Глава I Математический язык Математическая модель Тема 1

Глава I. Математический язык. Математическая модель Тема 1. От арифметики к алгебре: числовые и алгебраические выражения

Основные свойства арифметических операций 1) порядок выполнения действий: a. b. c. d. Действия в скобках; Возведение в степень; Умножение и деление; Сложение и вычитание. 2) переместительные законы (коммутативность): a. Для «+» b. Для « • » a+b = b+a ; ab = ba. 3) сочетательные законы (ассоциативность): a. Для «+» b. Для « • » (a+b)+с = a+(b+с) ; (ab)с = a(bc).

4) распределительный закон (дистрибутивность): (a+b)с = ac+bc. Помимо основных арифметических свойств также часто используются при вычислениях свойства 0 и 1, правила действий для десятичных и обыкновенных дробей, основное свойство обыкновенной дроби, правила действий для положительных и отрицательных чисел. Основное свойство обыкновенной дроби:

Алгебра как искусство решать уравнения зародилась очень давно в связи с потребности практики, в результате поиска общих приемов решения однотипных задач. Математик Мухаммед аль-Хорезми (727 -ок. 850), живший в древней столице Хорезма городе Ургенч, написал в начале IX века свою книгу «Аль-китаб аль мухтасар фи хисаб аль-джабр ва альмукабала» ( «Книга о восстановлении и противопоставлении» ), которая стала родоначальником европейских учебников алгебры. «Восстановление» означает превращение вычитаемого (по современному – «отрицательного» ) числа в положительное при перенесении из одной половины уравнения в другую. Так как в те времена отрицательные числа не считались настоящими, то операция аль – джебр (алгебра), как бы возвращающая число из небытия в бытие, казалось чудом этой науки, которую в Европе долго после этого называли «великим искусством» , рядом с «малым искусством» - арифметикой.

Один из основных объектов алгебры − числовые и алгебраические выражения. Алгебра изучает действия и операции с такими выражениями. Опр. : числовым выражением называют всякую осмысленную запись, составленную из чисел и арифметических операций. Пример: Опр. : значением числового выражения называют число, которое получается в результате выполнения арифметических действий в числовом выражении. Опр. : алгебраическим выражением называют всякую осмысленную запись, составленную из букв латинского алфавита, чисел и арифметических операций. Буквы, входящие в состав алгебраических выражений, называют переменными. Пример:

Яркой особенностью алгебры является то, что при нахождении значения числового выражения, важен не сам результат, а нахождение наиболее простого (рационального, красивого) способа его получения. Пример: вычислить Числитель А: Знаменатель В:

Опр. : значением алгебраического выражения называют число, которое получается при подстановке указанных значений переменных в алгебраическое выражение. Замечание: если при нахождении значения выражения какое-то действие невыполнимо (например, деление на нуль), то, говорят, что выражение не имеет смысла. Опр. : значения переменных называются недопустимыми, если при их подстановке выражение не имеет смысла. Опр. : формулой называется равенство, обе части которого являются алгебраическими выражениями. Пример:

Пример: найти значение алгебраического выражения если а) б) Решение а): Решение б): Деление на нуль! Переменная с недопустима

Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом Анатоль Франс