Глава 4 Интегральное исчисление функции одной переменной

Глава 4. Интегральное исчисление функции одной переменной § 1. Неопределенный интеграл П. 1. Первообразная функции Разнообразные задачи математического анализа и многочисленные приложения в геометрии, механике, физике приводят к задаче: по данной функции y=f(x) требуется найти такую функцию , производная которой была бы равна f(x), т. е. F/(x)=f(x). Восстановление функции по ее производной – одна из основных задач раздела математического анализа, называемого интегральным исчислением. Операция отыскания функции по ее производной называется интегрированием.

ОПР. 1. 1. Функцию Y=F(x), заданную на промежутке X, называют первообразной для функции y=f(x), заданной на том же промежутке, если для всех x X выполняется F/(x)=f(x). Теорема 1. 1. (о множестве всех первообразных) Пусть для функции y=f(x) на промежутке X существует первообразная F(x). Тогда функция y=f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые имеют вид F(x)+C. Док-во: Пусть F(x) первообразная для y=f(x). Тогда (F(x)+C)/=F/(x)+C/=f(x)+0=f(x). Это означает, что F(x)+C также является первообразной для функции y=f(x). Пусть теперь Ф (x) тоже первообразная для функции y=f(x), т. е. Ф/ (x)= F/(x)=f(x). Тогда по теореме о разности функций, имеющих одинаковые производные верно равенство Ф (x) –F(x)=C, откуда получаем Ф (x) =F(x)+C, следовательно, любая первообразная функции y=f(x) имеет вид

ОПР. 1. 2. Если функция имеет первообразную F(x) на промежутке X, то множество всех ее первообразных называется неопределенным интегралом от функции y=f(x). Обозначение: Знак называют интегралом, f(x) - подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, C постоянной интегрирования.

П. 2. Таблица основных интегралов

П. 3. Свойства неопределенного интеграла Теорема 1. 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е. и Док-во: Помним, что по определению , причем F/(x)=f(x). Каждое свойство проверяется непосредственным вычислением: Теорема 1. 3. Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т. е. Док-во: Так как (F(x)+C)/=F/(x), то по определению неопределенного интеграла имеем . Теорема доказана.

Теорема 1. 4. Для неопределенного интеграла справедливы следующие свойства: 1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: 2. Если существуют неопределенные интегралы и , то неопределенный интеграл алгебраической суммы функций f 1(x) f 2(x) равен сумме неопределенных интегралов от этих функций:

§ 2. Методы интегрирования П. 1. Интегрирование методом подстановки Теорема 2. 1. Пусть функция x= (t) определена и дифференцируема на некотором промежутке T и пусть X - множество значений этой функции, на котором в свою очередь определена функция y=f(x). Тогда, если на множестве X функция y=f(x) имеет первообразную, то на множестве T справедлива формула Формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Док-во: Пусть F(x) - первообразная для функции y=f(x) на множестве X. Рассмотрим на множестве T сложную функцию F( (t)). По правилу дифференцирования сложной функции получаем (F( (t)))/=F/( (t)) /(t)=f( (t)) /(t). Следовательно, функция f( (t)) /(t) имеет на множестве T первообразную F( (t)). Значит Замечая, что получаем формулу Теорема доказана. . , .

П. 2. Метод интегрирования по частям Теорема 2. 2. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке X и пусть функция u/(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке X функция u(x)v/(x) также имеет первообразную и справедлива формула. Док-во: Из равенства (u(x)v(x))/=u/(x)v(x)+u(x)v/(x) следует, что u(x)v/(x)=(u(x)v(x))/-u/(x)v(x) Первообразной функции (u(x)v(x))/ на промежутке X является функция u(x)v(x). Функция u/(x)v(x) имеет первообразную на по условию теоремы. Следовательно, и функция u(x)v/(x) имеет первообразную на промежутке X. Интегрируя последнее равенство, получаем формулу. Теорема доказана.