Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
§ 1. Векторы. Основные определения. Величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (например, длина, площадь, масса, объем и т. д. ), называются скалярными. Величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать еще и направление (например, сила, скорость, ускорение и т. д. ), называются векторными. Векторные величины геометрически изображаются с помощью векторов.
Вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если начало вектора, обозначается его конец, то вектор или Длиной вектора называется расстояние между началом и концом этого вектора и обозначается
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается
Векторы и называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; записывают Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора называются равными, если они а) коллинеарны, б) одинаково направлены, в) имеют одинаковые длины.
Вектор можно переносить в любую точку пространства посредством параллельного переноса (это следует из определения равенства векторов). Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
§ 2. Линейные операции над векторами. Под линейными операциями над векторами понимают а) произведение вектора на число, б) сложение и вычитание векторов. Произведением вектора называется вектор на число удовлетворяющий следующим условиям: а) длина вектора на длину вектора равна произведению модуля числа
б) вектор коллинеарен вектору направление совпадает с направлением вектора и противоположно ему, если Пример. если
Сумму двух векторов можно находить либо по правилу треугольников, либо по правилу параллелограмма. Правило треугольников. Пусть и два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку От точки и построим вектор Вектор отложим вектор соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и
Правило параллелограмма. Пусть и два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку и Суммой двух векторов называется вектор и построим векторы и диагонали параллелограмма построенного на векторах и
Сумму трех и более векторов можно находить по правилу замыкания ломаной: Чтобы найти сумму векторов нужно конец вектора совместить с началом вектора – с началом вектора и т. д. , пока не дойдем до вектора Тогда суммой идущий из начала вектора будет вектор, в конец вектора
и Разностью двух векторов вектор называется такой который нужно сложить с вектором чтобы получить вектор т. е. Чтобы построить вектор нужно параллельным переносом перенести векторы к общему началу, и тогда вектор выходить из конца вектора и будет в конец вектора
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая – разностью.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: 1. Сложение векторов коммутативно: 2. Сложение векторов ассоциативно, т. е. для любых трех векторов выполняется условие
3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору не меняет последнего: 4. Вектор называется противоположным вектору и обозначается 5. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора: 6. Умножение вектора на число ассоциативно, т. е.
7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел, т. е. 8. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов, т. е. Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях над векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные множители.
§ 3. Проекция вектора на ось. Осью называется всякая прямая, на которой указано направление. Проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.
или равным ему вектором Углом между вектором и осью Ox называется угол на который нужно повернуть кратчайшим образом полуось Сx, до совмещения ее с вектором Область изменения угла
Проекцией вектора обозначаемое где на ось Ох называется число, и равное – угол между вектором по определению и осью Ох, т. е.
Геометрически проекция вектора на ось Ох равна длине отрезка СD, взятой со знаком «+» , если (рис. 1), и со знаком «–» , если При (рис. 2). отрезок CD превращается в точку и
Рис. 1 Рис. 2
Свойства проекции вектора на ось. 1. При умножении вектора на число m, его проекция на ось умножается на то же число. 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций составляющих на ту же ось:
§ 4. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат. Базисом на плоскости называют любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятых в определенном порядке. Теорема. Если на плоскости выбран базис то любой векторам этой плоскости можно разложить по и такое разложение единственно:
Базисом в пространстве называют любые три некомпланарных вектора в этом пространстве, взятых в определенном порядке. Теорема. Если в пространстве выбран базис то любой вектор по векторам , этой плоскости можно разложить и такое разложение единственно:
При этом коэффициенты называют координатами вектора в данном разложении в базисе и записывают или . Для векторов, заданных своими координатами, имеют место следующие свойства. 1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:
2. При сложении (вычитании) векторов и складываются (вычитаются) их соответствующие координаты: 3. Вектор коллинеарен вектору т. е. , если выполняется условие или где некоторое число.
4. Вектор равен вектору , если их соответствующие координаты равны: =
Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность фиксированной точки О и базиса . Точка О называется началом координат, а прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов осями координат.
Прямая ОX называется осью абсцисс, прямая ОY осью ординат, прямая ОZ осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями. Вектор для произвольной точки М называют ее радиус-вектором. Координаты радиуса-вектора точки М по отношению к началу координат называют координатами точки М в рассматриваемой системе координат. Первая координата называется абсциссой, вторая ординатой, третья аппликатой.
Базис называют ортонормированным, если базисные векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице. На плоскости ортонормированный базис принято обозначать в пространстве Декартова система координат с ортонормированным базисом называется прямоугольной системой координат.
Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки и Тогда по правилу треугольника .
Учитывая, что при вычитании векторов вычитаются их соответствующие координаты, имеем т. е. если заданы координаты начала и конца вектора, то чтобы найти координаты этого вектора, надо из соответствующей координаты его конца вычесть координату начала.
А длина вектора определяется по формуле Для точек последняя формула примет вид В частности, аналогично, заданных на плоскости,
Отметим, что в прямоугольной системе координаты вектора равны соответственно проекциям вектора на оси координат:
§ 5. Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны точки и лежит на отрезке и пусть точка и делит этот отрезок в отношении т. е.
