ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В механике жидкости понятию гидродинамика

ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В механике жидкости понятию «гидродинамика» придается весьма широкий смысл. Гидродинамика, в отличие от кинематики, рассматривающей движение жидкости без учета причин, обусловивших его, изучает как само движение, так и причины, приводящие к его возникновению. Движение жидкости вызывается действием сил, а если иметь в виду, что давление есть частное от деления силы на площадь, то можно считать, что причиной возникновения движения частиц с какими-то скоростями является разность (перепад) давлений. Таким образом, для расчета течений необходимо иметь уравнение, связывающее давление в точке со скоростью движения частицы.

Уравнения движения идеальной жидкости можно получить из уравнений движения в напряжениях, положив в них все производные от равными нулю и заменив нормальные напряжения давлениями, имея в виду, что pxx=pyy=pzz=-p. Таким образом, уравнения гидродинамики принимают вид

либо в векторной форме Приведенная система называется системой дифференциальных уравнений Эйлера для гидродинамики, она связывает давления и скорости в движущейся жидкости. Выражения в правой части уравнений системы являются полными либо субстанциональными производными. Наличие конвективных членов ускорения приводит к тому, что система является нелинейной, содержащей четыре неизвестных: три проекции скорости и давление. Проекции единичных массовых сил обычно известны из постановки задачи. Три уравнения плюс уравнение неразрывности образуют замкнутую систему.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости P 1 1 dω1 1’ Рассмотрим элементарную струйку 2 dω2 2’ идеальной жидкости u 1 при установившемся 1 P движении, в которой 1’ d. G u 2 выделим два сечения 1 2 -1 и 2 -2. Площади d. G 2’ Z 1 живых сечений потока Z 2 обозначим dω1 и dω2. Положение центров 0 0 тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0 -0 характеризуется величинами z 1 и z 2. 2

Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения P 1, P 2 и u 1, u 2 соответственно. Будем считать, что движение струйки жидкости происходит только под действием силы давления (внутреннее трение в жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического и действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма. За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1 -1 переместятся в 1'-1' на расстояние, равное u 1 dt, а частицы из 2 -2 в 2' - 2' на расстояние u 2 dt. Согласно теореме кинетической энергии, приращение энергии тела (в данном случае выделенного объёма жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил. Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых живых сечениях струйки 1 -1 и 2 -2, работа сил давления в сечении 1 -1 будет положительна, т. к. направление силы совпадает с направлением скорости струйки.

Она будет равна произведению силы p 1 dω1 на путь u 1 dt: Работа сил давления в сечении 2 -2 будет отрицательной, т. к. направление силы противоположно направлению скорости. Её значение Полная работа, выполненная силами давления, примет вид: Работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объёма жидкости при перемещении из сечения 1 -1 в сечение 2 -2.

С учётом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объёмы будут равны и, следовательно, будут равны их веса d. G При перетекании от сечения 1 -1 в сечение 2 -2 центр тяжести выделенного объёма переместится на разность высот (z 1 – z 2) и работа, произведённая силами тяжести, составит Проанализируем изменение кинетической энергии рассматриваемого объёма элементарной струйки жидкости. Приращение кинетической энергии выделенного объёма за dt равно разности его кинетических энергий в сечениях 1 -1 и 2 -2. Это приращение составит

Приравнивая приращение кинетической энергии сумме работ сил тяжести и сил давления, придём к виду Разделив обе части на вес d. G, т. е. приведя уравнение к единичному весу, получим

После сокращения и преобразований придём к виду Если учесть, что сечения 1 -1 и 2 -2 выбраны произвольно, можно прийти к выводу, что сумма приведённых выше величин описывающих движение жидкости под действием сил давления и сил тяжести есть величина постоянная для элементарной струйки, т. е. Таким образом, получено уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли Положение любой частицы жидкости относительно некоторой произвольной линии нулевого уровня 0 -0 определяется вертикальной координатой Z. Для реальных гидравлических систем это может быть уровень, ниже которого жидкость из данной гидросистемы вытечь не может. Например, уровень пола цеха для станка или уровень подвала дома для домашнего водопровода. - Величину Z называют нивелирной высотой. - Второе слагаемое - носит название пьезометрическая высота. Эта величина соответствует высоте, на которую поднимется жидкость в пьезометре, если его установить в рассматриваемом сечении, под действием давления P. - Сумма первых двух членов уравнения составляет гидростатический напор

Третье слагаемое в уравнения Бернулли называется скоростной высотой или скоростным напором. Данную величину можно представить как высоту, на которую поднимется жидкость, начавшая двигаться вертикально со скорость u при отсутствии сопротивления движению. Сумму всех трёх членов (высот) называют гидродинамическим или полным напором и, как уже было сказано, обозначают буквой Н. Все слагаемые уравнения Бернулли имеют размерность длины и их можно изобразить графически.

