ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§ 1 Множества. Основные определения. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают .

Множества, элементами которых являются числа, называют числовыми. Примерами числовых множеств являются: N Z Q множество натуральных чисел; множество целых чисел; множество рациональных чисел; R множество действительных чисел.

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые логические символы: означает «для любого» , «для всякого» , «каждый» ; означает «существует» , «найдется» ; : «имеет место» , «такое, что» ; «предложения равносильны» ; и «из предложения предложение следует » .

§ 2 Числовые промежутки. Окрестность точки. Пусть и действительные числа, причем Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид отрезок; интервал; полуинтервал.

Числа и называются соответственно левым и правым концами промежутков. Пусть любое действительное число (точка на числовой оси). Окрестностью точки любой интервал называется содержащий точку В частности, интервал , где называется -окрестностью точки

§ 3 Понятие функции. Способы задания функций. Пусть даны два непустых множества Правило и по которому каждому элементу поставлен в соответствие один и только один элемент называется функцией и записывается или При этом множество определения функции или функции называется областью и обозначается а множество и обозначается множеством значений или

Пусть функция такова, что для В этом случае любому элементу может быть поставлен в соответствие единственный элемент тем самым определена новая функция называемая обратной заданной функции Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Если где R, то функция называется сложной функцией или композицией функций и Чтобы задать функцию правило, позволяющее, зная необходимо указать находить соответствующее значение Существуют три способа задания функций:

1) графический: задается график функции; 2) табличный: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции; 3) аналитический: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений. Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию

§ 4 Основные характеристики функции. 1) Функция определенная на множестве называется четной, если выполняются условия: нечетной, если и выполняются условия: и Из определения следует, что если функция задана аналитически и ее область определения не является симметричным относительно точки множеством, то функция не может быть ни четной, ни нечетной.

График четной функции симметричен относительно оси а нечетной относительно начала координат. 2) Функция называется возрастающей на на интервале если выполняется условие Функция называется убывающей на на интервале если выполняется условие Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Интервалы, на которых функции монотонны, называются интервалами монотонности. 3) Функцию определенную на множестве называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число

§ 5 Основные элементарные функции и их графики. Понятие элементарной функции. Основными элементарными функциями называются следующие функции: 1. Степенная функция R.

2. Показательная функция

3. Логарифмическая функция

4. Тригонометрические функции

5. Обратные тригонометрические функции.

Функция, задаваемая одной формулой и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и композиций, называется элементарной функцией. Примеры элементарных функций:

Примеры неэлементарных функций: где

§ 6. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Функция, областью определения которой является множество N натуральных чисел, называется числовой последовательностью и обозначается или При этом или называется n-ым членом последовательности. Геометрически каждому члену последовательности соответствует точка на числовой оси

Пример. Формула задает последовательность:

Пусть функция последовательно принимает значения т. е. пробегает последовательность Важным случаем такого изменения функции является тот, при котором по мере возрастания номера соответствующие значения неограниченно приближаются (стремятся) к некоторому постоянному значению в этом случае говорят, что последовательность стремится к пределу Но выражения «неограниченно приближаются» , «стремятся» неопределенные и поэтому не годятся для точного математического понятия предела.

Для точного определения понятия «предел» введем поскольку произвольное малое положительное число оно произвольно, его по желанию можно задавать равным 0, 01, и 0, 001, и вообще Факт неограниченного сближения последовательности с постоянной можно охарактеризовать так: каково бы ни было малое положительное число в процессе изменения последовательности рано или поздно должен наступить такой момент, начиная с которого все ее будут отличаться от дальнейшие значения по абсолютному значению меньше, чем на это произвольное

Пусть этому моменту отвечает значение оно, очевидно, зависит от задания числа чем меньше, тем больше должно быть зависимость от записывается в виде Итак, факт неограниченного приближения к постоянной последовательности можно математически записать следующим образом:

Определение. Число называется пределом последовательности если для любого положительного числа найдется такое натуральное число что для всех номеров будет выполняться неравенство

Кратко определение предела можно записать так: (6. 1) Геометрический смысл определения предела последовательности: равносильно неравенствам Неравенство или т. е.