Тогда координаты точки М вычисляются по формулам деления отрезка в данном отношении
При точка делит отрезок пополам и последние формулы принимают вид т. е. координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов.
Пример. Даны три последовательные вершины параллелограмма Найти его четвертую вершину и точку пересечения его диагоналей. Решение.
Пусть Тогда Поскольку Отсюда получаем параллелограмм, то
Для нахождения координат точки воспользуемся формулами координат середины отрезка
§ 6. Скалярное произведение векторов. Углом между двумя векторами называется наименьший угол между этими векторами, приведенными к общему началу. Угол между векторами записывают и причем символически
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Скалярное произведение принято обозначать или
Скалярное умножение обладает следующими свойствами. 1. Скалярное умножение коммутативно: 2. Для любого вектора скалярный квадрат равен квадрату модуля: Из последнего равенства следует
3. Скалярное произведение равно нулю, если сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю: или 4. Скалярное умножение обладает свойством ассоциативности относительно скалярного множителя: 5. Скалярное умножение дистрибутивно относительно сложения:
Пример 1. Найти длину вектора Решение. если
Пример 2. Найти угол между векторами если вектор и перпендикулярен вектору и Решение.
Пример 3. Вычислить скалярное произведение если где векторы, а угол между ними равен Решение. единичные
Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы своими координатами: и Тогда скалярное произведение можно вычислять по формуле:
Приложения скалярного произведения в геометрии. 1. Проекция векторов на ось. Рассмотрим рис. 1. Спроектировав вектор на вектор , получим
Поэтому или Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый.
2. Угол между векторами. Из определения скалярного произведения следует, что Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе: и то последнюю формулу можно переписать так:
3. Направляющие косинусы векторов. Направление вектора определяется углами образованными вектором с положительными направлениями осей соответственно (или вектором с векторами соответственно). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами этого вектора. Найдем их.
Таким образом, Направляющие косинусы связаны соотношением
Косинусы углов, образованных вектором и осями координат Ox, Oy, Oz, называются направляющими косинусами этого вектора.
Пример. Даны вершины треугольника Вычислить внутренний угол при вершине А. Решение. Внутренний угол при вершине А это угол между векторами Так как Следовательно, и то
Пример. Вычислить угол между вектором и осью Решение. Угол между вектором угол между вектором и осью и вектором это
Следовательно,
§ 7. Векторное произведение векторов. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца вектора кратчайший поворот от первого вектора вектору ко второму виден против хода часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
Правая система координат Левая система координат
Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим трем условиям: 1) 2) 3) упорядоченная тройка правая. Важно: Результатом векторного произведения является вектор.
Свойства векторного произведения: 1) От перестановки множителей векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняя модуль, т. е. 2) Если в векторном произведении изменить знак одного из сомножителей на противоположный, то векторное произведение изменит знак, т. е. 3) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения.
4) 5) Векторное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, либо сомножители коллинеарны: или 6) или
7) Рассмотрим векторное произведение ортов: Рассмотрим произведение
Параллелограмм, построенный на есть квадрат ОАDB, площадь которого равна единице. Вектор перпендикулярен векторам и образует с ними правую тройку. Следовательно, произведение есть единичный вектор, направленный по оси OZ, т. е. Аналогично находим, что Переставив множители, получим
Для векторного произведения ортов можно составить таблицу:
Пусть векторы заданы своими координатами: Тогда Перемножим эти два вектора:
Полученную формулу можно представить в виде определителя:
Приложение векторного произведения к геометрии 1. Площадь параллелограмма построенного на векторах равна модулю векторного произведения: 2. Площадь треугольника построенного на векторах равна половине модуля векторного произведения:
Пример. Найти площадь параллелограмма построенного на векторах
Решение: Таким образом, Значит
Пример. Найти вектор если известно, что он перпендикулярен к векторам и удовлетворяет условию Решение. Так, как вектор плоскости векторов где перпендикулярен к и а вектор также перпендикулярен к плоскости этих векторов по определению, то отсюда следует, что Имеем
Так, как то координаты этих векторов пропорциональны, т. е. Тогда Таким образом,
§ 8. Смешанное произведение трёх векторов. Смешанным произведением векторов называется число, обозначаемое и определяемое как скалярное произведение вектора и вектора Результатом смешанного произведения является число.
Свойства смешанного произведения. 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке трех его векторов-сомножителей: 2. Смешанное произведение меняет знак на противоположный при перестановке любых двух векторов-сомножителей:
3. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения: 4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны: и компланарны.
Выражение смешанного произведения через координаты. Пусть заданы векторы Тогда
Некоторые приложения смешанного произведения. 1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве. Если если же правая тройка; то то левая тройка. 2. Установление компланарности векторов. Векторы компланарны
3. Определение объемов пространственных фигур. Объем параллелепипеда, построенного на векторах и вычисляется по формуле: Объем треугольной призмы, построенной на векторах и вычисляется по формуле:
Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах и вычисляется по формуле:
Пример. Даны векторы Выяснить ориентацию тройки векторов Решение. Составим и вычислим смешанное произведение левая тройка векторов.
Пример. Найти объем треугольной пирамиды, вершинами которой являются точки Решение.
Тогда
