Глава 4 Аналитическая геометрия в пространстве 1

Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве § 1. Уравнение плоскости

Рекомендуемая литература: l l l Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. – М. : Наука, 1968. – 260 с. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М. : Наука, 1968. – 320 с. Математика для техникумов. Геометрия: учебник / М. И. Каченовский и др. – М. : наука, 1989. – 320 с.

П. 1 Общее уравнение плоскости Определение. Любая плоскость в пространстве может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + Сz + D = 0, причем постоянные А, В и С не равны нулю одновременно, т. е. А 2 + В 2 + С 2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением плоскости.

Любой ненулевой вектор , параллельный данной плоскости называют направляющим вектором этой плоскости. Любой ненулевой вектор , перпендикулярный данной плоскости называют нормальным вектором этой плоскости.

П. 2 Неполное уравнение плоскости Уравнение плоскости называют неполным, если один из его коэффициентов равен 0. 1) А = 0 – плоскость параллельна оси Ох; 2) В = 0 – плоскость параллельна оси Оу; 3) C = 0 – плоскость параллельна оси Oz; 4) D = 0 – плоскость проходит через начало координат; 5) А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости х. Оz;

Неполное уравнение плоскости 6) В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости у. Оz; 7) А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости х. Оу. 8) А = В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оz; 9) A = C = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу; 10) B = C = D = 0 – плоскость проходит через ось Oх.

П. 3 Уравнение плоскости в отрезках Рассмотрим общее уравнение плоскости и преобразуем его, тогда а b c

П. 4 Уравнение плоскости, проходящей через три точки Пусть даны три точки М 1(x 1, y 1, z 1), М 2(x 2, y 2, z 2) и М 3(x 3, y 3, z 3), не лежащие на одной прямой. Точка М(х, у, z) – произвольная точка этой плоскости. Тогда векторы компланарны, т. е. их смешанное произведение равно нулю:

Найдем координаты данных векторов: Найдем смешанное произведение данных векторов: