Глава 2. Функции одной переменной § 1. Свойства функций П. 1. Основные определения ОПР. 1. 1 Пусть даны числовые множества X и Y. Отображение множества X на множество Y называется функцией, если каждому x⋲X ставится в соответствие единственное y⋲Y. Переменную x называют независимой переменной или аргументом функции, а переменную y – зависимой или значением функции в точке x. Функциональную зависимость записывают так y=f(x). Множество X называется множеством определения или областью определения функции f(x) и обозначают D(f), а множество Y – множеством или областью значения, обозначают E(f). Часто говорят еще, что x – прообраз значения функции, а y(x) – образ в точке x.
Способы задания функции Наиболее употребительны следующие способы задания функций: 1) аналитический – когда зависимость между переменными определяется с помощью формулы, например, y=-2 x 2+7 x-4; 2) табличный – когда зависимость между переменными выражена в таблице, например, x 0 0, 1 0, 2 3 4, 5 6 1, 5 -1 10 -2 24 -6 -8 1, 5 Графический – когда зависимость между переменными задается посредством графика, например, y f(x) y 3) 0 x 9, 7 5
Способы задания функции ОПР. 1. 2. Пусть есть функция y=f(x). Если на координатной плоскости отмечены все точки, обладающие свойством: координата x этих точек лежит в области определения функции y=f(x), а координата y этих точек принадлежит области значений функции y=f(x), то множество таких точек называется графиком данной функции. 4) Словесный способ – когда словами описывается зависимость между переменными, например, «Функция s(t) представляет собой график расписания движения автобуса в зависимости от времени t» .
Основные элементарные функции 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Линейная функция y=kx+b; Дробно-линейная функция ; Квадратичная функция y=ax 2+bx+c; Кубическая функция y=ax 3+b; Степенная функция y=xn (n⋲ℚ); Показательная функция y=ax (a>0, a≠ 1); Логарифмическая функция y=logax, (a>0, a≠ 1, x>0); Тригонометрические функции y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Обратные тригонометрические функции y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.
П. 2. Свойства функций 10. Четность, нечетность. ОПР. 1. 3. Функция y=f(x) называется четной, если для любого значения x из области определения D(f) выполняется равенство f(x)=f(x). Функция называется нечетной, если для любого значения x из области определения D(f) выполняется равенство f(x)= - f(x). Лемма 1. 1 Если функция y=f(x), x⋲ D(f) является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат Oy. Если функция , является нечетной, то ее график является симметричным относительно начала координат.
Четная и нечетная функции y 0 x y x
Свойства функции 20. Периодичность. ОПР. 1. 4. Функция y=f(x) имеет период T, если для любого значения x из области определения D(f) выполняются равенства f(x+T)=f(x-T). Функция, имеющая отличный от нуля период, называется периодической. Лемма 1. 2. Если функция y=f(x) имеет период T, то любое число, кратное T (число вида k. T, k⋲ℤ), также является ее периодом. Таким образом, периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Наименьший положительный период у периодической функции называется основным периодом. Замечание: Если T - основной период функции, то для построения графика такой функции достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков длины T, а затем произвести параллельный перенос этой ветви вдоль оси абсцисс.
Периодическая функция y -2 T -T 0 T 2 T x
Свойства функции 30. Монотонность. ОПР. 1. 5. Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке X, если для любых двух значений x 1 и x 2 из множества X, таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f(x 1)
Примеры возрастающей и убывающей функций f(x 2) y f(x 1) y 0 x 1 x 2 x f(x 1) 0 f(x 2) x 1 x 2 x
Свойства монотонных функций Монотонные функции обладают следующими свойствами: Если функция y=f(x) четна и возрастает при x>0, то она убывает при x<0; Если функция y=f(x) четна и убывает при x>0, то она возрастает при x<0; Если функция y=f(x) нечетна и возрастает при x>0, то она также возрастает и при x<0; Если функция y=f(x) нечетна и убывает при x>0, то она также убывает и при x<0; Монотонная функция не может быть периодической.
Свойства функций 40. Ограниченность. ОПР. 1. 6. Функция y=f(x) называется ограниченной сверху, если множество ее значений ограничено сверху. Функция y=f(x) называется ограниченной снизу, если множество ее значений ограничено снизу. Функция y=f(x) называется ограниченной, если множество ее значений является ограниченным множеством. Иными словами, функция y=f(x), x⋲X ограничена, если существует такое число M>0, такое, что для всех x⋲X выполняется |f(x)|
Ограниченные функции y y M x x -M y M x -M
П. 3. Обратимость функций. Обратные функции. ОПР. 1. 7. Функция y=f(x), определенная на промежутке X, называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка X; иными словами, если различным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Обратную функцию обозначают f -1 (x). Теорема 1. 1. Если функция y=f(x) монотонна на промежутке X, то она обратима на нем. Если у нас есть функция y=f(x) и мы знаем, что она обратима, то для того, чтобы найти обратную ей функцию, нужно из аналитического выражения функции выразить переменную x через переменную y. После чего, переобозначив переменные, получим f -1 (x).
П. 4. Сложная функция ОПР. 1. 8. Пусть на некотором промежутке X определена функция z=g(x) со множеством значений Z, а на множестве Z определена функция y=f(z). Тогда говорят, что на множестве X определена сложная функция y=f(z)=f(g(x)) от переменной x. Переменную z называют промежуточной переменной. Иногда говорят, что задана композиция функций y=f∘g.