Скачать презентацию Государственное ВУЗ Национальный горный университет Геологоразведочный факультет Кафедра Скачать презентацию Государственное ВУЗ Национальный горный университет Геологоразведочный факультет Кафедра

01 ВМ Матрицы и определители.pptx

  • Количество слайдов: 48

Государственное ВУЗ «Национальный горный университет» Геологоразведочный факультет Кафедра высшей математики Раздел: «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» Матрицы Государственное ВУЗ «Национальный горный университет» Геологоразведочный факультет Кафедра высшей математики Раздел: «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» Матрицы и определители дисциплина «Высшая математика» для студентов направления подготовки «Строительство» , «Шахтное и подземное строительство» vm. nmu. org. ua

Содержание раздела 1. Матрицы 2. Определители 3. Решение систем линейных уравнений Кафедра высшей математики Содержание раздела 1. Матрицы 2. Определители 3. Решение систем линейных уравнений Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 2

Введение дисциплина «Высшая математика» раздел «Линейная алгебра» 3 Введение дисциплина «Высшая математика» раздел «Линейная алгебра» 3

Решение линейного уравнения Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Решение линейного уравнения Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 4

Решение системы 2 -х линейных уравнений Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Решение системы 2 -х линейных уравнений Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 5

Пример системы n-линейных уравнений Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Пример системы n-линейных уравнений Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 6

1. МАТРИЦЫ 1. 1 Основные определения дисциплина 1. МАТРИЦЫ 1. 1 Основные определения дисциплина "Высшая математика" 7

Определение матрицы Матрица - таблица, состоящая из m-строк и n-столбцов - элемент матрицы, где Определение матрицы Матрица - таблица, состоящая из m-строк и n-столбцов - элемент матрицы, где i =1, 2, …, m j =1, 2, …, n Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 8

Порядки (размерность) матрицы порядки (размерность) матрицы Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Порядки (размерность) матрицы порядки (размерность) матрицы Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" m. Х n 9

Примеры матриц Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Примеры матриц Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 10

Диагонали матриц Побочная диагональ Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Диагонали матриц Побочная диагональ Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" Главная диагональ 11

Особые виды матрицы КВАДРАТНАЯ матрица при m=n число m=n – ее ПОРЯДОК Треугольная матрица, Особые виды матрицы КВАДРАТНАЯ матрица при m=n число m=n – ее ПОРЯДОК Треугольная матрица, если все элементы ПОД главной диагональю равны нулю Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 12

Особые виды матрицы Единичная матрица, Если элементы главной диагонали равны 1, а все остальные Особые виды матрицы Единичная матрица, Если элементы главной диагонали равны 1, а все остальные равны нулю. Замечание: если единичную матрицу Е умножить на матрицу А, то матрица А не изменится: Матрицы-векторы: Матрица-строка размером (1×n) Матрица-столбец размером (m× 1) Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 13

1. 2 Действия над матрицами дисциплина 1. 2 Действия над матрицами дисциплина "Высшая математика" 14

Основные действия над матрицами 1. Транспонирование матрицы 2. Сложение (вычитание) матриц 3. Умножение матрицы Основные действия над матрицами 1. Транспонирование матрицы 2. Сложение (вычитание) матриц 3. Умножение матрицы на число 4. Умножение матриц Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 15

1. Транспонирование матрицы Транспонировать матрицу – поменять местами строки и столбцы Кафедра высшей математики 1. Транспонирование матрицы Транспонировать матрицу – поменять местами строки и столбцы Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 16

1. Транспонирование матрицы Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс 1. Транспонирование матрицы Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 17

2. Сложение (вычитание) матриц Алгебраической суммой матриц и , где (i =1, 2, …, 2. Сложение (вычитание) матриц Алгебраической суммой матриц и , где (i =1, 2, …, m j =1, 2, …, n) называется матрица , элементы которой определяются по формуле: Замечание! Складывать и вычитать можно матрицы ОДИНАКОВЫХ порядков! Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 18

2. Сложение (вычитание) матриц Свойства матриц при сложении и вычитании Переместительное свойство: Сочетательное свойство: 2. Сложение (вычитание) матриц Свойства матриц при сложении и вычитании Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 19

2. Сложение (вычитание) матриц Пример: Найти матрицу Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua 2. Сложение (вычитание) матриц Пример: Найти матрицу Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 20

3. Умножение матрицы на число Чтобы умножить матрицу на число, необходимо КАЖДЫЙ ее элемент 3. Умножение матрицы на число Чтобы умножить матрицу на число, необходимо КАЖДЫЙ ее элемент умножить на это число Пример: Найти матрицу Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 21

4. Умножение матриц Произведением матрицы А размером (m×n) и матрицы В размером (n×p) называют 4. Умножение матриц Произведением матрицы А размером (m×n) и матрицы В размером (n×p) называют матрицу С размером (m×p), каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, то есть определяется по формуле: Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 22

4. Умножение матриц Умножать можно матрицы, только если количество столбцов первой матрицы равно количеству 4. Умножение матриц Умножать можно матрицы, только если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы! Пример определения возможности умножения: А 3× 4 В 2× 3 × = Размер матрицы-результата Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 23

Пример умножения матриц Дано: Найти: 1. Проверка размеров матриц А 3× 3 В 2× Пример умножения матриц Дано: Найти: 1. Проверка размеров матриц А 3× 3 В 2× 3 × Вывод: Умножение возможно. Матрица С будет размером 2× 3 Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 24

Пример умножения матриц Дано: Найти: 2. Вычисление элементов матрицы С Кафедра высшей математики vm. Пример умножения матриц Дано: Найти: 2. Вычисление элементов матрицы С Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 25

Свойства произведения матриц А и В 1. Сочетательное: 2. Распределительное: Кафедра высшей математики vm. Свойства произведения матриц А и В 1. Сочетательное: 2. Распределительное: Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 26

Пример некоммутативности матриц Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Пример некоммутативности матриц Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 27

Свойства произведения матриц А и В 4. При транспонировании произведения 2 -х матриц сомножители Свойства произведения матриц А и В 4. При транспонировании произведения 2 -х матриц сомножители транспонируются и меняются местами 5. Двойное транспонирование не изменяет матрицу Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 28

2. Определитель 2. 1 Основные определителей дисциплина 2. Определитель 2. 1 Основные определителей дисциплина "Высшая математика" 29

Определение и обозначение Определитель - основная численная характеристика КВАДРАТНОЙ матрицы Порядок определителя совпадает с Определение и обозначение Определитель - основная численная характеристика КВАДРАТНОЙ матрицы Порядок определителя совпадает с порядком матрицы Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 30

Минор элемента матрицы Минором Мij элемента аij называют определитель (m-1)-порядка, получаемый из матрицы А Минор элемента матрицы Минором Мij элемента аij называют определитель (m-1)-порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 31

Пример нахождения минора элемента матрицы Пример 1. Дано: Найти М 12 Пример 2. Дано: Пример нахождения минора элемента матрицы Пример 1. Дано: Найти М 12 Пример 2. Дано: Найти М 11 Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" М 11 = 10 32

Определение алгебраического дополнения Алгебраическим дополнением Аij называют минор Мij , умноженный на (-1)i+j Пример Определение алгебраического дополнения Алгебраическим дополнением Аij называют минор Мij , умноженный на (-1)i+j Пример Дано: Найти A 21 M 21 = 5 Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 33

Определителем называют ЧИСЛО, определяемое по формуле: - разложение по i-ой строке или Кафедра высшей Определителем называют ЧИСЛО, определяемое по формуле: - разложение по i-ой строке или Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua - разложение по j-му столбцу Курс "Высшая математика" 34

Вычисления определителя по первой строке Пример Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Вычисления определителя по первой строке Пример Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 35

2. 2 Свойства определителей дисциплина 2. 2 Свойства определителей дисциплина "Высшая математика" 36

Свойства определителей 1. Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы Пример Кафедра высшей математики Свойства определителей 1. Величина определителя не изменяется при транспонировании матрицы Пример Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 37

Свойства определителей 2. Если поменять местами два параллельных ряда (строки, столбца), то определитель изменит Свойства определителей 2. Если поменять местами два параллельных ряда (строки, столбца), то определитель изменит знак на противоположный, а его абсолютная величина не изменится. Пример Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 38

Свойства определителей 3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. Пример Кафедра высшей математики Свойства определителей 3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. Пример Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 39

Свойства определителей 4. Если все элементы одного из рядов умножить на одно и тоже Свойства определителей 4. Если все элементы одного из рядов умножить на одно и тоже число α, то определитель умножится на это число. Пример Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 40

Свойства определителей Следствия из свойства 4: а) Общий множитель элементов строки (столбца) определителя можно Свойства определителей Следствия из свойства 4: а) Общий множитель элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя б) определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 41

Свойства определителей 5. Определитель не изменится, если ко всем элементам k-го ряда прибавить соответствующие Свойства определителей 5. Определитель не изменится, если ко всем элементам k-го ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число. Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 42

Пример использования свойства 5 Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Пример использования свойства 5 Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 43

2. 3 Дополнительные способы вычисления определителей 3 -го порядка дисциплина 2. 3 Дополнительные способы вычисления определителей 3 -го порядка дисциплина "Высшая математика" 44

Метод «треугольников» Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Метод «треугольников» Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 45

Метод «добавления строк или столбцов» Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс Метод «добавления строк или столбцов» Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 46

Содержание раздела 1. Матрицы 2. Определители 3. Решение систем линейных уравнений Кафедра высшей математики Содержание раздела 1. Матрицы 2. Определители 3. Решение систем линейных уравнений Кафедра высшей математики vm. nmu. org. ua Курс "Высшая математика" 47

Государственное ВУЗ «Национальный горный университет» Геологоразведочный факультет Кафедра высшей математики Раздел: «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» Матрицы Государственное ВУЗ «Национальный горный университет» Геологоразведочный факультет Кафедра высшей математики Раздел: «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» Матрицы и определители дисциплина «Высшая математика» для студентов направления подготовки «Строительство» , «Шахтное и подземное строительство» vm. nmu. org. ua