Гипотеза Морделла Амелицкая Т. С. , магистрант 2

Гипотеза Морделла Амелицкая Т. С. , магистрант 2 года обучения 2013 г.

Основные определения Алгебраическая кривая – это кривая на плоскости, уравнение которой имеет вид Р(х, у)=0, где Р - многочлен от переменных х и у. Род кривой - численный инвариант алгебраической кривой, определенной над полем К.

Формулировка гипотезы Морделла (1922 г. ) Неприводимая не особая алгебраическая кривая рода больше 1 над полем алгебраических чисел имеет лишь конечное число рациональных точек. Луис Джоэл Морделл (28. 01. 1888— 12. 03. 1972) английский математик

Формулировка гипотезы Морделла (1922 г. ) Из гипотезы Морделла следует, что: Некоторый обширный класс диофантовых уравнений и систем имеет лишь конечное число целых решений. Диофантовы уравнения — уравнения вида Р(x, y, …, z) =0, где Р — многочлен от нескольких переменных с целыми коэффициентами.

Связь гипотезы с теоремой Ферма Конечно, Морделл видел связь своей гипотезы с теоремой Ферма. Если станет известно, что для каждой степени n > 2 пространство целых решений уравнения Ферма конечномерно, это поможет доказать, что таких решений вовсе нет. Но никаких путей к доказательству своей гипотезы Морделл не видел — и хотя он прожил долгую жизнь, но не дождался превращения этой гипотезы в теорему Фалтингса.

Связь гипотезы с теоремой Ферма Покажем на примере знаменитого уравнения Ферма: un + vn = zn, где n≥ 3 (1), что целые решения диофантова уравнения связаны с «рациональными точками» некоторой кривой. Поделив обе части уравнения на zn, мы видим, что каждому целому решению (a; b; c) уравнения (1) отвечает рациональная точка (то есть точка с рациональными координатами) (d; f) = (а/с; b/с) кривой, задаваемой уравнением xn + yn = 1 на плоскости Оху (и обратно).

Связь гипотезы с теоремой Ферма Поэтому конечность числа взаимно простых решений уравнения (1) следует из конечности числа рациональных точек на кривой хn + уn =1. А последний факт как раз и следует из гипотезы Морделла (при n>3). Итак, уравнение Ферма имеет не более конечного числа взаимно простых решений.

Описание рациональных точек на кривых Задача описания рациональных точек на кривых имеет многовековую историю, но до недавнего времени полностью были исследованы лишь два частных случая: рациональные кривые (или кривые рода 0) классический пример для этого случая — окружность х2+y 2=1, рациональные точки которой соответствуют всевозможным пифагоровым тройкам — решениям уравнения a 2 + b 2 = c 2; эллиптические кривые (или кривые рода 1), все рациональные точки которых могут быть получены из конечного их набора с помощью специальной операции сложения. В каждом из этих случаев число рациональных точек может быть бесконечным.

Вот еще несколько примеров уравнений, для которых конечность числа взаимно простых решений следует из гипотезы Морделла: x 4 +3 y 3 x+3 z 2 x 2 -7 xz 3=0; (x 2+y 2+2 z 2)(x 2+2 y 2+z 2)=(2 x 2 -2 y 2+z 2)2; xn+yn=2 zn, где n>3. Вообще же можно сказать, что «написанный наугад» многочлен Р(х, у) с целыми коэффициентами степени n>3 «скорее всего» задает кривую с конечным числом рациональных точек.

История доказательства гипотезы Несмотря на усилия крупнейших математиков, гипотеза Морделла на протяжении 60 лет оставалась неприступной. И вот весной 1983 года научный мир облетело известие о том, что Герт Фалтингс, доселе малоизвестный 29 -летний математик, работающий в ФРГ, доказал эту гипотезу. Герт Фалтингс (28. 07. 1954) немецкий математик Рукопись Фалтингса выдержала проверку ведущих математических центров мира: в Гарварде (США), в Бюрсюр-Ивет (Франция), в Институте им. Стеклова (Москва).

История доказательства гипотезы На самом деле Г. Фалтингс доказывал (и доказал!) не гипотезу Морделла, а несколько более общую гипотезу Шафаревича, которую наш соотечественник, членкорреспондент АН СССР, И. Р. Шафаревич, предложил в своем докладе на Международном конгрессе математиков в Стокгольме в 1962 году. Следует отметить также, что в своей работе Г. Фалтингс опирался на результаты советских математиков Ю. Г. Зархина и А. Н. Паршина.

История доказательства гипотезы Работа Фалтингса существенно опирается на идеи и методы, развитые при доказательстве: üфункциональных аналогов гипотезы Морделла (исследования Ю. И. Манина), üгипотезы Шафаревича (А. Н. Паршин, С. Ю. Аракелов) üгипотезы Тейта для абелевых многообразий 3 (Ю. Г. Зархин), üна результаты современной французской школы алгебраической геометрии (А. Вейль, Ж. П. Серр, П. Де-линь, М. Рейно), üна работы Д. Мамфорда по проблеме модулей.

Гипотеза Шафаревича, как и гипотеза Морделла, относится к алгебраической геометрии — науке, изучающей кривые и поверхности, заданные многочленами. Игорь Ростиславович Шафаревич (3. 06. 1923) советский, российский математик, философ, публицист и общественный деятель, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН

Но если для формулировки гипотезы Морделла нужны лишь классические понятия этой науки ( «неприводимость» , «род» ), придуманные еще в прошлом веке. То для ее доказательства потребовались изощренные методы и язык современной алгебраической геометрии, возникшие в послевоенные годы в работах таких выдающихся математиков, как Ж. -П. Серр, А. Гротендик (Франция), Дж. Тэйт (Великобритания), Д. Мамфорд (США), И. Р. Шафаревич, Ю. И. Манин (СССР).

Таким образом, гипотеза Морделла после доказательства стала теоремой Фалтингса

Использованная литература 1. Вайнтроб А. Ю. , Сосинский А. Б. , Доказательство гипотезы Морделла// Квант. -1984. -№ 3. –с. 19 2. Википедия http: //ru. wikipedia. org/wiki/Фальтингс, _Герд 3. Математическая энциклопедия http: //dic. academic. ru/dic. nsf/enc_mathematics/ 4. Сайт о науке и природе http: //kaketobilo. ru/drugoe/gipoteza-mordella. html

Спасибо за внимание!