Глава 7. Плоскость. Позиционные и метрические задачи p

Глава 7. Плоскость. Позиционные и метрические задачи p Прямая может n n 31. 01. 2018 принадлежать плоскости пересекать плоскость под некоторым углом пересекать плоскость под прямым углом (быть перпендикулярна плоскости) быть параллельна плоскости 1

Пересечение прямой с проецирующей плоскостью p p Любая фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, имеет одну из своих проекций на соответствующем следе этой плоскости Эта особенность используется при решении задач на определение точек пересечения прямых линий с проецирующими плоскостями и линий пересечения с ними плоскостей произвольного положения 31. 01. 2018 2

Пересечение прямой с горизонтальнопроецирующей плоскостью Дано: α АВ. Построить точку пересечения – К, определить видимость участков прямой 1) К принадлежит АВ и α, поэтому К 1 находим на απ1 2) К 2 определяется как недостающая проекция точки К, принадлежащей прямой АВ 3) Для определения видимости АВ на π2 посмотрим в направлении стрелки на π1 31. 01. 2018 3

Пересечение прямой с горизонтальнопроецирующей плоскостью Дано: α m, α(∆АВС). Построить точку пересечения – D, определить видимость участков прямой 1) D принадлежит m и α, поэтому D 1 находим на απ1 (А 1 В 1 С 1) 31. 01. 2018 2) D 2 определяется как недостающая проекция точки D, принадлежащей прямой m 3) Для определения видимости m на π2 посмотрим в направлении стрелки на π1 4

Пересечение прямой с плоскостью общего положения p p Среди позиционных задач НГ важнейшей является задача на определение точки пересечения прямой линии с плоскостью произвольного положения Схема решения такой задачи используется и n n n 31. 01. 2018 для задач на определение точек пересечения прямых с поверхностью линий пересечения плоскости с поверхностью линий пересечения любых поверхностей с линейчатыми поверхностями и др. 5

Глава 7. Относительное положение прямой и плоскости, плоскостей p Две плоскости могут быть параллельными или пересекаться между собой n n 31. 01. 2018 под прямым углом под некоторым углом 6

Пересечение плоскостей p p Если две плоскости пересекаются, то линия их пересечения – прямая линия и она принадлежит обеим плоскостям Если одна из плоскостей – проецирующая, то одна из проекций линии пересечения располагается на соответствующем следе этой плоскости 31. 01. 2018 7

Схема решения задачи на определение точки пересечения прямой линии с плоскостью 1. 2. 3. 4. Через прямую проводим одну из проецирующих плоскостей Определяем линию пересечения заданной плоскости с вспомогательной проецирующей плоскостью Определяем точку пересечения данной прямой с построенной линией пересечения – эта точка, общая для заданных прямой и плоскости, является искомой точкой пересечения Определяем видимые и невидимые (относительно плоскостей проекций) отрезки прямой линии, применяя способ «конкурирующих точек» 31. 01. 2018 8

Пересечение прямой с плоскостью общего положения Дано: α m, α(∆АВС). Построить точку пересечения – К, определить видимость участков прямой 1) Провести вспомогательную плоскость α 2) Построить линию пересечения α и ∆АВС. Это линия 1 -2 3) Определить точку пересечения линии 1 -2 и m. Это точка К – точка пересечения α и m 31. 01. 2018 4) Видимость участков прямой m определить с помощью конкурирующих точек 1 и 3, 4 и 5 9

Пересечение плоскости общего положения с горизонтально-проецирующей плоскостью Дано: α(απ1, απ2) пересекает β(βπ1, βπ2) Построить линию пресечения АВ АВ принадлежит плоскостям α и β А 1 В 1 принадлежит βπ1, т. к. Β – горизонтальнопроецирующая плоскость В≡ В 2 (точка пересечения фронтальных следов) 31. 01. 2018 А≡А 1, т. к. А - точка пересечения горизонтальных следов, поэтому А 2 10 принадлежит оси x

Пересекающиеся плоскости Дано: АВС и DEK Построить линию пересечения Определить видимость линий на 1 Определить видимость линий на 2 31. 01. 2018 11

Взаимная параллельность плоскостей, прямой и плоскости p p p Прямая параллельна плоскости, если в этой плоскости имеется прямая, параллельная ей Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости Две плоскости параллельны, если они заданы следами и два пересекающихся между собой следа одной плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости 31. 01. 2018 12

Параллельные плоскости Дано: АВС и точка D Построить плоскость (m n) параллельную АВС Задать горизонталью (m) и линией ската (n) 31. 01. 2018 13

Перпендикулярность прямых и плоскостей p Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую линию перпендикулярную другой плоскости p Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости 31. 01. 2018 14

Перпендикулярные плоскости Дано: АВС и точка D Построить плоскость α(f m) ∆АВС 31. 01. 2018 15

ВЫВОДЫ 1. 2. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. За эти пересекающиеся прямые плоскости принимают обычно фронталь и горизонталь, т. к. к ним можно провести линию под прямым углом Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой этой плоскости 31. 01. 2018 16

ВЫВОДЫ 3. 4. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости 31. 01. 2018 17