Глава 13 Прямые и плоскости касательные к поверхностям

Глава 13. Прямые и плоскости, касательные к поверхностям p p p Классификация Терминология Задачи на построение касательных плоскостей 11. 02. 2018 1

Прямые и плоскости, касательные к поверхностям p p О p Линия касания плоскости и цилиндра 11. 02. 2018 Касательная прямая - это прямая, касательная к какой-либо кривой на поверхности, проходящая через данную точку. В данной точке на поверхности можно провести множество касательных прямых. Это множество касательных образует плоскость касательную к поверхности в данной точке. 2

Прямые и плоскости, касательные к поверхностям. Терминология p p Нормаль поверхности в некоторой точке прямая, перпендикулярная касательной плоскости к поверхности, построенной в этой точке Особые точки - точки, где касательная плоскость неопределенная или не единственная. Например, вершина конуса, ребро возврата торс и пр. 11. 02. 2018 3

Прямые и плоскости, касательные к поверхностям. Терминология p 1. 2. 3. 4. В зависимости от поверхности касательная плоскость может иметь с ней: Одну общую точку Касание по прямой Касание по кривой Касание и пересечение 11. 02. 2018 4

Прямые и плоскости, касательные к поверхностям. Терминология p p p Эллиптические точки - точки касания плоскости с поверхностью при условии, что все линии поверхности расположены по одну сторону от плоскости касания Поверхности, состоящие только из эллиптических точек, называются выпуклыми или поверхностями положительной кривизны Примеры: сфера, эллипсоид вращения, параболоид вращения и др. 11. 02. 2018 5

Прямые и плоскости, касательные к поверхностям. Терминология p p p Параболические точки - точки образующей, по которой происходит касание поверхности с плоскостью. Примеры: цилиндрическая и коническая поверхности Эти поверхности называют поверхностями нулевой кривизны Эти поверхности являются развертываемыми 11. 02. 2018 6

Прямые и плоскости, касательные к поверхностям. Терминология p p p Гиперболическая точка - точка поверхности, касательная плоскость в которой не только касается, но и пересекает её. Такая поверхность называется вогнутой или поверхностью отрицательной кривизны (однополостный гиперболоид). Поверхности, имеющие все виды точек, называют поверхностями двоякой кривизны (открытый тор). 11. 02. 2018 7

ВЫВОДЫ p p Не в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость В некоторых точках касательная плоскость не может быть определена или не является единственной Такие точки называют особыми точками. Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке 11. 02. 2018 8

Задачи на построение касательных плоскостей Основные типы задач: 1. Проведение касательной плоскости через точку, лежащую на поверхности 2. Проведение касательной плоскости через точку, не лежащую на поверхности 3. Проведение касательной плоскости по заданному условию (параллельно заданной прямой, параллельно заданной плоскости и т. п. ) 11. 02. 2018 9

Проведение касательной плоскости через точку поверхности 11. 02. 2018 10

Проведение касательной плоскости через точку поверхности 11. 02. 2018 11

Проведение касательной плоскости через точку поверхности 11. 02. 2018 12

Проведение касательной плоскости через точку, не лежащую на поверхности 11. 02. 2018 13

Проведение касательной плоскости по заданному условию 11. 02. 2018 14

ВЫВОДЫ p p Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Касательную плоскость в данной точке поверхности можно определить как плоскость, образованную касательными к двум любым построенным на поверхности пересекающимся линиям в точке их пересечения. 11. 02. 2018 15