Глава 5 Аналитическая геометрия 1 Прямая

Глава 5. Аналитическая геометрия

§ 1. Прямая на плоскости

Пусть L – прямая на плоскости.

Вектор называется направляющим вектором прямой L, если Вектор называется нормальным вектором прямой L, если

k = tgα – угловой коэффициент прямой, где

Рассмотрим различные способы задания прямой на плоскости.

1. Уравнение прямой, проходящей через точку M 0(x 0; y 0) и перпендикулярной вектору A(x – x 0) + B(y – y 0) = 0.

2. Общее уравнение прямой на плоскости: Ax + By + C = 0, где причем A 2 + B 2 ≠ 0.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M 0(x 0; y 0): y – y 0 = k(x – x 0).

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx + b.

5. Векторно-параметрическое уравнение прямой: где и – радиусы-векторы произвольной и заданной точек прямой соответственно, – ненулевой направляющий вектор,

6. Параметрические уравнения прямой: где M 0(x 0; y 0) – точка, лежащая на прямой, – ненулевой направляющий вектор.

7. Каноническое уравнение прямой: где M 0(x 0; y 0) – точка, лежащая на прямой, – ненулевой направляющий вектор.

8. Уравнение прямой, проходящей через точки M 1(x 1; y 1) и M 2(x 2; y 2):

9. Уравнение прямой в отрезках: где M 1(a; 0) и M 2(0; b) – точки пересечения прямой с осями координат.

Угол φ между двумя прямыми на плоскости вычисляется по формуле где k 1, k 2 – угловые коэффициенты прямых.

Если и – направляющие векторы, и – нормальные векторы, k 1 и k 2 – угловые коэффициенты прямых L 1 и L 2 соответственно, то:

тогда и только тогда, когда либо k 1 = k 2; тогда и только тогда, когда либо k 1 k 2 = – 1.

Расстояние d от точки M 0(x 0; y 0) до прямой, заданной уравнением Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле

§ 2. Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

называемому каноническим уравнением эллипса.

Пусть a > b > 0.

Числа a, b называются соответственно большой и малой полуосью эллипса; точки F 1(–c; 0) и F 2(c; 0), где – фокусами эллипса, величина 2 c определяет фокусное расстояние.

Точки A 1(–a; 0), A 2(a; 0), B 1(0; –b), B 2(0; b) называются вершинами эллипса, точка O(0; 0) – его центром.

– эксцентриситет эллипса, 0 < ε < 1. r 1 = F 1 M, r 2 = F 2 M – фокальные радиусы точки M, причем r 1 + r 2 = 2 a.

Прямые и – директрисы эллипса.

Пусть теперь 0 < a < b.

Тогда a – малая полуось, b – большая полуось, F 1(0; –c) и F 2(0; c) – фокусы. При этом r 1 + r 2 = 2 b, директрисы определяются уравнениями: и

При a = b ≠ 0 эллипс представляет собой окружность радиуса R = a с центром в начале координат, при этом ε = 0.

Если центр эллипса с полуосями a, b находится в точке C(x 0; y 0), то его уравнение имеет вид

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке C(x 0; y 0) имеет вид (x – x 0)2 + (y – y 0)2 = R 2.

В частности, если центр окружности находится в начале координат, то ее параметрические уравнения:

§ 3. Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

называемому каноническим уравнением гиперболы.

Числа a, b называются полуосями гиперболы (a – действительная полуось, b – мнимая); точки F 1(–c; 0) и F 2(c; 0), где – фокусами гиперболы, величина 2 c определяет фокусное расстояние.

Точки A 1(–a; 0), A 2(a; 0), называются вершинами гиперболы, точка O(0; 0) – ее центром.

– эксцентриситет гиперболы, ε > 1. r 1 = F 1 M, r 2 = F 2 M – фокальные радиусы точки M, причем |r 1 – r 2| = 2 a.

