ГЛАВА 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной

ПУСТЬ ДАНА ФУНКЦИЯ определенная на множестве, содержащем некоторую точку х0 Дадим значению аргумента х0 приращение х получим точку х0+ х Значение функции в точке х0 – f(х0) Значение функции в точке х0+ х – f(х0 + х )

ФУНКЦИЯ ИЗМЕНИТСЯ НА Y которое составит приращение функции Приращение функции y есть разность между значениями функции в конечной и начальной точках.

РАЗДЕЛИМ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА И ПОЛУЧИМ Это отношение приращений имеет смысл средней скорости изменения функции на промежутке

ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ МГНОВЕННУЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Х 0, НЕОБХОДИМО УСТРЕМИТЬ ДЛИНУ ИНТЕРВАЛА Х К НУЛЮ И ПЕРЕЙТИ К ПРЕДЕЛУ Этот предел и называется производной функции y=f(x) в точке x 0 и обозначается

О П Р Е Д Е Л Е Н И Е. Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении этого приращения к нулю:

ЕСЛИ ПРИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ БЕРУТСЯ ТОЛЬКО ЛЕВЫЙ ИЛИ ТОЛЬКО ПРАВЫЙ ПРЕДЕЛЫ, ТО И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НАЗЫВАЮТ ЛЕВОЙ ИЛИ ПРАВОЙ. ИХ ОБОЗНАЧАЮТ СООТВЕТСТВЕННО Если левая и правая производные совпадают, то функция имеет производную Если односторонние производные в точке разные или хотя бы одна из них не существует, то и производная в точке не существует.

ЕСЛИ ОБЕ ОДНОСТОРОННИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ В ТОЧКЕ ОБРАЩАЮТСЯ В БЕСКОНЕЧНОСТЬ, ТО ГОВОРЯТ, ЧТО В ТОЧКЕ СУЩЕСТВУЕТ БЕСКОНЕЧНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ. В дальнейшем, говоря о существовании производной, будем предполагать, её конечной, а случай бесконечной производной будем специально оговаривать.

ПРИМЕР 1. ИСХОДЯ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ, НАЙТИ ПРОИЗВОДНУЮ ФУНКЦИИ

1. Дифференцированием называется операция нахождения производной функции. 2. Если функция имеет производную в точке , то говорят, что функция дифференцируема в этой точке. 3. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала , то говорят, что она дифференцируема на этом интервале. 4. Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке. Но из непрерывности функции в точке не следует дифференцируемость в точке, т. е. существование производной в точке. 5. Физический смысл производной функции в точке: производная есть скорость изменения функции в данной точке.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