Глава VI Многочлены Арифметические операции над многочленами Тема

Глава VI. Многочлены. Арифметические операции над многочленами Тема 17: Многочлены и операции над ними

Опр. : многочленом называется алгебраическая сумма (т. е. сумма или разность) одночленов. Замечание: многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, а из трёх − трёхчленом. Замечание: многочлены также называют полиномами и обозначают буквой P. 5 ab − двучлен 6 p(x; y) = 2 x 2 -xy+3 y 3 − трёхчлен 2 - m+2 +3 mn 2 − не многочлен 4 m n Пример: 23 a В многочленах принято суммы и разности подобных одночленов заменять одним одночленом. Такая операция называется приведением подобных членов.

Опр. : стандартным видом многочлена называется такая его форма, когда каждый входящий в него одночлен записан в стандартном виде и приведены подобные члены. Пример: привести многочлен к стандартному виду 3 s 2 t∙ 2 t-4 s 2 t+2 s∙(-t 2 s)+3 sts = = 6 s 2 t 2 -4 s 2 t-2 s 2 t 2+3 s 2 t = 2 t 2 -s 2 t = 4 s 2+2 = 4 − степень многочлена. Опр. : степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

Арифметические операции над многочленами 1. Сложение и вычитание Чтобы найти сумму или разность многочленов, нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. При этом, если перед скобкой стоит знак «+» , то знаки слагаемых, стоящих в скобках, не меняются. Если перед скобкой стоит знак «-» , то знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. p 1(x; y)=x 2 -2 xy, p 2(x; y)=3 xy-4 y 2, p 3(x; y)=x 2 -7 y 2 Найти p 1(x; y) + p 2(x; y) - p 3(x; y) Пример: даны многочлены p 1+p 2 -p 3=(x 2 -2 xy)+(3 xy-4 y 2)-(x 2 -7 y 2)= =x 2 -2 xy+3 xy-4 y 2 -x 2+7 y 2= xy+3 y 2

2. Умножение одночлена на многочлен Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически правило «фонтанчика» сложить. Пример: (-2 ab)∙(3 a 2 -2 ab+b 2) = = (-2 ab)∙ 3 a 2 + (-2 ab)∙(-2 ab) + (-2 ab)∙b 2= =-6 a 3 b + 4 a 2 b 2 -2 ab 3

3. Умножение многочлена на многочлен Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член 1 -ого многочлена на каждый член 2 -ого многочлена и полученные произведения алгебраически сложить. Пример: (a+3)∙(a 2 -2 a+6) = = a∙a 2+a∙(-2 a)+a∙ 6 + 3∙a 2+3∙(-2 a)+3∙ 6= = a 3 - 2 a 2 + 6 a + 3 a 2 - 6 a + 18 = = a 3 + a 2 + 18 Замечание: в результате сложения, вычитания, умножения многочлена на одночлен и многочлен всегда получается многочлен.

4. Деление многочлена на одночлен Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты алгебраически сложить. Пример: (2 ab+6 a 2 b 2 -4 b 2): (-2 b) = = 2 ab: (-2 b) +6 a 2 b 2: (-2 b) + (-4 b 2): (-2 b) = = - a - 3 a 2 b + 2 b Замечание: в результате деления многочлена на одночлен не всегда получается многочлен. (2 ab-4 a): (-2 b) = 2 a алгебраическая дробь =-a+ b Пример:

Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом Анатоль Франс