Государственный экзамен Билет № 27 Модель иммунной системы Шарифуллина Эльвира, группа ММм-11
СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА n Построить модель иммунной системы, описывающую изменение количества вирусов и антител после заражения организма. Учесть, что выработка антител начинается после достижения вирусами некоторого критического количества. Скорость производства антител ограничена. После гибели вирусов антитела полностью не исчезают, остается их некоторое количество и повторное заражение затруднено. Провести численные эксперименты, в том числе при повторном заражении.
Предположения: n x(t) – количество вирусов, у(t) – количество антител, z – ограничение на скорость производства антител КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА - критическое число вирусов - некоторое значение числа антител (т. к. они полностью не исчезают) Скорость изменения количества вирусов после заражения: Чем больше антител, тем больше вирусов умирает:
КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА При превышении количества вирусов некоторого критического значения в организме начинают вырабатываться антитела: функция Хевисайда Антитела в организме не исчезают полностью, следовательно они уменьшаются до некоторого значения:
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА Учитывая, что скорость производства антител ограничена, имеем следующую постановку задачи: Необходимо найти решения задачи
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОВЕРКА КОРРЕКТНОСТИ МОДЕЛИ Тип задачи: задача с начальными условиями - задача Коши n Контроль математической замкнутости: 2 неизвестные (x и y) – 2 уравнения по НУ: определение неизвестных в любой момент времени задача математически замкнута n
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОВЕРКА КОРРЕКТНОСТИ МОДЕЛИ Проверка устойчивости Положение равновесия n устойчивое неустойчивое Теорема Ляпунова: если <0, то положение равновесия X* асимптотически устойчиво по линеаризованной схеме, при >0 – неустойчиво, и при =0 об устойчивости или неустойчивости данного положения равновесия ничего сказать нельзя
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОВЕРКА КОРРЕКТНОСТИ МОДЕЛИ Находим точки равновесия Записываем матрицу линеаризации: Находим собственные значения матрицы Для рассматриваемой задачи получено: Собственные значения - комплексно-сопряженные Действительная часть меньше нуля положение равновесия – устойчивый фокус
ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ n Аналитическое исследование модели – выяснение общих свойств модели с использованием различных математических приемов и конкретных значений параметров модели n Средство реализации – пакет «Математика»
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ Рис. 1. Фазовое пространство решений х(t) и у(t)
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ Рис. 2. Фазовое пространство
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ Рис. 3. Фазовое пространство
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ n n n Количество вирусов и антител сходится к некоторой точке в фазовом пространстве, которая примерно соответствует заданным начальным условиям (рис. 1) По мере достижения этих значений скорость выработки вирусов и антител стремится к нулю (рис. 2, рис. 3) Частые повторные заражения могут привести к хронической болезни
ВЫВОДЫ n Построена математическая модель иммунной системы n Варианты усложнения модели: 1. Учет поведения организма при определенных типах вирусов Учет медикаментозного вмешательства – ввод вакцины, употребление различных медицинских препаратов 2.
Скачать презентацию Государственный экзамен Билет 27 Модель иммунной системы
Шарифуллина презентация.ppt