Поэтому определение предела последовательности можно сформулировать так: число называется пределом последовательности если для любой окрестности точки найдется такой номер что все члены последовательности для которых окрестность попадут в точки

Ясно, что чем меньше тем больше число но в любом случае внутри окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае расходящейся. Пример. Доказать, что Решение. Воспользуемся определением (6. 1):

Преобразуем последнее неравенство Таким образом, можно взять равным ближайшему по избытку к натуральному числу, т. е. равным где

целая часть числа т. е. наибольшее целое число, не превосходящее Итак, для указано соответствующее значение Это и доказывает, что Например, для соответствующее значение т. е. все члены последовательности, начиная с попадут в интервал

§ 7 Предел функции в точке. Бесконечно большая и бесконечно малая функция. Рассмотрим функцию непрерывно изменяющегося аргумента стремится к и предположим, что аргумент некоторому числу Может случиться, что при неограниченном приближении аргумента значения функции к числу соответствующие неограниченно приближаются к некоторому числу

Определение. Число при числе называется пределом функции если при всяком положительном можно указать другое положительное число зависящее от выбора величина разности такое, что абсолютная будет меньше когда абсолютная величина разности будет меньше т. е. если числовые значения функции будут заключены в произвольной -окрестности при условии, что числовые значения аргумента числа взяты в достаточно малой -окрестности числа (исключая само число ):

Бесконечно большая функция (б. б. ф). Определение. Функция называется б. б. ф. при если для любого числа найдется такое положительное число зависящее от выбора удовлетворяющих условию будет выполняться: что для всех

Бесконечно малая функция (б. м. ф. ). Связь между б. м. ф. и б. б. ф. Определение. Функция при называется б. м. ф. если для любого числа найдется такое положительное число выбора что для всех зависящее от удовлетворяющих условию будет выполняться:

Теорема. 1) Если б. м. ф. в б. б. ф. в 2) Если то т. е. б. б. ф. в б. м. ф. в то т. е.

Символически это утверждение можно записать так: и где символы и следует понимать как неограниченно близкое приближение к нулю и к бесконечности соответственно.

§ 8 Вычисление пределов. Практическое вычисление пределов основывается на связи между б. м. ф. и б. б. ф. и на следующей теореме. Теорема. Если и 1) 2) 3) то:

4) 5) 6) 7)

При применении этой теоремы необходимо иметь в виду, справедливо: что для любого ненулевого числа 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 10) 5) 11)

А если условия этой теоремы не выполнены, то могут возникнуть неопределенности вида которые в простейших случаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований данного выражения и отыскание предела в таких случаях называют раскрытием неопределенностей.

Кроме того, будем пользоваться тем фактом, что для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство Последнее равенство можно понимать так: вычисление любого предела нужно начинать с непосредственной подстановки предельного значения, и, если нет неопределенностей, то сразу записать ответ.

Также при нахождении пределов полезно иметь в виду следующие свойства показательной функции:

Пример. 1) 2)

3)

4)

5) Примечание: где и уравнения. корни соответствующего квадратного

6) Примечание:

7)

8)

9)

10)

§ 9 Первый и второй замечательные пределы. Замечательными (ввиду большого числа их применений) назвали следующие два предела Первый: или

Второй: или где экспонента,

Первый замечательный предел применяется для раскрытия неопределенности вида при вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции. Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенности вида

Пример. 1)

2)

3)

4)

§ 10 Односторонние пределы. В определении предела считается, что стремится к оставаясь меньшим, чем большим, чем около точки приближения к любым способом: (слева от (справа от ), ) или колеблясь Но бывают случаи, когда способ существенно влияет на значение предела функции, поэтому вводят понятие односторонних пределов.

Определение. Число называется пределом функции если слева в точке и обозначается или

Определение. Число называется пределом функции справа в точке и обозначается или если

Пределы слева и справа называются односторонними пределами. используется особая запись: Примечание. Для вместо и пишут соответственно Символы и следует понимать как бесконечно близкое приближение к нулю, оставаясь при этом левее (правее) нуля.

Пример. 1) 2)

§ 11. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Пусть функция определена в Для называют приращением аргумента а приращением функции в точке

Очевидно, что и могут быть как положительными, так и отрицательными.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке если т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке 1) 2) 3) 4) определена в точке если и ее окрестности; и

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она называется непрерывной на этом множестве. Точка называется точкой разрыва, если хотя бы одно из условий определения 2. Если нарушено условие 2), то точка называется точкой разрыва второго рода; а если нарушены условия 3) или 4), то точка называется точкой разрыва первого рода (при нарушении условия 3) скачка и скачок равен называется точкой

а при нарушении условия 4) называется точкой устранимого разрыва). Свойства непрерывных функций. 1) Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения. 2) Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция. 3) Частное от деления двух непрерывных функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых знаменатель не равен нулю.

4) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения. Пример. Найти точки разрыва функции и установить их характер а) б)

Решение. а) Функция является элементарной, а следовательно, по свойству 1, и непрерывной на всем множестве R, за исключением точки Значит, является точкой разрыва данной функции. Выясним характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы в этой точке:

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, т. е. не выполняется условие 2) определения 2, то точка разрыва второго рода. б) Данная функция непрерывна для так как на каждом из этих интервалов формулы, задающие функцию, определяют элементарные функции. Точкой разрыва может быть лишь точка в которой меняется аналитическое выражение функции Найдем односторонние пределы:

Так как и то в точке исходная функция имеет точку разрыва первого рода, а именно точку скачка, скачок равен