Глобальный проект Физика Лектор Доцент НИЯУ МИФИ к

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Глобальный проект «Физика» Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к. ф. -м. н. , Ольчак Андрей Станиславович Лекция 07 Момент импульса

Симметрия пространства-времени и законы сохранения Итак. мы уже знаем, что в механических системах (системах материальных точек, замкнутых или находящихся под действием внешних консервативных сил) есть некоторые величины, значения которых остаются неизменными в процессе движения системы. Мы установили также связь этих сохраняющихся величин и фундаментальных свойств симметрии (однородности) пространства и времени. С фактом однородности времени связан закон сохранения энергии, E = T + U = Σmi. Vi 2/2 = Σmiq'i 2/2 + U(q). где T - кинетическая энергия системы, а U(q) - ее суммарная потенциальная энергия, зависящая от координат всех тел системы. С фактом однородности пространства связан закон сохранения полного импульса системы Р = Σmivi. Однако мы прошли пока мимо еще одного важнейшего свойства симметрии пространства - его изотропии. Чтобы разобраться, какие следствия имеет этот факт, нам придется заняться немного т. н. псевдо-векторной геометрией.

Поворот вокруг неподвижной оси Малый поворот системы имеет величину dφ и направление (по или против часовой стрелки вокруг заданной оси OZ ). Следовательно, этому повороту можно сопоставить некоторый направленный отрезок - вектор dφ, направить который естественно будет вдоль оси поворота. Куда именно - вверх или вниз - вопрос условной договоренности (например «правило правого винта» ). Подобным образом вводимые вектора в математике называют псевдовекторами. Вектор смещения любой точки системы dr будет очевидно перпендикулярен как вектору поворота dφ, так и начальному радиус-вектору точки r. Именно такими свойствами обладает векторное произведение dr = [dφ, r] Направление векторного произведения определяется по правилу «левой руки» .

Поворот вокруг неподвижной оси В координатных компонентах любое векторное произведение с расписать в виде = [а, b] можно сx = аybz - аzby сy = аzbx - аxbz сz = аxby - аybx В нашем случае dr = [dφ, r], когда вектор dφ направлен вдоль оси OZ, остаются только две компоненты dx = -ydφ и dy = xdφ Соответственно, компоненты производных ri / φ и r'i/ φ равны: xi / φ= -yi ; yi / φ= xi ; x'i / φ= -vyi ; y'i / φ= vxi ; Напомним, что индекс i соответствует номерам частиц системы (от 1 до N).

Изотропия пространства и момент импульса Требование изотропии свойств пространства означает, что при повороте всей системы как целого вокруг некоторой оси на некоторый угол δφ функция Лагранжа системы и ее уравнения движения остаются неизменными. Если направить одну из осей координат (ось z, например) в направлении оси поворота и считать, что угол δφ мал, то изменение функции Лагранжа δL можно представить в виде δL = δφΣ[( L/ ri)( ri/ φ)+( L/ r'i)( r'i/ φ)] ( L/ ri)( ri/ φ) - это сокращенная форма записи Выражение вида - это скалярного произведения ( L/ ri)( ri/ φ) = ( L/ xi)( xi/ φ)+( L/ yi)( yi/ φ)+ ( L/ zi)( zi/ φ), а индекс соответствует номерам частиц системы, по которым тоже выполняется суммирование (от 1 до N). Привыкайте к компактным формам записи математических выражений! Чтобы вычислить и записать в удобной форме производные ri/ φ и r'i/ φ, воспольбзуемся полученными результатами из псевдовекторной геометрии xi / φ= -yi ; yi / φ= xi ; x'i / φ= -vyi ; y'i / φ= vxi ; .

