Глава 1 Дифференциальные уравнения движения 1 Прямолинейное

Глава 1 Дифференциальные уравнения движения § 1. Прямолинейное движение § 2. Схема решения дифференциальных уравнений движения § 3. Примеры решения задач

Дифференциальные уравнения движения - основной закон динамики

- векторная форма задания движения - координатный способ задания движения - в естественных координатах

§ 1. Прямолинейное движение ь сила (или равнодействующая сил) имеет постоянное направление ь скорость точки в начальный момент времени направлена вдоль силы или равна нулю или т. к. то

ь если сила (или равнодействующая сил) зависит от координаты x, а не от времени t или ь по условию задачи надо найти зависимость скорости Vx от координаты x, то тогда и

Решение основной задачи динамики – нахождение x = f(t) Cила (равнодействующая сил) может зависеть от времени t, положения x и скорости точки vх Дважды интегрируя это уравнение, находим - общее решение уравнения, - частное решение уравнения

§ 2. Схема решения дифференциальных уравнений движения ь Составить дифференциальное уравнение: - выбрать систему координат и начало отсчета; - изобразить тело в произвольный момент времени и все действующие на него силы; - найти суммы проекций всех сил на оси координат ь Интегрирование дифференциальных уравнений ь Нахождение постоянных интегрирования ь Определение искомых величин и исследование полученных результатов

§ 3. Примеры Задача 1 Груз веса Р, находившийся в покое на гладкой горизонтальной поверхности, начинает двигаться под действием горизонтальной силы, проекция которой на горизонталь равна Fx = H sin(kt), где H и k – постоянные величины. Найти закон движения

Задача 1 x: P = mg, Fx= H sin(kt), t=0, x=0, Vx=0 x(t) - ? y N 0 Fx x mg - общее решение дифференциального уравнения

Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 0 - частное решение дифф. уравнения - еще одно дифф. уравнение

- общее решение Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 0 - частное решение дифф. уравнения - решение задачи Вывод. На равномерное движение груза со скоростью V = H / (k · m), происходящее по горизонтали вправо, накладывается колебание с амплитудой A = H / (k 2· m) и периодом – T = 2·π / k

Задача 2 К твердому телу массы m =1 кг, которое может двигаться вдоль оси x, приложена сила притяжения, проекция которой на ось x направлена по горизонтали налево и равна Sx = 2 x. Тело двигалось с начальной скоростью V 0 = 10 м/с вправо. Определить скорость тела, когда оно пройдет путь 5 м

Задача 2 M =1 кг, Sx= 2 x, t = 0, x 0 = 0, V 0=10 м/c, xk= 5 м x: Vk - ? y Sx N 0 x mg

- общее решение Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 10 м/с - закон изменения скорости Ответ. Скорость тела, когда оно пройдет путь 5 м, будет 7. 07 м/с

Задача 3 Лодку с пассажиром, масса которых m = 120 кг, толкают, сообщая начальную скорость V 0 = 2 м/с. Считать силу сопротивления воды при малых скоростях изменяющейся по закону R = µV, где µ = 9. 1 кг/с. Найти путь, который пройдет лодка до остановки

Задача 3 m=120 кг, V 0=2 м/c, R=µV, µ=9. 1 кг/с, t=0, x 0=0, x: S-? t-? y R N x 0 mg - общее решение дифф. уравнения

Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 2 м/с - частное решение дифф. уравнения - еще одно дифф. уравнение

- общее решение Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 2 м/с - закон изменения скорости Ответ. Лодка будет двигаться очень долго и будет стремиться преодолеть путь около 26. 6 м

Задача 4 Камень массы m, брошен под углом α к горизонтальной плоскости со скоростью V 0. Определить траекторию движения, горизонтальную дальность полета, высоту полета и время полета камня. Сопротивлением воздуха пренебречь

Задача 4 m, V 0, α, t = 0, X 0 = 0, Y 0 = 0 y x(t) - ? y(t) - ? OC - ? H-? T-? mg V 0 H α 0 Cx

x: y: разделяем переменные интегрируем - общие решение дифференциальных уравнений

Начальные условия: t = 0, Vx = V 0 cosα, Vy = V 0 sinα - частные решения дифференциальных уравнений - еще два дифференциальных уравнения

Общие решения дифференциальных уравнений - частные решения дифференциальных уравнений Траектория движения камня: Уравнение параболы с осью параллельной оси OY Брошенное под углом к горизонту тело движется в безвоздушном пространстве по параболе (Г. Галилей)

Горизонтальная дальность полета: - расстояние ОС Высота полета:

Время полета: Угол наибольшей дальности: расстояние ОС будет одинаковым для обоих случаев При α = 45 О Х будет максимальным

Задача 5 Парашютист в момент раскрытия парашюта имел скорость V 0, направленную вертикально вниз. Найти скорость парашютиста, если проекция силы сопротивления движению на вертикаль Rх = –k 2 m. V 2, где m – масса парашютиста; k – постоянный коэффициент; V – скорость в проекции на вертикаль

Задача 5 m, V 0, Rх=-k 2 m. V 2, t=0, x 0=0 x: x-? 0 R mg x - табличный интеграл

- общее решение Начальные условия: t = 0, x = 0 - частное решение потенцируем это уравнение и получим

- закон изменения скорости Ответ. Скорость парашютиста изменяется согласно полученному закону