Глобальный проект Физика Часть 3 Механика Ньютона Лектор

Глобальный проект «Физика» Часть 3 Механика Ньютона Лектор: доцент НИЯУ МИФИ, к. ф. -м. н. , Ольчак Андрей Станиславович

Основы механики Ньютона Итак, мы строим механику, опираясь на некоторые ПЕРВОПРИНЦИПЫ, взятые Ньютоном за ее основу

Основы механики Ньютона В соответствии с Первым законом Ньютона в инерциальных системах отсчета, если на тело не действуют никакие реальные физические силы со стороны других тел, или если действие этих сил скомпенсировано, то тело либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

Основы механики Ньютона В соответствии с Первым законом Ньютона в инерциальных системах отсчета, если на тело не действуют никакие реальные физические силы со стороны других тел, или если действие этих сил скомпенсировано, то тело либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Если найти инерциальную (или почти инерциальных) систему отсчета - все остальные системы, которые движутся относительно нее равномерно и прямолинейно , будут также инерциальными и с точки зрения законов механики совершенно равноправными.

Основы механики Ньютона В соответствии с Первым законом Ньютона в инерциальных системах отсчета, если на тело не действуют никакие реальные физические силы со стороны других тел, или если действие этих сил скомпенсировано, то тело либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Если найти инерциальную (или почти инерциальных) систему отсчета - все остальные системы, которые движутся относительно нее равномерно и прямолинейно , будут также инерциальными и с точки зрения законов механики совершенно равноправными. Соответственно, движение как таковое является понятием относительным. Покоится тело или движется, и с какой скоростью – зависит от того, из какой системы отсчета ведется наблюдение.

Основы механики Ньютона В соответствии с Первым законом Ньютона в инерциальных системах отсчета, если на тело не действуют никакие реальные физические силы со стороны других тел, или если действие этих сил скомпенсировано, то тело либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Если найти инерциальную (или почти инерциальных) систему отсчета - все остальные системы, которые движутся относительно нее равномерно и прямолинейно , будут также инерциальными и с точки зрения законов механики совершенно равноправными. Соответственно, движение как таковое является понятием относительным. Покоится тело или движется, и с какой скоростью – зависит от того, из какой системы отсчета ведется наблюдение. А вот изменение скорости – наличие у тела ускорения – является в механике Ньютона понятием абсолютным и определяется силами действующими на тело!.

Законы механики Ньютона Ускорение и действующие на тело силы связывает Второй закон Ньютона: Где P md. V/dt = d. P/dt = ΣF = Fres = m. V - вектор импульса тела

Законы механики Ньютона Ускорение и действующие на тело силы связывает Второй закон Ньютона: Где P md. V/dt = d. P/dt = ΣF = Fres = m. V - вектор импульса тела Второй закон Ньютона (ЗН-II) дополняется важнейшим третьим законом (ЗН-III), гласящим: любое действие реальных физических тел друг на друга носит характер взаимодействия. Сила, с которой первое тело действует на второе в точности равна по величине и обратна по направлению силе, действующей со стороны второго тела на первое: F 12 = -F 21

Законы механики Ньютона Ускорение и действующие на тело силы связывает Второй закон Ньютона: Где P md. V/dt = d. P/dt = ΣF = Fres = m. V - вектор импульса тела Второй закон Ньютона (ЗН-II) дополняется важнейшим третьим законом (ЗН-III), гласящим: любое действие реальных физических тел друг на друга носит характер взаимодействия. Сила, с которой первое тело действует на второе в точности равна по величине и обратна по направлению силе, действующей со стороны второго тела на первое: F 12 = -F 21 ЗН-III позволяет записать систему уравнений ЗН-II для нескольких взаимодействующих тел, занумерованных индексом i = 1, 2, 3, . . . : d. P 1/dt = ΣFi 1 d. P 2/dt = ΣFi 2 и т. д.

