гидравлика Презентационный вариант курса Законы равновесия и

гидравлика Презентационный вариант курса

Законы равновесия и движения материальных частиц, которые являются основой механики в равной степени справедливы для любых тел. Однако, практическое применение этих законов имеет специфические черты при их использовании для различных агрегатных состояний вещества. Соответственно существует разделение механики на три основных части: механику твердого тела, механику жидкого тела (гидромеханику) и механики газообразного тела (аэромеханику). Надо заметить, что разделение между двумя последними иногда носит условный характер. Поэтому, занимаясь гидромеханикой, мы будем отмечать случаи, в которых полученные результаты могут быть использованы и для газообразных сред. В этих случаях термин жидкость используется расширительно, т. е. включает в себя также и газ. Для того, чтобы подчеркнуть различие между жидкостью и газом для первой используется термин капельная. Общим для жидкости и газа является свойство текучести, т. е. неспособность самостоятельно удерживать свою форму. Величина текучести определяет, насколько трудно изменить форму жидкого объема путем его деформации за некоторый конечный промежуток времени. Величина, обратная текучести, носит название вязкости. При весьма медленной деформации требуемая затрата энергии оказывается пренебрежимо малой. В гидромеханике вводится понятие идеальной жидкости, которая не оказывает никакого сопротивления деформации. Вязкость такой жидкости, естественно, равна нулю.

Некоторые определения Виды жидкостей • Идеальная жидкость – обладает абсолютной текучестью, абсолютно несжимаема и в ней полностью отсутствуют силы сцепления между частицами. • Реальная жидкость – обладает всеми указанными выше свойствами. Главные и основные свойства жидкости – текучесть и вязкость. • Гомогенная жидкость – жидкость, состоящая из одного или нескольких компонентов, не имеющих границу раздела между собой (истинные растворы). • Гетерогенная жидкость – жидкость, состоящая из одного или нескольких компонентов, которые имеют границу раздела между собой - двух или трѐхфазные системы (суспензии, дымы, пыли, туманы и эмульсии).

Силы, действующие в реальной жидкости - поверхностные и объемные силы Объемные силы. Эта категория сил относится к массовым силам, поскольку их величина зависит от массы жидкости и действуют они на каждую частицу данного объема. К ним относятся сила тяжести и силы инерции, включая и центробежные. Поверхностные силы. Эти силы действуют на поверхность, ограничивающую данный объем. К таким силам относятся силы давления, касательные напряжения и силы поверхностного натяжения. Силы давления обуславливают расширение или сжатие объема. Касательные напряжения обуславливают сдвиг слоев жидкости и отсутствуют в идеальной жидкости.

Гидростатика 1. Гидростатическое давление Рассмотрим некоторый объем жидкости, находящийся в равновесии под действием системы сил рi. Рассечем его плоскостью ABCD и отбросим мысленно его верхнюю часть. Для сохранения равновесия необходимо приложить к плоскости ABCD силу, эквивалентную воздейст-вию отброшенной части на нижнюю половину тела. Эта сила Р прило-жена к площадке . Отношение Р/ = Рср - среднее гидростатическое давление на площадку . Предел Р/ при 0 дает нам локальное значение гидростатического давления. p 1 p 2 p 3 P B B A C D D p 4 p 5 Рис. 1 Свойства гидростатического давления: 1. Гидростатическое давление действует нормально к воспринимающей его площадке и направлено внутрь объема жидкости. Это связано с тем обстоятельством, что жидкость не оказывает сопротивления растягивающим и тангенциальным усилиям. 2. Гидростатическое давление не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует. . 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Рассмотрим равновесие выделенного в объеме жидкости прямоугольного параллелепипеда под действием объемной силы составляющие которой равны X, Y, Z При этом ограничимся рассмотрением лишь одной пары граней, поскольку для двух других выражения будут идентичными. На рис. 2 изображено сечение параллелепипеда, проходящее через ось х. Давление в центре парал- лелепипеда. р и dр = р – р’. Получим уравнения равновесия Эйлера: P - 0, 5 dp P P + 0, 5 dp’ x dp dp’ dx Рис. 2 X - = 0 Y- = 0 Обратим внимание, что силы в системе (3) отнесены к единице (3) массы Z - = 0 Умножая уравнения (3) на dx, dy dz и складывая, получим Xdx +Ydy + Zdz = (4) Правая часть уравнения представляет собой полный дифференциал. То же самое мы имеем и для левой части. Следовательно коэффициенты в левой части являются производными от некоторой потенциальной функции П. То есть d. P = = d. П (5)

