Глава 10 Числовые и функциональные ряды Часть 1

Глава 10. Числовые и функциональные ряды. Часть 1. Числовые ряды.

§ 1 Понятие ряда и его суммы. Сходимость ряда. • Пусть задана некоторая числовая последовательность {an},

Определение 1. 1: Выражение называется числовым рядом, а элементами (членами) ряда.

Определение 1. 2: Сумма конечного числа первых n элементов ряда называется частичной суммой ряда

Определение 1. 3: Конечный или бесконечный предел частичной суммы называется суммой ряда

Определение 1. 4: Если сумма ряда – конечное число, то ряд называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. • Пример1. 1: Исследовать на сходимость числовой ряд

Пример 1. 2 Исследовать на сходимость

Пример 1. 3 Исследовать на сходимость ряд

§ 2 Основные свойства сходящихся рядов. • Определение 5: Выражение вида • называют n-ым остатком ряда. •

Числовой ряд можно представить в таком виде

Теорема 2. 1 • Чтобы числовой ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 2. 2: Если ряд сходится , то сходится и ряд вида , где С- некоторое число и

Теорема 2. 3 Если ряды и сходятся, то сходится и ряд и Это означает , что сходящиеся ряды можно поэлементно складывать ( вычитать).

Замечание. • Однако из сходимости не следует • сходимость рядов и .

Теорема 2. 4 • Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа элементов ряда не влияет на его сходимость (расходимость). •

Теорема 2. 5 (Необходимый признак сходимости) • Если ряд сходится, то

Примечание: • Данное условие • является необходимым, но не достаточным для сходимости. •

Пример 2. 4: • Исследовать на сходимость ряд

Следствие: • Если , то ряд расходится.

Теорема 2. 6: (критерий Коши). • Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы для любого ε>0 существовало такое число N , что при любом выполнялось неравенство • т. е. последовательность частичных сумм была последовательностью Коши.

Пример 2. 5 • Исследовать на сходимость по критерию Коши ряд : .

Пример 2. 6. • Исследовать на сходимость гармонический ряд.