Глава 3 Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Глава 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной § 1. Производная функции одной переменной П. 1. Задачи, приводящие к понятию производной. 1. Задача о проведении касательной к графику функции. Пусть нам дана дуга Г некоторой кривой y=f(x) и М – точка этой кривой. Проведем через точку М секущую МN. Если точка N приближается к точке М, то секущая МN станет поворачиваться вокруг точки М и в какой-то момент займет предельное положение. ОПР 1. 1 Касательной S к графику функции y=f(x) в точке М будем называть предельное положение секущей МN при стремлении точки N к точке M.

2. Задача о мгновенной скорости прямолинейного движения. Пусть по прямой движется точка, закон ее движения описывается s=s(t), где s(t) координата точки в момент времени t. Под средней скоростью движения точки за промежуток времени от t 1 до t 2 будем понимать. Положим t 1=t, t 2=t+∆t. Тогда Мгновенной скоростью в момент времени t называют предел средней скорости движения за промежуток времени [t, t+∆t] при условии ∆t→ 0, т. е.

П. 2. Определение производной. Алгоритм нахождения производной 1. Фиксируем значение x, находим в этой точке значение функции f(x); 2. Придаем аргументу x приращение ∆x так, чтобы не выйти за область определения функции, находим значение f(x+∆x); 3. Вычисляем приращение функции ∆f=f(x+∆x)-f(x); 4. Составляем отношение ∆f /∆x; 5. Находим.

П. 3. Геометрический и физический смысл производной. Выведем уравнение касательной к графику функции в заданной точке. Пусть функция имеет производную в точке M(a, f(a)). Будем искать уравнение касательной в виде y=kx+b. Поскольку искомая прямая проходит через точку M(a, f(a)), то выполняется равенство f(a)=ka+b, откуда b=f(a)-ka. Поэтому получается уравнение y=kx+(f(a)-ka) или y=f(a)+k(x-a). Так как выше мы установили, что угловой коэффициент касательной k равен значению производной в точке M(a, f(a)), то k=f /(a). Итак, уравнение касательной к графику функции в точке M(a, f(a)) имеет вид y=f(a)+f /(a)(x-a).

Физический смысл производной фактически был нами установлен при рассмотрении второй задачи о прямолинейном движении материальной точки и состоит в следующем: при прямолинейном движении, описываемом функцией s=s(t), числовое значение скорости в момент времени t равен значению производной, т. е. v=s /(t). Можно установить, что мгновенная скорость радиоактивного распада вещества, имеющего массу y=m(t) в момент времени t, выражается формулой v=m/(t).

П. 4. Дифференцируемость функции в точке. ОПР. 1. 3. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение ∆y представимо в виде ∆y=A∆x+α(∆x)∆x, где - число, а α(∆x) - бесконечно малая функция при ∆x→ 0. Равенство ∆y=A∆x+α(∆x)∆x означает, что приращение функции почти пропорционально приращению аргумента ∆y≈A∆x. Геометрически это означает, что дифференцируемая в точке x функция «линейна в малом» , т. е. ее график в некоторой достаточно малой окрестности точки x почти сливается с некоторой невертикальной прямой, т. е. с графиком некоторой линейной функции. Таким образом, с геометрической точки зрения дифференцируемость функции в точке x означает возможность «спрямления» графика в некоторой достаточно малой окрестности точки x.

Теорема 1. 1 Для того чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная. Замечание. Для функции одной переменной понятия дифференцируемости и существования производной в точке равносильные, т. е. для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялось бы равенство ∆y= f /(x)∆x+α(∆x)∆x. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием. Теорема 1. 2. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке. ОПР. 1. 4. Если функция y=f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то она называется дифференцируемой на этом промежутке.

П. 5. Дифференциал функции в точке. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x, т. е. ее приращение можно записать в виде ∆y=A∆x+α(∆x)∆x, где. Слагаемое A∆x является бесконечно малой величиной при ∆x→ 0 одного порядка с ∆x, оно линейно относительно ∆x. А слагаемое α(∆x)∆x является бесконечно малой величиной при ∆x→ 0 более высокого порядка, чем ∆x. Таким образом, первое слагаемое является как бы главной частью приращения функции.

ОПР. 1. 5. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x называется главная линейная относительно ∆x часть приращения функции в этой точке dy=A∆x. Принимая во внимание теорему 1. 1, можно записать дифференциал в виде dy=f /(x)∆x. Принято называть дифференциалом независимой переменной величину dx=∆x. Таким образом, дифференциал функции в точке имеет вид dy=f /(x)dx.

П. 6. Использование дифференциала в приближенных вычислениях. Основная роль дифференциала и его приложений заключается в том, что ∆y≈dy. Полагая, что ∆y=f(x)-f(a), получаем f(x)≈f(a)+dy или f(x)≈f(a)+f /(a)(x-a). Алгоритм использования дифференциала в приближенных вычислениях. Чтобы найти приближенное значение некоторой величины A, нужно: 1. Представить в виде значения некоторой функции в точке x=a, т. е. A=f(a); 2. Подобрать x 0 так, чтобы точка x 0 была достаточно близка к точке a и чтобы значение f(x 0) вычислялось бы легко; 3. Вычислить f(x 0); 4. Для функции f(x) найти f /(x) и f /(x 0); 5. Подставить найденные значения a, x 0, f(x 0), f /(x 0); в формулу f(a)≈f(x 0)+f /(x 0)(a-x 0).