Момент импульса Теперь вспомним, что по определению импульса из предыдущего занятия L/ r'i = pi , а из уравнений Лагранжа L/ ri= d( L/ r'i)/dt = p'i Соответственно, изменение функции Лагранжа δL можно представить в виде δL = δφΣ{( L/ ri)( ri/ φ)+( L/ r'i)( r'i/ φ)} = = δφΣ{p'i( ri/ φ)+ pi( r'i/ φ)} = = δφΣ{px'i( xi/ φ)+ py'i( yi/ φ)+ pxi( vxi/ φ)+ pyi( vyi/ φ)} = = δφΣ{-yipx'i +xipy'i -vyipxi+vxipyi} = δφΣ{[ri , p'i]z+[vi , pi]z} = = δφd{Σ[ri , pi] z}/dt = 0 Следствие: Σ[ri , pi] z = Const, где суммирование выполняется по всем частицам (от 1 до N). [ri , pi] = Mi - (псевдо)вектор момента импульса одной (i-ой) частицы; Σ[ri , pi] = M - (псевдо)вектор момента импульса всей системы. Если система симметрична относительно поворотов вокруг оси OZ - сохраняется при движении компонента суммарного момента импульса Mz = Const. Если система симметрична относительно поворотов вокруг любой оси сохраняется весь вектор момента импульса M = Const.

Момент импульса Итак мы установили, что кроме суммарной энергии и вектора суммарного импульса в замкнутой системе в силу изотропии пространства сохраняется еще одна очень важная величина - псевдовектор момента импульса: Σ[ri , pi] z = Const, где суммирование выполняется по всем частицам (от 1 до N). [ri , pi] = Mi - псевдовектор момента импульса одной (i-ой) частицы; Σ[ri , pi] = M - псевдовектор момента импульса всей системы. Если система симметрична относительно поворотов вокруг оси OZ - сохраняется при движении компонента суммарного момента импульса Mz = Const. Если система симметрична относительно поворотов вокруг любой оси сохраняется весь вектор момента импульса M = Const.

Момент импульса одной частицы [r , p] = M - псевдовектор момента импульса Y одной частицы. Если частица движется в плоскости XY (в плоскости рисунка, например), то вектор момента импульса будет направлен перпендикулярно этой плоскости. P r X Y l = r sin P r Если движение частицы равномерно и прямолинейно (p = Const), то момент импульса остается кроме того еще и постоянным, причем в любой системе отсчета X Mz = pr sin = pl = Const Величина l = r sin - длина перпендикуляра, опущенного из точки начала отсчета на линию действия импульса - называется при этом плечом момента импульса. Заметим, что момент импульса остается постоянным также и при равномерном движении тела по окружности (очевидно), но только в системе отсчета, связанной с центром этой окружности.

Скорость изменения момента импульса Итак, [ri , pi] = Mi - псевдовектор момента импульса одной (i-ой) частицы; Возьмем полную производную по времени от выражений для момента импульса отдельной частицы. d. Mi /dt = [vi , pi] + [ri , dpi/dt] = [ri , Fi] = Ni Fi = dpi/dt - суммарная сила, действующая по 2 -му закону Ньютона на i -ую частицу; Ni = [ri , Fi] - суммарный момент сил, действующих на i -ую частицу. Полученное выражение Ni = d. Mi /dt = [ri , Fi] - это полный аналог второго закона Ньютона для вращательного движения под действием моментов сил. Суммарная сила Fi , действующая на i -ую частицу, в свою очередь может быть представлена в виде суммы сил, действующих на нее со стороны других частиц системы Fij плюс, возможно, какие-то внешние силы Fi внеш: Fi , = ΣFij + Fi внеш Возьмем теперь полную производную по времени от суммарного момента импульса всей системы d. M /dt = Σ d. Mi /dt = Σ[ri , Fi] = Σ Σ [ri , Fij] + Σ [ri , Fi внеш] = Σ [ri , Fi внеш] Здесь двойная сумма берется по всем значениям i и j от 1 до N и, в соответствии с третьим законом Ньютона (Fij = -Fji), будет равна нулю.