Применение законов механики Ньютона Попробуем теперь проверить, как много нам позволят законы Ньютона узнать о движении разных объектов. Рассмотрим для начала некоторые наиболее простые случаи и сравним с тем, что наблюдается в природе. Простейший случай – одно тело, движущееся под действием постоянной по величине и направлению силы. ЗН_II имеет вид: md. V/dt = d. P/dt = F Решение этого уравнения – закон изменения вектора скорости и радиус-вектора тела со временем – имеет вид: : V (t) = V 0 +Ft /m где V 0 - вектор скорости тела в начальный момент времени t = 0. r (t) = r 0 + V 0 t +аt 2/2 где r 0 – радиус – вектор точки расположения тела в начальный момент времени, a = F/m - ускорение тела (постоянная векторная величина).

Движение под действием постоянной силы Траектория движения под действием постоянной силы будет плоской - лежащей в плоскости векторов F и V. Если выбрать систему отсчета с центром в той точке, где тело расположено в начальный момент времени (r 0 = 0) и с осью ОY, совпадающей с направлением вектора силы F, решения уравнения движения тела в проекциях на оси ОХ и OY будут иметь вид: Vx(t) = V 0 xt Vy (t) = V 0 y +аt y(t) = V 0 yt +аt 2/2 Если V 0 x=0 - движение будет равноускоренным (a = F/m) и прямолинейным (вдоль оси OY). Если V 0 x= 0 - траектория тела формирует параболу t = x/V 0 x y = (V 0 y /V 0 x ) x +аx 2/2 V 0 x 2 Это классический результат для свободного полета тела, брошенного под углом α к горизонту (V 0 y = V 0 sin α; V 0 x = V 0 : а= -g): y = x tgα - gx 2/2 V 02 cos 2α

Полет тела, брошенного под углом к горизонту А тут вы должны спросить: «А как-же средневековые артиллеристы, которые, вслед за Аристотелем, считали, что ядро из пушки летит по «треугольной» траектории, и попадали в пороховой склад во вражеской крепости? » (см. лек. 2). Ответ: в нашем решении мы не учли пока сопротивления воздуха. С его учетом уравнение движения (ЗН_II) будет иметь вид: md. V/dt = F -r. V Или, в проекциях на оси ОХ и ОY: md. Vx/dt = -r. Vx md. Vy/dt = = -r. Vy -mg Здесь -r. V - сила сопротивления воздуха которая, для симметричных тел (ядро) может быть направлена только против скорости движения и, как показывает опыт, будет тем больше, чем больше эта скорость. Решение этих уравнений дает почти треугольную траекторию с длиной гипотенузы, не зависящей от угла выстрела. L

Полет тела, брошенного под углом к горизонту с учетом сопротивления воздуха md. Vx/dt = -r. Vx Решение этой пары уравнений имеет вид: Vx = V 0 х exp(-rt/m) х = V 0 х(m/r)(1 -exp(-rt/m)) md. Vy/dt = = -r. Vy -mg Vy = (V 0 y+mg/r)exp(-rt/m) - mg/r y = (m/r)(V 0 y+mg/r)(1 -exp(-rt/m)) - mgt/r Легко проверить , что если rt << m (слабое сопротивление воздуха или малые времена полета), то можно разложить экспоненту в степенной ряд exp(-rt/m) ~= 1 -rt/m + r 2 t 2/2 m 2 +. . . и решение превращается в школьную параболу: х = V 0 хt ; y = V 0 y t -gt 2/2 В обратном предельном случае rt >> m (сильное сопротивление воздуха и достаточно большое время полета), когда exp(-rt/m) ~= 0, получаем: х = V 0 хm/r = m. V 0 cosα/r ; Vy = - mg/r то есть - в горизонтальном направлении тело не улетит дальше, чем на L х= m. V 0 cosα/r и в конце полета будет лететь вниз со скоростью Vy = - mg/r. То есть та самая почти треугольная траектория полета с независящей от угла выстрела длиной гипотенузы траектории ( «импетуса» ) L = m. V 0 /r

