Глава 4. Введение в анализ § 1.

Скачать презентацию Глава 4. Введение в анализ  § 1. Скачать презентацию Глава 4. Введение в анализ § 1.

Глава 4-1.ppt

  • Количество слайдов: 21

>Глава 4. Введение в анализ  § 1. Основные понятия Глава 4. Введение в анализ § 1. Основные понятия

>Числовые промежутки.  Окрестность точки Числовые промежутки. Окрестность точки

> О п р е д е л е н и е 2. Окрестностью О п р е д е л е н и е 2. Окрестностью точки x 0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. • О п р е д е л е н и е 3. Пусть — некоторое положительное число. • -окрестностью точки x 0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x 0 ‑ , x 0 + ). • Принадлежность точки x ‑окрестности точки можно выразить с помощью неравенства x – x 0 < . • Число называется радиусом окрестности. X 0 - X 0+

> Функция Функция

>О п р е д е л е н и е 1. Пусть D О п р е д е л е н и е 1. Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. • Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x). • Число x называется аргументом функции • Множество D — областью определения функции • Все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции.

> • О п р е д е л е н и е 2. • О п р е д е л е н и е 2. Графиком функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной х, а ординаты – соответствующими значениями функции.

> О п р е д е л е н и е 3. Функция О п р е д е л е н и е 3. Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x 1 < x 2, выполняется условие f(x 1) < f(x 2) (f(x 1) > f(x 2)). • Функция f называется невозрастающей (неубывающей) на множестве G, если для любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x 1 < x 2, выполняется условие f(x 1) f(x 2) (f(x 1) f(x 2)).

> О п р е д е л е н и е 4. Возрастающие, О п р е д е л е н и е 4. Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве G называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. • Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. • О п р е д е л е н и е 5. Функция f(x) называется ограниченной на множестве G, если существует такое число М>0, что x G выполняется неравенство f(x) M. • Отсюда следует, что график f(x) лежит между прямыми у = - М и у = М.

>О п р е д е л е н и е 6. Функция называется О п р е д е л е н и е 6. Функция называется четной, если

>График четной функции симметричен относительно оси ОУ. График четной функции симметричен относительно оси ОУ.

>О п р е д е л е н и е 7. Функция называется О п р е д е л е н и е 7. Функция называется нечетной, если

>График нечетной функции симметричен относительно начала координат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

>О п р е д е л е н и е 8. Функция f(x) О п р е д е л е н и е 8. Функция f(x) называется периодической, если T 0 x D f(x+T)=f(x) • Т называется периодом функции. • Все тригонометрические функции являются периодическими.

> О п р е д е л е н и е 9. Пусть О п р е д е л е н и е 9. Пусть задана функция у=f(x) с областью определения D и множеством значений Е. • Если каждому значению у Е соответствует единственное значение х D, то определена функция х = (у) с областью определения Е и множеством значений D. • Такая функция (у) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: x= (у) = f -1 (y). • Про функции у = f(x) и х= (у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х= (у), обратную к функции у = f(x), достаточно решить уравнение f(x)=y относительно х (если это возможно).

> • Примеры • 1) Для функции у = 2 х обратной  функцией • Примеры • 1) Для функции у = 2 х обратной функцией является функция х=0, 5 у. • 2) Для функции у = х2, х [0; 1], обратной функцией является

>Из определения обратной функции вытекает,  • что функция у = f(x) имеет обратную Из определения обратной функции вытекает, • что функция у = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. • Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. • При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

>Заметим, что функция у = f(x) и обратная ей х= (у) изображаются одной и Заметим, что функция у = f(x) и обратная ей х= (у) изображаются одной и той же кривой, • т. е. графики их совпадают. • Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную через у, то функция обратная функции у = f(x) запишется в виде у = (x).

>Это означает, что точка M 1 (x 0; y 0) кривой у = f(x) Это означает, что точка M 1 (x 0; y 0) кривой у = f(x) становится точкой М 2(у0; х0) кривой у = (х). • Но точки М 1 и М 2 симметричны относительно прямой у=х. • Поэтому графики взаимно обратных функций у = f(x) и у= (х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

>О п р е д е л е н и е 9. Пусть функция О п р е д е л е н и е 9. Пусть функция у = f(u) определена на множестве D, а функция и = (х) на множестве D 1, причем для x D 1 соответствующее значение и = (x) D. • Тогда на множестве D 1 определена функция и= f( (x)), которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции) • Переменную и = (x) называют промежуточным аргументом сложной функции. • Например, функция у = sin 2 x есть суперпозиция двух функций у = sin u и и = 2 х. • Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

>Основные элементарные функции Основные элементарные функции

> • П р и м е ч а н и е. Функции, построенные • П р и м е ч а н и е. Функции, построенные из основных элементарных функций и полученные при помощи конечного числа арифметических действий, называются элементарными.