Основное уравнение гидростатики Пусть жидкость находится в вертикальном цилиндрическом сосуде в состоянии равновесия по действием силы тяжести и внешнего давления на свободной p 0 поверхности (Рис. 3). Ось z направлена противоположно силе тяжести. Плос- кость x 0 y расположена горизонтально и называется плоскостью сравнения. z Составляющая силы тяжести по оси z Z= -g. Остальные две составляющие равны нулю. То есть p 0 (7) Очевидно, что при z = const П = const и не зависит от х и у. Эти плоскости носят название поверхностей уровня. Эти поверхности являются также поверхностями равного 0 X давления. Последнее из уравнений (7) приводится к виду d. П = - g dz, y а после интегрирования Рис. 3 П = - gz + C или П – = g ( - z) (8) , П 0 z 0 где индексом « 0» обозначена точка, для которой значения z и П заданы. Тогда, из уравнений (6) и (8) получим р = + g ( - z) (9) p 0 z 0 Иначе h M z 0 z (10)

Правая часть уравнения (10) относится к произвольно выбранной точке М, погруженной на глубину h под свободную поверхность (см. Рис. 3). Уравнение (10) обычно называют основным уравнением гидростатики. Из дальнейшего будет ясно, почему именно такая форма является наиболее удобной. Если записать уравнение (9) в форме p 0 р = + gh, (11) то можно сформулировать закон распределения полного (абсолютного) гидростатического давления в жидкости: величина полного гидростатического давления в некоторой точке, погруженной на глубину h относительно свободной поверхности, равна сумме внешнего давления на свободную поверхность жидкости p 0 и давления от веса столба жидкости с площадью основания, равной единице, и высотой, равной глубине погружения рассматриваемой точки h. Поскольку h – глубина погружения произвольной точки, то уравнение (11) показывает, что изменение внешнего давления в покоящейся жидкости передается во все ее точки одинаково. Это формулировка закона Паскаля. Уравнение (11) также можно называть основным уравнением гидростатики. Некоторые определения: Разность между давлением в точке М (рис. 3) и внешним атмосферным давлением носит название манометрического p. М или избыточного давления. В данном случае манометрическое давление равно gh. Смысл этого названия связан со способом измерения давления. Надо заметить, что если сосуд закрытый, то манометрическое давление может оказаться и отрицательным. Отрицательное манометрическое давление называется вакуумом или вакуумметрическим давлением

Приборы для измерения давления Существует большое количество приборов для измерения давления. Они могут быть классифицированы по характеру измеряемой величины приборы для измерения: атмосферного давления (барометры); разности абсолютного и атмосферного давления (манометры, вакуумметры, мановакуумметры; абсолютного давления; разности давлений (дифференциальные манометры); малых избыточных и вакуумметрических давлений; по принципу действия жидкостные механические (пружинные и мембранные) грузопоршневые электрические комбинированные Наиболее часто используются жидкостные и механические приборы

Принцип действия жидкостных приборов основан на гидростатическом равновесии жидкости. Измеряемое давление уравновешивается силой тяжести столба жидкости, Пьезометр (рис. 4) представляет собой стеклянную вертикальную трубку со шкалой диаметром не менее 5 мм, Имеется 2 вида: 1 – для измерения абсолютного давления – верхний конец трубки запаян; 2 – для измерения избыточного давления – Рис. 4 верхний конец открыт в атмосферу. На рис. 4 показаны оба варианта. Под действием давления жидкость по трубке 1 -го типа (поднимается на высоту h’: р = + gh’, p 0 На поверхности жидкости в этой трубке давление будет равно давлению насыщенных паров жидкости, которым обычно можно пренебречь. pабс Тогда = gh’ и h’ = pабс / g Высота h’ называется пьезометрической высотой, соответствующей абсолютному давлению на уровне точки К. Пьезометрической трубкой 2 -го типа измеряется манометрическое давление на уровне точки К. h = pман / g Начало шкалы, конечно, должно быть согласовано с точкой измерения.