Полет тела, брошенного под углом к горизонту с учетом сопротивления воздуха Итак, при слабом сопротивлении rt << m тело летит по параболе : y = V 0 y t -gt 2/2 В обратном предельном случае rt >> m (сильное сопротивление воздуха и достаточно большое время полета), получается почти треугольная траектория полета с независящей от угла выстрела длиной гипотенузы траектории ( «импетуса» ) L L = m. V 0 /r Полезно рассмотреть и более простой случай одномерного движения с некоторой начальной скоростью V 0 , при котором тело испытывает только силу сопротивления среды F = -r. V (пример: торможение лодки в воде после остановки двигателя). ЗН_II имеет вид: md. V/dt = F = -r. V Решение имеет вид: V = V 0 exp(-rt/m) ; х = V 0 х(m/r)(1 -exp(-rt/m)) Путь до остановки зависит от начальной скорости, массы тела и силы сопротивления и составляет L = V 0 m/r

Движение под действием силы, перпендикулярной скорости Еще один простой, но важный случай – тело, движущееся под действием постоянной по величине силы, направленной всегда перпендикулярно скорости. Таким свойством обладает, например, сила натяжения нитки, на которой раскручивают тело, или сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в этом поле заряд. ЗН_II по прежнему имеет вид: md. V/dt = d. P/dt = F Скалярное произведение взаимно-перпендикулярных векторов (V, F) = 0, а следовательно (V, md. V/dt) = m(d. V 2/dt)/2 = 0 => V 2 = Const => V = Const Скорость тела под действием перпендикулярной ей силы по абсолютной величине меняться не будет! Но: будет меняться по направлению. Поскольку сила постоянна по величине, изменение угла направления скорости за любые одинаковые промежутки времени должно быть одинаковым. Единственная траектория, обладающая таким свойством - окружность! Радиус этой окружности R = m. V 2/F = V 2/Wn , где Wn = V 2/R - это т. н. центростремительное ускорение тела, всегда направленное к центру этой окружности. Обоснование этого результата можно найти в любом школьном учебнике по механике.

Движение под действием силы, перпендикулярной скорости Рассмотрим положение тела в два близких момента времени t и t+dt. Угол поворота радиуса окружности, упирающегося в точку, где находится тело, за это же малое время, очевидно, составит dφ = |V|dt/R. Модуль ускорения тела равен: |(V(t+dt) - V(t))/dt| = |V|dφ/dt = V 2/R = F/m V(t) R V(t+dt) dφ Поскольку ускорение, вслед за силой, направлено к центру окружности - оно называется, как известно из школьного курса физики, центростремительным. В принципе, при произвольной взаимоориентации векторов скорости и ускорения вектор ускорения всегда можно разложить на две компоненты - продольную скорости (тангенциальную) и перпендикулярную скорости (нормальную). Рассмотрим подробнее, какое дополнительное знание это разложение может дать.

Нормальное и тангенциальное ускорение Wt(t) V(t) ΔV W(t) Wn(t) V(t+Δt) При движении тела по любой траектории вектор скорости V(t) всегда направлен по касательной к траектории. Приращение вектора скорости ΔV и , соответственно, вектор ускорения W(t) могут быть направлены как угодно под любым углом к вектору скорости. Принято разделять две компоненты ускорения: - тангенциальное Wt, продольное направлению вектора скорости V(t) - нормальное Wn, перпендикулярное направлению вектора скорости V(t) Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости Нормальное ускорение - за изменение направления вектора скорости

Тангенциальное ускорение Wt(t) W(t) V(t) Wn(t) Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости и равно: Wt = d|V(t)|/dt Оно может быть отрицательным (модуль скорости убывает) или положительным (модуль скорости растет) Тангенциальное ускорение - это проекция вектора ускорения на направление вектора скорости. Эту проекцию можно найти с помощью скалярного произведения векторов ускорения и скорости: Wt = (W, V)/V = W V cos(α) / V = Wcos(α)