Значения - нивелирную, пьезометрическую и скоростную высоты можно определить для каждого сечения элементарной струйки жидкости. Геометрическое место точек, высоты которых равны называется пьезометрической линией. Если к этим высотам добавить скоростные высоты, то получится другая линия, которая называется гидродинамической или напорной линией. Из уравнения Бернулли для струйки невязкой жидкости (и графика) следует, что гидродинамический напор по длине струйки постоянен.

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли Выше было получено уравнение Бернулли с использованием энергетических характеристик жидкости. Суммарной энергетической характеристикой жидкости является её гидродинамический напор. С физической точки зрения это отношение величины механической энергии к величине веса жидкости, которая этой энергией обладает. Таким образом, гидродинамический напор нужно понимать как энергию единицы веса жидкости. И для идеальной жидкости эта величина постоянна по длине. Таким образом, физический смысл уравнения Бернулли это закон сохранения энергии для движущейся жидкости

Здесь с энергетической точки зрения (в единицах энергии, Дж/кг) gz удельная потенциальная энергия положения; Р/ удельная потенциальная энергия давления; gz + Р/ удельная потенциальная энергия; u 2/2 удельная кинетическая энергия; и скорость элементарной струйки идеальной жидкости. Умножив все члены уравнения на удельный вес жидкости , и поделив на g получим весовое давление, Па; P гидродинамическое давление, Па; и 2 /2 динамическое давление Па; H полное давление, Па z

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости Поток идеальной жидкости, как указывалось ранее, можно представить совокупностью элементарных струек жидкости. Скорости по сечению потока неодинаковы, причём в середине потока скорости наибольшие, а к периферии Они уменьшаются (струйная модель потока). Это означает, что различные струйки в одном сечении имеют различные значения кинетической энергии. Отсюда следует, что кинетическая энергия, посчитанная с использованием скоростей элементарных струек u. S, и кинетическая энергия, посчитанная с использованием значения средней скорости потока V, будет иметь разные значения.

Выясним, какова эта разница. Кинетическая энергия элементарной струйки равна где dm - масса жидкости плотностью , протекающей через живое сечение элементарной струйки d. S со скоростью us за время dt, равная Проинтегрировав выражение для получим выражение для кинетической энергии потока идеальной жидкости

Если принять, что t=1, получим Последняя формула определяет энергию потока с использованием скоростей элементарных струек uω. Если получить значение кинетической энергии потока с использованием значения средней скорости потока V, получим формулу где m- масса жидкости плотностью , протекающей через живое сечение S потока со скоростью V за время t, равная

После подстановки при t=1 окончательно получим Отношение и , равное Полученная величина α носит наименование коэффициента кинетической энергии или коэффициента Кориолиса. Смысл этого коэффициента заключается в отношении действительной кинетической энергии потока в определённом сечении к кинетической энергии в том же сечении потока, но при равномерном распределении скоростей.

При равномерном распределении скоростей его значение равно единице, а при неравномерном – всегда больше единицы и для любого потока его значение находится в пределах от 1 до 2 и более. Учитывая коэффициент кинетической энергии, приведём уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, которое примет вид Надо учесть, что в общем случае в разных сечениях потока коэффициент α будет иметь различные значения.

ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Вязкой жидкостью называют жидкость, удовлетворяющую трем гипотезам: линейности, однородности и изотропности. Гипотеза линейности иллюстрирует так называемый закон трения Стокса. Согласно этому закону, напряжения, возникающие в жидкости, в отличие от твердого тела, пропорциональны не величинам, а скоростям деформаций, и связаны с ними линейной зависимостью. При этом коэффициент пропорциональности остается неизменным и равным 2. Гипотеза однородности предполагает, что вид линейной зависимости между напряжениями и скоростями деформаций одинаков для всех точек пространства. Гипотеза изотропности. Вязкая жидкость предполагается изотропной, т. е. ее свойства в любом направлении одинаковы.

Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости В вязкой жидкости в процессе движения слои жидкости трутся друг об друга На это трение затрачивается часть энергии потока, и энергия направлении движения постоянно уменьшается. Т. е. напор потока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1 -1 и 2 -2, то потери гидродинамического напора Δh составят где H 1 -1 - напор в первом сечении потока жидкости, H 2 -2 - напор во втором сечении потока. С учётом потерь энергии уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости будет выглядеть

Индексами 1 и 2 обозначены характеристики потока в сечениях 1 -1 и 2 -2. Если учесть, что характеристики потока V и α зависят от геометрии потока, которая для напорных потоков определяется геометрией трубопровода, понятно, что потери энергии (напора) в разных трубопроводах будут изменяться неодинаково. Показателем изменения напора потока является гидравлический уклон I, который характеризует потери напора на единице длины потока. Физический смысл гидравлического уклона – интенсивность рассеяния энергии по длине потока. Другими словами, величина I показывает, как быстро трубопровод поглощает энергию потока, протекающего в нём

Изменение энергии по длине потока удобно проследить на графиках.

Из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (закона сохранения энергии) видно, что гидродинамическая линия для потока реальной жидкости (с одним источником энергии) всегда ниспадающая. То же справедливо и для пьезометрической линии, но только в случае равномерного движения, когда скоростной напор а уменьшение напора происходит только за счёт изменения потенциальной энергии потока, главным образом за счёт уменьшения давления P. Пьезометрическим уклоном называют изменение удельной потенциальной энергии жидкости вдоль потока, приходящееся на единицу его длины.

Если гидравлический уклон всегда положителен, то пьезометрический может быть и положительным, и отрицательным. При равномерном движении жидкости, когда скорость по длине потока не изменяется, скоростной напор вдоль потока const. Следовательно, пьезометрическая линия параллельна энергетической, и пьезометрический уклон равен гидравлическому. Изменение удельной потенциальной энергии положения вдоль потока жидкости, приходящееся на единицу длины, называют геометрическим уклоном i и определяют по формуле

Практическое применение уравнений Бернулли Уравнение Бернулли широко применяют во многих гидравлических расчетах и для объяснения многих гидравлических явлений. В частности, оно может быть использовано при измерении давления и скорости движущейся жидкости. Для измерения давления используют пьезометр (прямая трубка). Для измерения скорости совместно с пьезометром используют трубку Пито трубку полного напора. Она представляет собой трубку, изогнутую под прямым углом и установленную навстречу потоку.

Уровень жидкости в пьезометре равен Разность уровней в пьезометре и в трубке полного напора будет равна скоростному напору Действительно, напишем уравнение Бернулли для точек А и В: Так как то

где - высота жидкости в трубке полного напора; - высота жидкости в пьезометре. Отсюда Тогда или где φ > 1 коэффициент, определяемый для каждой трубки опытным путем. За счет вязкости жидкости и других отклонений от идеального случая преобразования энергии и поэтому, чтобы не получать пониженных значений скоростей, φ>1.

Трубка Прандля Дальнейшим усовершенствованием трубки Пито является трубка Пито. Прандтля. В этом приборе объединены трубка Пито и пьезометр. Роль трубки Пито здесь выполняет трубка 2 (она направлена навстречу потоку), а пьезометра трубка 1 (отверстия в этой трубке находятся параллельно направлению потока). Пусть в сечении I имеем давление p и скорость набегающего потока . В сечении II давление на входе в трубку 2 равно pk. (скорость k равна нулю).

Записывая уравнение Бернулли для сечений I и II учитывая, что получим Отсюда Для определения рк - р воспользуемся формулой гидростатического давления Применяя эту формулу для точек А и D получим где - удельный вес ртути; - удельный вес газа, скорость которого измеряется.

Так как при равновесии давление в точках А и D одинаково, то Учитывая, что получим Подставляя последнее соотношение в выражение скорости получим Для каждой отдельной трубки вводится некоторый коэффициент определяемый опытным путем. Отсюда формула для определения скорости потока принимает вид

Трубка Вентури. Сопло. Диафрагма В промышленных условиях для измерения применяют трубки Вентури, сопла и диафрагмы. Трубка Вентури создает в трубопроводе местное сужением потока и по возникающему перепаду давлений Δр можно определить расход жидкости. Для сечений I и II запишем уравнение Бернулли (считая распределение скоростей равномерным)

где h. M - потеря напора между сечениями I и II, - коэффициент местных потерь. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид Отсюда Подставляя h. M и υ1 уравнение Бернулли и выражая , получим

Объемный расход определяем по формуле где С - величина, постоянная для данного расходомера (трубки Вентури). Довольно часто вместо пьезометров и для измерения перепада давления в расходомере применяют дифференциальный трубный манометр

Учитывая, что над ртутью в трубках находится одна и та ж жидкость плотностью р, запишем Значения Δh, полученные по формуле, можно использовать для определения расхода по предыдущей формуле. Аналогично для измерения расхода могут быть использованы диафрагмы и сопла.