U- образный манометр (рис. 5) представляет собой U-образную трубку, заполненную до опре- деленного уровня рабочей жидкостью. Эта жидкость по возможности должна быть маловязкой и иметь малый коэффициент теплового расширения. Смысл этих требований очевиден. Выполнение первого обеспечивает лучшую динамику установления показаний прибора, а выполнение второго снижает отклонения показаний, связанные с изменением рабочей температуры. Необходимо также, чтобы среда, в которой измеряется давление и рабочая жидкость Рис. 5 были взаимно не растворимы. Часто в качестве рабочих жидкостей используются вода, этиловый спирт, ртуть, тетрабромэтан, бромистый этил. Их плотность меняется в диапазоне 780 – 13600 кг/м 3 при комнатной температуре. На рис. 5 показан вариант использования U-образного манометра для измерения избыточного давления. Конец одной ветви манометра соединяется с местом измерения, а второй открыт в рт атмосферу. Нуль шкалы располагается в ее центре. Пусть -плотность рабочей жидкости, а - плотность среды в объеме А. Тогда рабс. А = ртgh - gh 1

Пример неплоской поверхности уровня – равномерное свободное вращение жидкости вместе с сосудом относительно вертикальной оси Рассмотрим установившееся вращательное движение. В этом случае жидкость находится в покое относительно сосуда и ее равновесие определяется двумя массовыми силами - силой тяжести и центробежными силами. На рис. 5 показаны стрелками силы и их проекции на оси координат. Наиболее удобно воспользоваться цилиндрической системой координат ибо задача характеризуется осевой симметрией. Выражения для обеих сил приведены ниже, причем центробежные силы направлены вдоль оси r, а силы тяжести – вдоль оси z. Рис. 6. Далее используем дифференциальное уравнение поверхности равновесия (4) записанное в цилиндрических коогдинатах и после его интегрирования получим уравнение свободной поверхности (выделено) ar = 2 r ; az= - g dp = 2 rdr - gdz ; p = ( 2 r 2/2 –gz)+C Это уравнение параболоида вращения. . Постоянную интегрирования С можно найти из следующего условия. При r = z = 0 давление p 0 равно и С = . Тогда окончательно получим z = 2 r 2/(2 g) – (p – p 0)/ ( g) = 2 r 2/(2 g) – p. M / ( g)

Сообщающиеся сосуды Рис. 7 Основное уравнение гидростатики можно применить для установления условий равновесия жидкости в сообщающихся сосудах Для получения решения в общем виде рассмотрим закрытые сосуды с различными несмешивающимися жидкостями - 1 и 2. Пусть давления на свободных р01 и р02 поверхностях жидкостей. За плоскость уровня принимается плоскость раздела жидкостей. Теперь запишем условия равновесия р01 + 1 gh 1 = р02 + 2 gh 2 Рассмотрим 2 частных случая: 1. Жидкости одинаковы, но давления на поверхности различны 1 = 2 = тогда р01 - р02= g(h 2 - h 1 ) 2. Жидкости одинаковы и давления на поверхности одинаковы. Очевидно, что при этом уровни будут одинаковы h 2 = h 1

Эпюры гидростатического давления Эпюрой гидростатического давления называется графическое изображение распределения давления вдоль поверхности. Из основного уравнения гидростатики следует, что оно является линейным Поэтому для ее построения достаточно знать давление в двух точках. Рассмотрим построение эпюры абсолютного и избыточного давления на вертикальную плоскую прямоугольную стенку АВ (рис. 8 а). Определяем давление в точке А на поверхности жидкости и в точке В – у дна: . Рис. 8. Примеры h. A = 0; pабс. А = р0; рман. А = р. А = 0 построения эпюр h. B = H; pабс. В = р0 + g. H; Гидростатичесpман. В = р. В = g. H кого давления Начало координат -точка О, в которой пересекается уровень поверхности со стенкой АВ. Эпюра абсолютного давления имеет форму трапеции, а эпюра избыточного давления – форму треугольника.