Закон сохранения момента импульса Итак, d. M /dt = Σ d. Mi /dt = Σ [ri , Fi внеш] = Σ Ni внеш Скорость изменения полного момента импульса системы определяется суммой моментов внешних (и только внешних) сил, действующих на нее. Если система замкнута (внешних сил нет или они скомпенсированы) - момент импульса не меняется. Если моменты внешних сил скомпенсированы хотя-бы в направлении одной оси - будет сохраняться проекция суммарного момента импульса на эту ось. Это утверждение составляет суть закона сохранения момента импульса в механике. Итак, мы установили существование семи (7 -ми) сохраняющихся при движении величин в замкнутых механических системах, связанных с определенными свойствами симметрии (однородности и изотропии) пространства и времени. Это: E - энергия (скаляр, 1 компонента) - следствие однородности времени P - импульс (вектор, 3 компоненты) - следствие однородности пространства M - момент импульса (псевдовектор, 3 компоненты) - следствие изотропии пространства. Возникает вопрос - полон ли этот список?

Изотропия времени и обратимость уравнений механики Соображение первое: мы пока ничего не говорили о возможной изотропии времени - то есть о том, что станет с системой, если время обратить вспять? С одной стороны - весь опыт жизни учит нас, что это невозможно. С другой - если чисто формально в уравнениях Ньютона заменить переменную t на t’ = -t и одновременно поменять знаки всех сил, действующих в системе - уравнения не изменяться. Это означает, что в механике любое движение обратимо - если поставить систему в определенные условия, она сможет пройти любую траекторию изменения и в обратном направлении тоже. Это совсем не так, например, в термодинамике - но об этом позже. В любом случае, изменить направление времени на «небольшую величину» нельзя даже теоретически - либо вперед, либо назад. Нельзя сформулировать вариационный принцип по типу тех, что мы формулировали при выводе законов сохранения. Так что единственным следствием остается факт обратимости уравнений.

Законы сохранения и интегралы движения Соображение второе: а являются ли свойства глобальной симметрии пространства - времени необходимым условием существования сохраняющихся при движении механической системы величин? И тут ответ отрицательный - нет, не являются. Действительно, система, имеющая n степеней свободы описывается системой из n уравнений Лагранжа L/ qi= d( L/ q'i)/dt дифференциальных уравнений второй степени по времени. Как нас учит математика, решение такой системы должно содержать 2 n констант, которые задаются из начальных условий задачи. Если отбросить одну, определяющую момент выбора начала отсчета (запуск секундомера) - остальные можно рассматривать как сохраняющиеся при движении величины - интегралы движения. Всего их будет 2 n - 1 штук.

Законы сохранения и интегралы движения Итак система, имеющая N степеней свободы может иметь 2 N - 1 штук интегралов движения - независимых сохраняющихся величин. Для одинокой свободной частицы, движущейся равномерно и прямолинейно, N = 1, 2 N -1 = 1 и единственной независимой сохраняющейся величиной является, естественно, ее скорость v, от которой зависят и через которую однозначно выражаются и импульс (p = mv), и энергия (E = mv 2/2), и момент импульса (Mz = mvl). Для замкнутой системы из 2 -х взаимодействующих частиц, в принципе могло-бы быть 2 x 2 x 3 -1 = 11 интегралов движения, но на самом деле их p меньше. Рассмотрим такое движение в системе центра масс, где суммарный импульс равен нулю и, следовательно, импульсы пары частиц равны и противоположны по направлению, а силы взаимодействия направлены обе вдоль линии, соединяющей материальные точки. Все вектора находятся в одной плоскости - и так в ней и должны оставаться, так как нет внешних сил, способных изменить это положение. Следовательно, частицы имеют только по 2 степени -p свободы и общее число интегралов движения как-раз 2 x 2 x 2 -1 = 7 - то есть, только известные нам законы сохранения. Для систем, содержащих большее число частиц, могут существовать и другие интегралы движения, но так ли это важно?

