Глава 5 Уравнения динамики системы в обобщенных координатах § 1. Обобщенные координаты и скорости § 2. Обобщенные силы § 3. Условия равновесия системы в обобщенных координатах § 4. Уравнения Лагранжа
§ 1. Обобщенные координаты и скорости Будем рассматривать системы с голономными связями (геометрические и интегрируемые дифференциальные) В этом случае число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом степеней свободы системы
Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение, называют обобщенными координатами системы ( q 1, q 2, … , qs ) Координаты q 1, q 2, … , qs независимы, значит, и элементарные приращения δq 1, δq 2, … , δqs независимы между собой. При этом каждая из них определяет независимое от других возможное перемещение системы
При переходе от одной системы координат к другой можно установить связь между ними хк = хк (q 1, q 2, … , qs) Для радиус-вектора rk k-ой точки системы rк = rк (q 1, q 2, … , qs) Если система движется, то и обобщенные координаты будут изменяться со временем q 1= f 1(t), q 2=f 2(t), … , qs=fs(t) (1) – кинематические уравнения движения системы в обобщенных координатах
Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы (2) – уравнения скорости движения системы в обобщенных координатах Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты
§ 2. Обобщенные силы Рассмотрим механическую систему из n материальных точек, на которую действуют силы Система имеет s степеней свободы, и ее положение определяется обобщенными координатами q 1, q 2, … , qs
Сообщаем системе некоторое возможное перемещение, такое, что координата q 1 получает приращение δq 1, а остальные не изменяются. Тогда каждый из радиус-векторов rk точек системы получит элементарное приращение (δrk)1 , которое вычисляется как частный дифференциал т. к. rk=rk(q 1, q 2 , … , qs )
Вычислим сумму элементарных работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении
Величину Q 1 называют обобщенной силой, соответствующей координате q 1, Сообщая системе другое независимое возможное перемещение, при котором изменяется только координата q 2, получим где Q 2 – обобщенная сила , соответствующая q 2
Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этом перемещении (3) – полная элементарная работа всех действующих на систему сил в обобщенных координатах
Обобщенные силы – это величины, равные коэффициентам приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил Если все наложенные связи идеальные, то работу совершают только активные силы − обобщенные активные силы системы − размерность обобщенной силы системы зависит от [q]
Чтобы решить прямую задачу динамики, т. е. найти обобщенные силы, нужно 1. Установить число степеней свободы системы 2. Выбрать обобщенные координаты 3. Изобразить все активные силы и силы трения, если они совершают работу 4. Сообщить системе такое перемещение, при котором изменяется только одна координата. Задав ей положительное приращение, вычислить сумму элементарных работ на этом перемещении, записав ее в виде тогда коэффициент при δq 1 даст искомую величину 5. Аналогично вычисляются остальные обобщенные силы системы Q 2, Q 3, …, Qs
Область, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует сила, зависящая от положения этой точки, называется силовым полем Чтобы силовое поле было потенциальным, необходимо и достаточно выполнение условия
Если все действующие на систему силы являются потенциальными, то существует такая силовая функция U, которая зависит от координат точек системы (xk, yk, zk), что
Если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции U по соответствующим обобщенным координатам Так как потенциальная энергия является П = -U , то
§ 3. Условия равновесия системы в обобщенных координатах Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах (*) т. к. δqi независимы между собой, необходимо, чтобы (**)
Для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенных координат, были равны нулю Число условий равновесия (**) равно числу обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы системы
В случае потенциальной силы условия (**) запишутся или
При равновесии полный дифференциал функций U или П равны нулю или Система, на которую действуют потенциальные силы, в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеет экстремум, находится в равновесии
§ 4. Уравнения Лагранжа Найдем уравнения движения механической системы в обобщенных координатах Вспомним п-п Даламбера-Лагранжа Рассматривать будем общую задачу, т. е. в первую сумму будут входить не только работы активных сил, но и сил трения
Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определяется обобщенными координатами qk, тогда Для сил инерции тоже можно перейти к обобщенным силам инерции, тогда где
Тогда − п-п Даламбера-Лагранжа, т. к. δqk независимы, то, следовательно, Вспомним, что
следовательно, Вспомним, что тогда
Докажем необходимые равенства I) Вспомним, что и тогда
II) Т. к. операции полного дифференцирования по времени и частного по обобщенным координатам переместительны, то тогда и
то Т – кинетическая энергия и т. к.
Для других обобщенных сил инерции можно записать аналогичные выражения. Тогда запишутся Получили дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнение Лагранжа для голономных систем
Вид и число этих уравнений не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в систему, ни от того, как эти тела движутся Число уравнений Лагранжа определяется только числом степеней свободы системы При идеальных связях обобщенные активные силы Qi и эти уравнения позволяют заранее исключить все наперед неизвестные реакции связей Уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифф. уравнения второго порядка относительно обобщенных координат
Основная задача динамики в обобщенных координатах I) Зная обобщенные силы и начальные условия, найти закон движения системы в виде В случае потенциальных сил
Сделаем преобразования Если введем функцию Лагранжа (кинетический потенциал), то
Скачать презентацию Глава 5 Уравнения динамики системы в обобщенных координатах
Уравнения динамики системы в обобщенных координатах.ppt