Давление жидкости на плоскости конечных размеров Рассмотрим давление жидкости на плоскую стенку NB, наклоненную к горизонту по углом . Повернем стенку вокруг оси у и совместим с плоскостью чертежа. Выделим на поверхности элементарную площадку d. A. Сила полного гидростатического давления, действующего на d. A равна Рис. 9 d. Rабс = (p 0 + gh) d. A Полную силу, действующую на плоскость получим путем интегрирования Rабс = где - статический момент фигуры А y. C - координата ее центра тяжести. Окончательно Rабс = (p 0 + gh. C)А - глубина центра тяжести фигуры А h. C Формулировка: Сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению гидростатического давления в центре тяжести на площадь

Положение центра избыточного давления Сила поверхностного давления как равнодействующая равномерно распределенной нагрузки приложена в центре тяжести стенки (С). Величина избыточного давления ( давления самой жидкости) изменяется с изменением глубины. Поэтому точка приложения равнодействующей этой нагрузки будет смещена относительно точки С на некоторую величину е, называемую эксцентриситетом давления в сторону большего давления, т. е. вниз. Точка приложения силы - центр RМ давления – обозначается буквой D (рис. 9). Координату можно y. D центра давле-ния можно определить, использую условие равенства момента равно-действующей силы сумме моментов составляющих сил. Мы рассмотрим момент относительно оси х. Используя выражение для элементарной силы при = 0, получим p. D Величина - это момент инерции относительно оси х. Используя теорему сопромата о связи момента инерции относительно произвольной оси и момента инерции относительно центральной оси Получим и Таким образом

Определение составляющих силы давления Выделим на криволинейной поверхности NB, элемент поверхности высотой dy с площадью d. A. При этом площадка считается плоской и давление в ее пределах постоянным. Тогда сила давления равна d. R = gh d. A Проекции элементарной силы давления равны d. RX =d. R cos = gy cos d. A d. RY = d. R sin = gy sin d. A Проекции силы давления определятся следующим образом Интеграл RX = CAy Горизонтальная составляющая сил давления на криволинейную поверхность определяется как сила давления на плоскую вертикальную проекцию криволинейной поверхности. Глубина погружения ее точки приложения определяется по формуле()

Вертикальная составляющая силы давления Интеграл R = RX + RY Модуль силы определяется как R = ( R 2 X + R 2 Y)0, 5 Вертикальная составляющая силы давления равна силе тяжести жидкости, заключенной в объеме тела давления. Точка приложения вертикальной составляющей расположена в центре тяжести тела давления.

Понятие тела давления Тело давления представляет собой объем жидкости (действительный или условный), который ограничен - самой криволинейной поверхностью; - ее проекцией на горизонт свободной поверхности жидкости, или его продолжение, или на условную пьезометрическую плоскость; - поверхностями, образованными вертикальными проектирующими линиями проектировании контура криволинейной поверхности (с боков). Различают следующие варианты тел давления; 1. Реальное )или положительное) тело давления, которое строится на смоченной стороне криволинейной поверхности и реально заполнено жидкостью. Вертикальная составляющая считается положительной и RY направлена вниз. 2. Фиктивное (или отрицательное) тело давления, которое строится на несмоченной стороне. В фиктивном теле давления жидкость отсутствует и для определения RY объем заполняется жидкостью условно. При этом RY отрицательно. (т. е. направлено вверх). 3. Суммарное (или смешанное) Точкой приложения силы RY является центр тяжести тела давления.