Уравнение движения вязкой жидкости – уравнение Навье-Стокса Рассмотрим нормальные напряжения, возникающие от сил вязкости. Согласно закону Стокса, их можно записать в виде так называемых девиаторов напряжения, имеющих вид

Полные нормальные напряжения отличаются тем, что помимо записанных выше в любой, как в вязкой, так и в невязкой жидкости, действуют и статические давления. Другими словами

Выполним следующую операцию: из утроенной величины pxx вычтем сумму (pxx+pyy+pzz). Это дает откуда найдем В качестве давления в вязкой жидкости принимают среднее арифметическое, т. е.

И, следовательно, Для несжимаемой жидкости и выражения упрощаются.

Уравнения движения вязкой жидкости можно получить из уравнений движения в напряжениях, выполнив некоторые преобразования. Рассмотрим лишь одну проекцию этих уравнений Для упрощения несжимаемой ( задачи будем ). Тогда считать жидкость (1) Касательное напряжение

(2) аналогично (3) Суммируя (1), (2) и (3) и группируя члены, получаем Третий член можно записать в виде

но жидкость несжимаема, и Таким образом получаем (4) Выражение в скобках есть ни что иное, как оператор Лапласа , а Окончательно получаем

Аналогично можно расписать и две другие проекции. Полученная система уравнений движения вязкой жидкости и носит название системы уравнений Навье-Стокса. В векторной форме можно записать (5) Как следует из (5), это уравнение отличается от уравнения движения идеальной жидкости дополнительным членом ( ), учитывающим действие сил вязкого трения. Целью гидродинамического расчета является нахождение полей скоростей и давлений, т. е. в результате расчета должны быть найдены четыре величины: ux, uy, uz и p.

Принципиально это оказывается возможным, так как три уравнения Навье-Стокса (в проекциях) плюс уравнение неразрывности образуют замкнутую систему. Плотность и вязкость, входящие в них, считаются известными, а проекции массовых сил (X, Y, Z) задаются условиями конкретной задачи. С чисто математических позиций уравнения Навье. Стокса относится к классу нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Одно из наиболее неприятных из их свойств – нелинейность, обусловленная наличием конвективных членов ускорения. Следует отметить, что до настоящего времени вследствие практически непреодолимых математических трудностей не получено ни одного общего решения уравнений Навье-Стокса в их полном виде, т. е. при сохранении всех конвективных членов и всех членов, учитывающих вязкость. Известны лишь отдельные частные решения.

Одномерные течения несжимаемой жидкости Одномерными называются течения, в которых основные параметры потока зависят лишь от одной координаты, направление которой совпадает с направлением вектора скорости. Использование одномерных течений позволяет достаточно просто решать многие важные прикладные задачи. Расход потока и средняя скорость Рассмотрим движение жидкости в трубе круглого поперечного сечения. В силу тормозящего действия сил вязкого трения распределение скоростей в поперечном сечении трубопровода (эпюра скорости) будет иметь вид, показанный на рисунке.

Элементарный объемный расход жидкости может быть определен как несжимаемой (1) где u -скорость в сечении струйки, d. A - площадь ее поперечного сечения. В соответствии со струйной моделью расход потока (2) Для удобства перейдем к цилиндрическим координатам (r, ), где - полярный угол. В этой системе (3)

Подставляя (3) в (2) получаем (4) Имея в виду, что , имеем (5) Запись u(r) обозначает, что местные скорости в сечении трубы изменяются по радиусу. Другими словами, u(r) описывает закон изменения скорости, т. е. является математическим описанием эпюры. Следовательно, для того, чтобы вычислить расход по (5), необходимо знать уравнение эпюры скорости, которое, как правило, неизвестно.

С чисто математических позиций интеграл в правой части выражает объем эпюры скорости. Рассмотрим невязкую жидкость при неизменном расходе Q. Это, очевидно, приведет к тому, что эпюра начнет перестраиваться и, так как исчезнут силы вязкого трения, то все частицы жидкости будут двигаться с какой-то одинаковой скоростью V, а так как по условию расход остается тем же, то объем новой эпюры равен объему старой. При этом условии u(r)=uср=const, и из (5) получаем (6)

Скорость V, введенная таким образом носит название средней либо среднерасходной скорсти. Следовательно, формально средняя скорость может быть определена как фиктивная скорость, с которой должны были бы двигаться все частицы жидкости для того, чтобы расход был равен его истинному значению. С физической точки зрения использование понятия средней скорости, одинаковой для всех частиц жидкости в сечении, позволяет свести задачу о движении жидкости в трубах и каналах к одномерной.