Прямые и – директрисы гиперболы.

Прямые – асимптоты гиперболы.

Уравнение определяет гиперболу, сопряженную данной.

В таком случае a – мнимая полуось, b – действительная полуось; вершины находятся в точках B 1(0; –b) и B 2(0; b), фокусы – в точках F 1(0; –c) и F 2(0; c);

– эксцентриситет; – уравнения директрис.

При a = b гипербола называется равнобочной (или равносторонней).

Если центр гиперболы с полуосями a, b находится в точке C(x 0; y 0), то его уравнение имеет вид

§ 4. Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

y 2 = 2 px (p > 0), называемому каноническим уравнением параболы.

Величина называется фокальным радиусом точки M, прямая – директрисой. Для параболы эксцентриситет ε = 1.

Существуют другие формы канонических уравнений параболы.

y 2 = – 2 px

x 2 = – 2 py

x 2 = – 2 py

Уравнение параболы с осью симметрии, параллельной одной из координатных осей, с вершиной в точке C(x 0; y 0) имеет вид (y – y 0)2 = ± 2 p(x – x 0) или (x – x 0)2 = ± 2 p(y – y 0).

§ 5. Плоскость в пространстве

Рассмотрим различные способы задания плоскости в пространстве.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0(x 0; y 0; z 0) перпендикулярно нормальному вектору A(x – x 0) + B(y – y 0) + C(z – z 0) = 0.

2. Общее уравнение плоскости в пространстве: Ax + By + Cz = 0, где причем A 2 + B 2 + C 2 = 0,

3. Уравнение плоскости, проходящей через точки M 1(x 1; y 1; z 1), M 2(x 2; y 2; z 2) и M 3(x 3; y 3; z 3):

Уравнение плоскости в отрезках: где M 1(a; 0; 0), M 2(0; b; 0) и M 3(0; 0; c) – точки пересечения плоскости с осями координат.

Угол φ между двумя плоскостями вычисляется по формуле где и – нормальные векторы плоскостей.

Если и – нормальные векторы плоскостей P 1 и P 2 соответственно, то: тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда

Расстояние d от точки M 0(x 0; y 0; z 0) до плоскости, заданной уравнением Ax + By + C + D = 0, вычисляется по формуле

§ 6. Прямая в пространстве

Рассмотрим различные способы задания плоскости в пространстве.

1. Векторно-параметрическое уравнение прямой: где и – радиусы-векторы произвольной и заданной точек прямой соответственно, – ненулевой направляющий вектор,

2. Параметрические уравнения прямой: где M 0(x 0; y 0; z 0) – точка, лежащая на прямой, – ненулевой направляющий вектор.

3. Каноническое уравнение прямой: где M 0(x 0; y 0; z 0) – точка, лежащая на прямой, – ненулевой направляющий вектор.

4. Уравнение прямой, проходящей через точки M 1(x 1; y 1; z 1) и M 2(x 2; y 2; z 2):

5. Общие уравнения прямой в пространстве (как линия пересечения двух плоскостей): где – неколлинеарные векторы, причем направляющий вектор

Угол φ между двумя прямыми в пространстве вычисляется по формуле где и – направляющие векторы прямых.

Если и – направляющие векторы прямых L 1 и L 2 соответственно, то: тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда

Угол φ между прямой и плоскостью в пространстве вычисляется по формуле где – направляющий вектор прямой – нормальный вектор плоскости.

Если – направляющий вектор прямой L, – нормальный вектор плоскости P, то: тогда и только тогда, когда тогда и только тогда, когда

§ 7. Поверхности второго порядка

Эллипсоид:

Конус второго порядка:

Однополостный гиперболоид:

Двуполостный гиперболоид:

Эллиптический параболоид:

Гиперболический параболоид:

Эллиптический цилиндр:

Гиперболический цилиндр:

Параболический цилиндр: y 2 = 2 px (p > 0)

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир. И. Гёте