На рис. показаны реальные тела давления (а, д) и фиктивные тела давления (б, в, г, е). Если жидкость действует на криволинейную поверхность сверху вниз, то надо искать реальное тело давления, а если снизу вверх – фиктивное. . Для построения тела давления точки криволинейной поверхности проектируют на свободную поверхность жидкости или ее продолжение. . Далее определяютт какой вариант имеет место: с реальным или фиктивным телом давления Рис. 10

Сила давления на дно сосуда Сила давления, действующая на дно сосуда, дается формулой R = p. A = gh. А где р –давление в плоскости дна; А – площадь дна Необходимо обратить внимание на то, что в сосудах различной формы, но с одинаковой площадью дна и одинаковой глубиной заполнения h, величина силы давления на дно сосуда одинакова. Этот эффект носит название гидростатического парадокса Даламбера. Это, однако не означает, что одинаковыми будут силы давления на опору. Последняя, естественно будет равна весу жидкости с сосудом. Рис. 11 В 1648 г. этот парадокс продемонстрировал Б. Паскаль. Он вставил в закрытую бочку, наполненную водой, узкую трубку и, поднявшись на балкон второго этажа, влил в эту трубку кружку воды. Из-за малой толщины трубки вода в ней поднялась до большой высоты, и давление в бочке увеличилось настолько, что крепления бочки не выдержали, и она треснула.

Закон Архимеда Если криволинейная поверхность симметрична относительно вертикальной оси и погружена в жидкость, то воздействие жидкости сводится лишь к вертикальной составляющей силы давления. Для ее определения найдем тело давления. Спроектируем криволинейную стенку на горизонт свободной поверхности. Объем фиктивного тела давления равен объему, ограниченному криволинейной поверхностью и сила давления направлена вверх. . Сила давления жидкости на погруженное в нее тело направлена вверх и равна весу вытесненной им жидкости. Это формулировка закона Архимеда. R – архимедова (гидростатическая) подъемная сила. На рис. 12 показаны 3 варианта соотношения подъемной силы и веса тела.

Остойчивость плавающего тела Плавающее тело или судно имеет на оси плавания О – О три характерные точки: центр тяжести С, центр давления (или водоизмещения) D и метацентр М. Метацентром называется точка пересечения оси плавания с линией действия архимедовой силы при крене плавающего тела или судна. Центр давления при крене судна перемещается в точку D’. Подъемная сила Р проходит через точки D’ и М. Сила веса направлена вниз из точки С. На накренившееся судно действуют две силы – подъемная сила P, приложенная в точке D’ и сила тяжести G, приложенная в точке С. Эти силы создают вращающий момент, который может быть или возвращающим, или опрокидывающим. На приведенном рисунке момент –возвращающий, то есть судно устойчиво. Это обеспечивается тем, что центр тяжести С находится существенно ниже метацентра. Однако, если центр тяжести окажется выше метацентра, то момент станет опрокидывающим. Понятие метацентра было введено в 1746 г. Бугером и в 1749 г. Эйлером.

ГИДРОДИНАМИКА Общие понятия и определения При переходе от гидростатики к гидродинамике возникает необходимость учета сил, связанных с движением потока. Это силы инерции и силы трения. В отличие от гидростатического давления гидродинамическое давление благодаря наличию касательных напряжений оказывается различным в различных направлениях. Однако, если касательные напряжения все же отсутствуют (такая жидкость называется идеальной) то свойства давления, которые были установлены в предыдущем разделе, сохраняются. Для реальной вязкой жидкости постулируется соотношение p = 1/3 (pxx + pyy + pzz) В отличие от идеальной жидкости строго доказать данное утверждение не представляется возможным. Однако, оно однозначно подтверждается практикой. Кроме распределения давления характеристикой потока является распределение скоростей. Поскольку скорость является векторной величиной, то в общем случае необходимо в каждой точке определить три компоненты скорости. Для математического описания движения жидкости используются два различных метода – метод Лагранжа и метод Эйлера. В методе Лагранжа мы исходим из того что наблюдатель движется вместе с жидкой частицей, для которой задано ее положение в начальный момент времени и далее описываются траектории движения частиц жидкости

x =f 1(t), y =f 2(t) z =f 3(t) to Рис. 14. Методы Лагранжа (а) и Эйлера (б) Для выделения конкретной частицы в начальный момент времени задаются ее координаты a, b, c – переменные Лагранжа. Положение отдельной частицы определяется как x =f 1(t, a, b, c), y =f 2(t, a, b, c) z =f 3(t, a , b, c) Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа оказываются очень громоздки ми и используются только в особых случаях. В основном же используются более удобные уравнения Эйлера. При использовании метода Эйлера движение рассматривается с точки зрения неподвижного наблюдателя и параметры потока определяются в неподвижных точках

