Скачать презентацию Глава 2. Комплексные числа § 1. Множество Скачать презентацию Глава 2. Комплексные числа § 1. Множество

2. Комплексные числа.ppt

  • Количество слайдов: 41

Глава 2. Комплексные числа Глава 2. Комплексные числа

§ 1. Множество комплексных чисел § 1. Множество комплексных чисел

Определение. Комплексным числом z называется выражение вида z = a + bi, где i Определение. Комплексным числом z называется выражение вида z = a + bi, где i – мнимая единица, определяемая равенством или i 2 = – 1.

Число a называется действительной (или вещественной) частью, b – мнимой частью числа z; пишут: Число a называется действительной (или вещественной) частью, b – мнимой частью числа z; пишут: a = Rez, b = Imz.

Если a = 0, b ≠ 0, то комплексное число z называется чисто мнимым; Если a = 0, b ≠ 0, то комплексное число z называется чисто мнимым; если b = 0, то

Два комплексных числа z = a + bi и называются сопряженными. Два комплексных числа z = a + bi и называются сопряженными.

Числа z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = Числа z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i называются равными, если Множество комплексных чисел обозначается C.

§ 2. Действия над комплексными числами § 2. Действия над комплексными числами

Форма записи комплексного числа в виде z = a + bi называется алгебраической. Форма записи комплексного числа в виде z = a + bi называется алгебраической.

Над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z Над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i производятся следующие арифметические действия.

1. Сложение: z 1 + z 2 = (a 1 + b 1 i) 1. Сложение: z 1 + z 2 = (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i. 2. Вычитание. z 1 – z 2 = (a 1 + b 1 i) – (a 2 + b 2 i) = = (a 1 – a 2) + (b 1 – b 2)i.

3. Умножение. z 1 z 2 = (a 1 + b 1 i)(a 2 3. Умножение. z 1 z 2 = (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + i(a 1 b 2 + b 1 a 2), в частности, (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2.

4. Деление. (z 2 ≠ 0). 4. Деление. (z 2 ≠ 0).

§ 3. Геометрическое изображение комплексных чисел § 3. Геометрическое изображение комплексных чисел

Между множеством точек координатной плоскости x. Oy и множеством комплексных чисел C существует взаимно Между множеством точек координатной плоскости x. Oy и множеством комплексных чисел C существует взаимно однозначное соответствие: любому числу a + bi, где соответствует точка (a; b) плоскости и наоборот.

Плоскость x. Oy называется комплексной плоскостью. Ось Ox называется действительной осью, а ось Oy Плоскость x. Oy называется комплексной плоскостью. Ось Ox называется действительной осью, а ось Oy – мнимой осью.

Определение. Модулем комплексного числа z называется расстояние от точки z до начала координат и Определение. Модулем комплексного числа z называется расстояние от точки z до начала координат и обозначается |z|. Очевидно, что

Определение. Аргументом комплексного числа z называется угол φ, который образует радиус-вектор точки z с Определение. Аргументом комплексного числа z называется угол φ, который образует радиус-вектор точки z с положительным направлением оси Ox и обозначается argz.

Если z ≠ 0, то φ = argz определяется системой уравнений Если z ≠ 0, то φ = argz определяется системой уравнений

Если z = 0, то |z| = 0, аргумент числа z = 0 не Если z = 0, то |z| = 0, аргумент числа z = 0 не определен.

Модуль комплексного числа z определяется однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого 2 Модуль комплексного числа z определяется однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого 2 kπ Значение аргумента, удовлетворяющее условию (либо называется главным.

§ 4. Тригонометрическая форма комплексного числа § 4. Тригонометрическая форма комплексного числа

Полагая a = rcosφ, b = rsinφ, комплексное число z = a + bi Полагая a = rcosφ, b = rsinφ, комплексное число z = a + bi можно записать в виде z = r(cosφ + isinφ), где r = |z|, φ = argz, z ≠ 0.

Такая форма записи называется тригонометрической формой комплексного числа. Такая форма записи называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пусть z 1 = r 1(cosφ1 + isinφ1), z 2 = r 2(cosφ2 + Пусть z 1 = r 1(cosφ1 + isinφ1), z 2 = r 2(cosφ2 + isinφ2), z = r(cosφ + isinφ), где z 1, z 2, z ≠ 0.

1. Умножение: z 1 z 2 = r 1 r 2(cos(φ1 + φ2) + 1. Умножение: z 1 z 2 = r 1 r 2(cos(φ1 + φ2) + isin(φ1 + φ2). 2. Деление:

3. Возведение в натуральную степень: zn = rn(cosnφ + isinnφ), Формула (cosφ + isinφ)n 3. Возведение в натуральную степень: zn = rn(cosnφ + isinnφ), Формула (cosφ + isinφ)n = cosnφ + isinnφ, называется формулой Муавра.

4. Извлечение корня: Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений. 4. Извлечение корня: Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений.

§ 5. Показательная форма комплексного числа § 5. Показательная форма комплексного числа

Справедлива формула Эйлера: eiφ = cosφ + isinφ. Справедлива формула Эйлера: eiφ = cosφ + isinφ.

Используя формулу Эйлера, комплексное число z можно записать в виде z = reiφ, где Используя формулу Эйлера, комплексное число z можно записать в виде z = reiφ, где r = |z|, φ = argz, z ≠ 0.

Такая форма записи называется показательной формой комплексного числа. В частности, Такая форма записи называется показательной формой комплексного числа. В частности,

Пусть Причем z 1, z 2, z ≠ 0. Пусть Причем z 1, z 2, z ≠ 0.

1. 2. 3. zn = rneinφ, 4. 1. 2. 3. zn = rneinφ, 4.

Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного. Аристотель Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного. Аристотель