Нормальное ускорение Wt(t) V(t) Wn(t) W(t) Нормальное ускорение направлено перпендикулярно вектору скорости и отвечает за изменение направления вектора скорости. R Для любой точки криволинейной траектории можно указать вписанную окружность, максимально близко Радиус этой окружности R называется совпадающую с траекторией вблизи радиусом кривизны траектории в данной точки. точке. Как мы уже знаем, материальная точка, двигаясь по дуге окружности радиуса R, испытывает нормальное (перпендикулярное скорости) ускорение, равное по величине Wn = V 2/R Модуль полного ускорения будет равен: W = (d. V/dt)2 +(V 2/R)2 Эту формулу можно использовать для нахождения радиуса кривизны траектории в данной точке: R = V 2/ (d. V/dt)2 - (d. V/dt)2

Нормальное и тангенциальное ускорения. Пример задачи y V 0 С башни горизонтально с начальной Wn(t) Wt(t) V(t) скоростью V 0 брошено тело. Найти зависимость от времени радиуса кривизны траектории, нормального и тангенциального ускорения. W(t) = g x РЕШЕНИЕ (найдите ответы, закрытые синими полями): В любой точке траектории скорость тела равна V Модуль вектора скорости тела равен V ОТВЕТЫ: = V 0 + gt = V 02 + (gt)2 Wt = d. V/dt = d (V 02 + (gt)2)/dt = g 2 t/ V 02 + (gt)2 Wn = g 2 - Wt 2 = V 0 g/ V 02 + (gt)2 R = V 2/ Wn = (V 02 + (gt)2 )3/2/ V 0 g

Движение под действием силы, перпендикулярной скорости Как мы уже знаем, если тело движется под действием постоянной по величине силы, направленной всегда перпендикулярно скорости, то его скорость по абсолютной величине меняться не будет, а траекторией движения тела будет окружность. Связь между скоростью движения V, радиусом траектории R и испытываемым телом ускорением Wn(называемым нормальным или центростремительным) дается формулой: V 2/R = Wn = F/m По окружности движется, например, камень, раскручиваемый на веревке под действием силы ее натяжения. НО! И это очень важно и интересно! По траекториям, очень похожим на окружности движутся также и планеты вокруг Солнца, как установил еще Коперник. На самом деле траектории планет - это не совсем окружности, а слегка вытянутые эллипсы, но как всегда, давайте для начала пренебрежем этими малыми отличиями и посмотрим, что нам удастся узнать с помощью законов Ньютона.

Движение под действием силы, перпендикулярной скорости Если планеты, подобно камням на веревке, движутся вокруг Солнца по окружностям - какая сила играет роль силы натяжения веревки? Та же самая сила всемирного тяготения (гравитация), которая заставляет падать вниз тела у поверхности Земли. Разница состоит только в том, что в силу гигантских размеров и почти сферической формы планеты Земля (шар, радиусом 6400 км), сила, действующая на одно и то-же тело в разных точках вблизи ее поверхности (+/- несколько метров или даже несколько десятков км на фоне 6400 км роли не играют), оказывается примерно одинаковой. А расстояния от планет до Солнца во-первых - во много раз больше размеров как самих планет, так значительно большего по размерам Солнца, и потому сила гравитации, действующая на разные планеты со стороны Солнца, оказывается существенно разной по величине (зависимой от расстояния между ними и от масс Солнца и планет). А по направлению - опять-же из естественных соображений симметрии - ей некуда быть больше направленной. кроме как по линии, соединяющей центры взаимопритягивающихся тел (Солнца и планеты): F = f(M, m, r)r/r В конце XVII века догадка о существовании такой универсальной силы притяжения приходила в голову не только сэру Ньютону, но и другим его современникам (например - Роберту Гуку и сэру Галлею, открывателю знаменитой кометы). Но одно дело догадки, и совсем другое - математически строгое доказательство, подтверждаемое сравнением с наблюдениями и экспериментами. M F m r -F