Уравнение неразрывности z (uz+ uz) . ux . (uy+ uy) . uy . (ux+ ux) x y . uz Перед тем, как получить уравнение движения рассмотрим общее условие, которое должно выполняться при решении любой задачи о движении сплошной среды. Это закон сохранения массы. Введем понятие массовой скорости. Обычная скорость может рассматриваться как объемный поток через элемент единичной площади. То есть имеет место очевидное равенство = u(м/с) - скорость. Аналогичным образом массовая скорость u - поток массы через (кг/м 2 с) элемент единичной площади. Рассмотрим теперь баланс массы для выделенного элемента объема жидкости. Изменение массы в нем определяется уравнением Для несжимаемой жидкости, которую мы будем рассматривать в этом курсе

Полученное уравнение носит название уравнения неразрывности. Его справедливость обеспечивает отсутствие нарушений закона сохране-ния массы в полученном решении задачи. Оно в равной степени относится к идеальной и вязкой жидкости. Несжимаемость ( = const) обеспечивает отсутствие члена / t. Пусть у нас не равна нулю лишь одна составляющая скорости (для определенности ux ). Тогда скорость ux постоянна и расход жидкости через любую площадку постоянного сечения F, перпендикулярную направлению течения? постоянен, т. е. u F = C Теперь можно перейти к получению уравнений движения. Запишем систему (3) уравнений равновесия Эйлера. Для того, чтобы перейти к уравнениям движения необходимо добавить к ним силы инерции, если рассматривается модель идеальной жидкости и также и силы трения, если рассматривается вязкая жидкость. Сначала рассмотрим случай идеальной жидкости. Надо заметить, что уравнения движения можно также рассматривать как закон сохранения импульса – точно так же, как и для дискретных тел.

- ax X - = 0 - ay Y - = 0 (10) - az Z - = 0 Сила инерции, отнесенная к единице массы – это ускорение а, которое мы обозначим du/dt, Это так называемая полная или субстанциональная производная. Таким образом система (3) принимает вид (10). Теперь остается выяснить, как для метода Эйлера будет выражаться полное ускорение. Оно состоит из локальной -1 и конвективной -2 частей 1 2 или

Уравнения, получающиеся при подстановке в уравнение (10) выражений для ускорений называются уравнениями Эйлера для движения идеальной ai жидкости. Если u/ t = 0, то скоростное поле называется стационарным). Решение системы уравнений Эйлера даже для идеальной жидкости является достаточно сложным. В гидравлике пытаются свести проблемы к одномерному случаю, то есть лишь одна компонента скорости отлична от нуля. Но в этом случае уравнение непрерывности приводит нас к выводу, что скорость должна быть постоянна – тривиальный случай. Единственный реальный случай такого течения – это трубопровод постоянного сечения с непроницаемыми стенками. Поэтому практически при одномерном подходе мы рассматриваем среднюю скорость, то есть объемный расход, поделенный на поперечное сечение потока. Введем понятие о линиях тока. Касательные к линиям тока указывают направление вектора скорости точках касания. Для стационарного течения линии тока совпадают с траекториями жидких частиц. (Для нестационарных течений такое совпадение не имеет места, поскольку в последовательные моменты времени жидкие частицы уходят с линии тока) Если провести линии тока через все точки некоторого замкнутого контура, то эти линии образуют так называемую трубку тока. Жидкость внутри нее течет как в трубке с твердыми стенками и носит название жидкой струйки. Такая жидкая струйка является объектом для которого изменение скорости по сечению не принимается в расчет и рассматривается лишь средняя скорость.

