жидкость. В норме вязкость крови: в аорте ≈ 3, 5, плазмы – 2 ед. На вязкость крови сильно влияет объемная концентрация эритроцитов в плазме – т. н. гематокрит (Г). Г=Vэритроцитов / Vплазмы. Норма Г = 0, 4. С увеличением гематокрита (доли эритроцитов), увеличивается вязкость крови.

Элементы гемодинамики Т. к. у стенок скорость крови меньше, чем в центре, а по закону Бернулли давление больше у стенок, то эритроциты скапливаются в центре потока. А у стенок остается в основном плазма

Элементы гемодинамики Гем 0 аток пла рит зма η 2 0, 4 0, 6 2, 2 3, 3 5, 5 В венах увеличивается концентрация СО 2 в крови. Объем эритроцитов увеличивается, соответственно увеличивается вязкость крови. Размеры эритроцитов ≈ равны диаметру капилляров. Эритроцит в капилляре деформируется, но мембрана эритроцита не рвется из-за высокой прочности и эластичности. Примерная схема движения крови по капиллярам приведена на рисунке, однако механизм движения эритроцитов по капиллярам математически описать весьма сложно

Кровь – неньютоновская жидкость Монетные столбики

Влияние эластичности стенок сосудов Вторая особенность – влияние эластичности стенок сосудов на распределение давления в потоке крови. Сосуды с эластичными стенками гасят пульсации давления и поток жидкости из пульсирующего постепенно становится непрерывным.

Гидравлическая модель сердечно-сосудистой системы Начальное давление, необходимое для движения крови по всей ССС, создается работой сердца. Сердце это циклически действующий насос, у которого рабочая фаза (сокращение мышцы –систола) чередуется с холостой фазой (расслабление – диастола). При каждом сокращении левого желудочка в аорту, уже заполненную кровью выбрасывается т. н. ударный объем (60 -70 мл). волна повышенного давления крови быстро распространяется по артериальной части СС и вызывает колебания более дистальных отделов. Затем стенки аорты постепенно сокращаются до первоначального состояния (диастола).

7. Давление и скорость кровотока

Давление и скорость кровотока Давление в кровеносной системе максимально а аорте, затем в соответствии с законом Пуазейля постепенно падает. Сопротивление току крови, а следовательно и падение давления на различных участках различно. Оно зависит от разветвлений и суммарного просвета сосудов. Например, наибольшее падение давления, не менее чем на 50% начальногопроисходит в артериолах. Число артериол в сотни раз больше, чем крупных артерий при сравнительно небольшом увеличении суммарного поперечного сечения. Поэтому потери давления здесь весьма велики. Общее число капилляров еще больше, однако длина их настолько мала. Что падение давления в них велико, но меньше, чем в артериолах.

Давление и скорость кровотока Давление в полой вене, как видно из графика имеет отрицательное значение (вакуум). Военные врачи знают на сколько опасно ранение полой вены. Которая засасывает воздух (что опасно само по себе), но и грязь вместе с ним. Скорость крови максимальна в крупных артериях, по мере разветвления, а следовательно увеличения просвета, скорость падает до 0, 05 см/с (капилляры). Затем по мере сужения венозной части системы скорость крови увеличивается до 25 см/с.

8. Пульсовая волна Волна давления, распространяющаяся по сосудам ССС носит название пульсовой волны. Скорость распространения ПВ велика и составляет 6 -8 м/с. Для сравнения: скорость крови в крупных артериях -0, 3 – 0, 5 м/с. За время систолы (0, 3 с) пульсовая волна достигает конечностей, т. е. раньше, чем начнется спад давления в аорте. Скорость пульсовой волны в крупных сосудах определяется формулой Моенса-Кортивега: Где: Е – модуль упругости стенки сосуда h - толщина стенки ρ – плотность ткани сосуда d – диаметр сосуда

9. Работа сердца Работа при однократном сокращении левого желудочка: Ал = р. Vуд + ρVуд v 2/2 Работа левого и правого желудочнов: А = Ал + 0, 2 Ал = 1, 2 (р. Vуд + ρVуд v 2/2) р = 13 к. Па, Vуд = 60 мл. ρ = 1, 05 · 103 кг/м 3 тогда А = 1 дж – работа разового сокращения в состоянии покоя. Средняя мощность за одно сокращение (время систолы 0, 3 с) W = Ф/tc = 3. 3 вт. При нагрузках работа сердца может увеличиться в несколько раз

10. Резистивная модель сердца Мы уже проводили аналогию между гидравлическими и электрическими процессами. Этот факт используют для исследования ССС на электрических моделях, что значительно проще, чем работать на живом человеке. Простейшая электрическая модель ССС представлена на рисунке. Здесь U –источник ЭДС, моделирует сердце как источник несиносоидальных пульсаций давления. В –выпрямитель является аналогом сердечного клапана. R – резистор электрический аналог периферической сосудистой системы. С- конденсатор моделирует эластичность стенок крупных сосудов, он сглаживает пульсации тока (т. е. давления).

ДО СВИДАНИЯ, НА СЛЕДУЮЩЕЙ ЛЕКЦИИ !