Аддитивные законы сохранения Далеко не все интегралы движения одинаково полезны и интересны. Особую роль в физике играют так называемые аддитивные интегралы движения - называемые собственно законами сохранения. Аддитивность состоит в том, что суммарное значение сохраняющейся величины для системы, состоящей из двух или более частей (подсистем), слабо или вовсе не взаимодействующих друг с другом, складывается из значений этой-же величины для каждой из под-систем в отдельности. таких величин - это вектор суммарного импульса (3 Мы нашли 7 компоненты), псевдовектор суммарного момента импульса (еще 3 компоненты) и, наконец, энергия - одна скалярная компонента. 3 + 1 = 7. Число 7 - это не случайность и не просто так. Все сохраняющиеся величины (сам факт того, что они сохраняются в процессе движения) связаны с глобальными свойствами времени и трехмерного пространства нашей Вселенной. И поскольку все такие свойства мы уже проанализировали, дополнительных сохраняющихся величин искать, похоже, негде.

Основные положения механики На одном из первых занятий мы сформулировали первую крупную цель глобального проекта «Физика!» - научиться строить и решать уравнения, позволяющие рассчитать характеристики движения систем физических тел (для начала - систем материальных точек). Теперь мы можем уже подвести некоторые предварительные итоги. 1. Состояние (положение в пространстве в данный момент времени) любой системы материальных тел задается конечным набором чисел обобщенными координатами qi. Число таких координат N называется числом степеней свободы системы. 2. Вся информация о движении системы в прошлом и будущем содержится в одной функции, именуемой функцией Лагранжа и имеющей вид: L = T - U, где T = Σmiq'i 2/2, суммарная кинетическая энергия системы, q'i = dqi/dt, а U = U(q) - ее суммарная потенциальная энергия, зависящая от всех координат тел системы.

Основные положения механики 2. Извлечь из функции Лагранжа уравнения движения системы можно с помощью принципа наименьшего действия: из точки с начальными координатами qin в точку с конечными координатами qfin система движется по траектории, для которой действие S - интеграл от функции Лагранжа вдоль этой траектории - будет минимальным. . S = L(t, q 1, q 2, …qn. v 1, v 2, … vn)dt = min 4. В любой системе координат для каждой обобщенной координаты qi можно записать дифференциальное уравнение Лагранжа (следствие принципа наименьшего действия): d( L/ q'i) /dt = L/ qi , где q'i = dqi /dt 5. Величины L/ q'i=pi называются обобщенными импульсами, а величины L/ qi =Fi - обобщенными силами. С их помощью уравнения Лагранжа записываются в виде dpi/dt = Fi

Основные положения механики 6. В инерциальных системах отсчета уравнения Лагранжа совпадают с уравнениями второго закона Ньютона dp/dt = F , где p = mv - вектор импульса материальной точки, а F - реальная суммарная физическая сила, действующая на нее со стороны других материальных тел. 7. Инерциальная система отсчета не вращается и не движется с ускорением относительно других инерциальных систем отсчета 8. В инерциальных системах отсчета время является однородным, а пространство - однородным и изотропным. Это означает, что законы физики (уравнения движения) не зависят от выбора начального момента времени, точки отсчета и ориентации осей системы. 9. Следствием свойств симметрии пространства и времени являются законы сохранения, справедливые для замкнутых систем в инерциальных системах отсчета: • Полной механической энергии E = T + U = Σmivi 2/2 + U(r 1, r 2, …rn) • Суммарного вектора импульса P = Σmivi • Суммарного псевдовектора момента импульса M = Σ[ri, pi ]

Основные положения механики В следующих лекциях мы попробуем применить полученное знание к решению конкретных важных физических задач. Будет интересно !

Скачать презентацию Глобальный проект Физика Лектор Доцент НИЯУ МИФИ к

Ольчак Момент импульса Lekcja_07_2015_11.ppt

Количество слайдов: 18