Иногда оказывается допустимым весь поток в трубе или канале рассматривать как единственную жидкую струйку. Уравнение Бернулли для жидкой струйки Рассмотрим небольшой участок жидкой струйки, считая его цилиндром, осью которого s является линия тока, проходящая чез центр струйки. . Высота цилиндра равна ds, Поперечное сечение цилиндра d. F и заключенная в нем масса - dsd. F. Разность давлений, действующая на цилиндр равна , массовая сила (сила тяжести) равна dsd. F gcos (cos = ) Наконец, ускорение в направлении dz ds z течения определяется формулой К выводу уравнения Бернулли Принимая, что ds/dt = u, получим (здесь ускорение также состоит из 2 -х частей, причем для стационарного течения последняя, очевидно, равна нулю) Применяя основной закон динамики для стационарного случая имеем или

Последнее уравнение носит название уравнения Бернулли. Оно отличается от основного уравнения гидростатики появлением третьего члена u 2/2. Другая форма этого уравнения Все его члены имеют размерность высоты. Они носят соответственно названия пьезометрической, геометрической и скоростной высот. Для разных жидких струек значение константы может быть различным. Однако, если все линии тока начинаются в области, где жидкость покоится или движется равномерно и прямолинейно, то постоянная для всех струек тока одинакова и уравнение Бернулли применимо для потока в целом. Трехчлен Бернулли можно рассматривать как сумму удельной потенциальной энергии, которая состоит из энергии положения и энергии давления и удельной кинетической энергии. Перед тем, как рассмотреть практическое использование уравнения Бернулли введем некоторые определения общего характера, касающиеся движения жидкостей.

Даниил Бернулли 1700 – 1782. Работал в России с 1725 по 1733 г. Леонард Эйлер 1707 -1783. Работал в России с 1727 по 1740, а затем с 1766 по 1783

Виды движения жидкостей Движение жидкости в отличие от твердых тел характеризуется тремя видами: 1. Поступательное движение, при котором любая линия внутри жидкого объема остается параллельной самой себе. 2. Вращательное движение, при которым объем жидкости совершает поворот вокруг некоторой неподвижной точки, причем расстояния между любой парой точек остаются постоянными. 3. 3. Движение, связанное с деформацией жидкого объема, при котором расстояния между парами точек могут произвольно изменяться. 4. Вращательное движение элементарных объемов жидкости вокруг своих мгновенных осей со средней угловой скоростью называет-ся вихревым движением жидкости. 5. Движение жидкости может быть неустановившимся и установив-шимся (стационарным). Для стационарного движения гидродина-мические характеристики потока в данной точке зависят только от ее координат. Как уже отмечалось выше, при установившемся движении линии тока являются также траекториями движения жидких частиц, а элементарные жидкие струйки имеют неизменную форму.

Установившееся движение подразделяется на равномерное и неравномерное. Равномерное движение характеризуется постоянством параметров по длине потока. Поле линий тока – семейство параллельных прямых. При неравномерном движении гидродинами ческие параметры потока меняются по длине. При этом можно выделить плавно изменяющееся течение которое характеризуется малой кривизной линий тока и их малым углом расхождения. В зависимости от причин, вызывающих движение, и условий течения различают напорное и безнапорное движение. Напорное движение может иметь место лишь в объемах, ограниченных твердыми стенками и не связанных с атмосферой. Безнапорное движение происходит при наличии свободной поверхности жидкости под действием силы тяжести. Это реки и каналы, а также частично заполненные трубы. Гидравлические характеристики сечения потоков К элементам гидравлических характеристик потока относятся площадь живого сечения , смоченный периметр П и гидравлический радиус R. Живым сечением потока называется поверхность, во всех точках нормальная к линиям тока. Плоским живое сечение в принципе является лишь при равномерном движении.

Наряду с этим допускается считать плоским живое сечение плавно изменяющегося потока при решении прикладных задач. Смоченный периметр – длина контура живого сечения по твердой смоченной границе потока. При напорном движении смоченный переметр совпадает с геометрическим. Гидравлический радиус – отношение площади живого сечения к смоченному периметру. R = / П Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что в гидродинамике и теплообмене используется также понятие гидравлического диаметра, который определяется формулой Dh = 4 / П. То есть отличается от R не в 2, а в 4 раза.