Универсальная сила всеобщего тяготения Считается, что именно Уильям Галлей, подал сэру Ньютону, как самому продвинутому математику своего времени, идею заняться разработкой математически строгой «небесной механики» , благо что наблюдательного материала за движением планет за столетия развития астрономии было накоплено не мало. Задача ставится так: M F r -F m F = f(M, m, r)r/r - определить функцию f(M, m, r) в выражении для силы притяжения двух точечных (или сферически симметричных) массивных объектов - используя ЗН_II, рассчитать траектории движения разных планет и сравнить с накопленными наблюдательными данными (таблицы Кеплера и Тихо Браге). Ньютон решил эту задачу блестяще! Попробуем воспроизвести его логику, пока несколько в упрощенном виде. Как показали еще опыты итальянцев Галилея и Торичелли, и как хорошо знал Ньютон. все тела, независимо от массы, свободно падают вниз (по направлению к центру Земли) с одинаковым ускорением g. То есть - сила тяжести mg пропорциональна массе тела. Предположим, это справедливо для Солнца и планет. По ЗН_III массы Солнца и планет должны входить в зависимость симметрично - то есть в виде произведения: F = Mmf(r)r/r

Упрощенная небесная механика Далее: естественно предположить, что функция f(r) является убывающей - то есть, чем больше расстояние между телами, тем меньше сила. Вопрос - по какому закону убывает функция f(r) ? Вот тут и нужен продвинутый математический аппарат! M F r -F m F = Mmf(r)r/r Проведя сложнейшие для своего времени расчеты, Ньютон блестяще показал, что расчеты траекторий и периодов движения планет вокруг Солнца с удивительной точностью совпадают с накопленными наблюдениями, если положить f(r) = G/r 2 ! Здесь G - некоторая универсальная константа, подлежащая экспериментальному определению и получившая название гравитационной постоянной. Попробуем, вслед за Ньютоном, расчитать периоды об ращения планет вокруг Солнца. Будем для простоты считать, что изучаемая планета движется по круговой орбите радиуса R. Тогда, как мы уже знаем, существует связь силы, действующей на планету, ее скорости и радиуса вращения: V 2/R = F/m = MG/R 2 откуда скорость движения планеты равна V = (MG/R)1/2

Упрощенная небесная механика Период вращения T = 2πR/V= 2πR 3/2/(MG)1/2 оказывается пропорционален радиусу орбиты в степени 3/2, что в точности соответствует наблюдениям (закон Кеплера)! F Одного этого результата уже было бы достаточно для доказательства правоты и силы Ньютоновской механики - первой успешной теории в m рамках глобального пороекта «Физика» . Но Ньютон идет дальше. M r -F F = Mm(G/r 2) ( r/r ) Можно найти силу, действующую на на тело массы m вблизи поверхности Земли - то есть, на расстоянии r = Rз =~ 6400 км (+/_ несколько десятков километров, повторимся, особого значения не имеют) от центра Земли: F = m. Mз. G/ Rз 2 = mg, Откуда g = MЗG/RЗ 2 =~ Const. Можно также применить доказанный Ньютоном закон Кеплера к вращению Луны вокруг Земли и определить период обращения Луны T = 2πRЗЛ 3/2/(MЗG)1/2. Из этих формул можно, используя известные к тому времени по астрономическим и географическим наблюдениям данные о размерах Земли и расстоянии до Луны, определить массу Земли и гравитационную постоянную!

Механика Ньютона позволила людям сразу узнать больше про движение тел под действием сил, чем они успели узнать за сотни и тысячи лет до Ньютона. Произошло первое великое объединение казавшихся совершенно разными областей знаний - механики «земной» и механики «небесной» . После появления великих инструментов познания, какими стали законы механики Ньютона и им-же разработанный аппарат дифференциального и интегрального исчисления начинается бурное техническое развитие цивилизации. Далее мы познакомимся с тем, как строится первая полноценная физическая теория - обобщенная механика.

Будет интересно !