Теперь вернемся к обсуждению уравнения Бернулли и его использования. Геометрическая интерпретация слагаемых уравнения позволяет построить диаграмму, показывающую изменение напоров по длине струйки. Линия, соединяющая уровни пьезометрических высот в живых сече-ниях называется пьезометрической и показывает распределение давления по длине струйки. Для идеальной жидкости эта плоскость горизонтальна. Линия, соединяющая вершины отрезков, соответствующих полному напору, называется линией полного напора. Ее можно рассматривать как след напорной плоскости на чертеже.

Уравнение Бернулли строгим образом выводится из уравнений идеальной жидкости. Но реальная жидкость является вязкой. Поэтому для того , чтобы использовать уравнение Бернулли на практике, необходимо дополнить его учетом потерь напора, связанных с внутренним трением. Вследствие работы сил трения часть механической энергии преобразуется в тепловую и рассеивается в потоке. Этот процесс называется диссипацией энергии. Кроме того взаимодействие между соседними элементарными струйками приводит к обмену механической энергией между ними и изменению распределения скорости. Эти эффекты описываются с помощью понятия уклона. :

Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли Для уяснения физической сущности уравнения Бернулли рассмотрим его вывод с помощью теоремы об изменении кинетической энергии тела , которое равно сумме работ всех сил приложенных к данному телу в течение рассматриваемого перемещения. В элементарной струйке сечениями 1 -1 и 2 -2 выделим тело АВ с площадями живых сечений d 1 и d 2. Расстояния до плоскости сравнения 0 -0 и скорости равны соответстz 1 и z 2 , u 1 и u 2 венно. За время dt тело АВ переместится в положение А’ B’. Очевидно, что ds 1=u 1 dt, ds 2=u 2 dt d. WАА’= d. WBB’ = d. Qdt где W – объем, а Q – расход Также очевидно, что изменение кинетической энергии при перемещении жидкого тела из положения AA в положение AA’ равно поскольку кинетическая энергия остальной части объема неизменна. Т. е.

Работа сил давления определится как Работа сил тяжести определится как Складывая 3 полученных выражения, поделив на и перегруппировав, окончательно имеем = (+ h’w) Все слагаемые выражают энергетические характеристики жидкости – удельные энергии (т. е. соответствующие единице силы тяжести жидкости: еполн = епот + екин Еще раз напомним, что это равенство относится к идеальной жидкости. Для реальной жидкости необходимо учесть еще и удельные потери энергии h’W на участке 1 -2, связанные с внутренним трением. Эти потери добавлены в скобках в правую часть равенства ( ).

Уравнение Бернулли для целого потока Переход к целому потоку можно осуществить путем интегрирования по всему поперечному сечению потока. При этом члены уравнения суммируются в одном живом сечении для всех струек. При этом все члены уравнения надо умножать на силу тяжести жидкости, проходящей через сечение струйки в единицу времени: gd. Q. Тогда мы получаем три интеграла, приведенных ниже: С первым интегралом не возникает особых проблем. Иначе обстоит дело со вторым интегралом, относящемся к кинетической энергии. Дело в том, что скорость может быть распределена по сечению различным образом. Интеграл от квадрата скорости, отнесенный к живому сечению потока не будет равен квадрату средней скорости. Можно показать, что для любого реального распределения скорости действительная кинетическая энергия будет больше, чем определенная по средней скорости. Для учета этого обстоятельства вводится поправочный коэффициент α – коэффициент Кориолиса (коэффициент кинетической энергии).

Последнее слагаемое в уравнении Бернулли для всего потока вводится через понятие средних потерь напора т. е. это удельная механическая энергия, теряемая единицей массы жидкости на пути от первого до второго сечения. После выполненных операций окончательный вид уравнения Бернулли будет: На следующем рисунке показана диаграмма уравнения Бернулли для канала переменного сечения. На нем показаны пьезометрическая и напорная линии. Последняя представляет собой ломаную, которая понижается в соответствие с потерями напора на каждом участке. Пьезометрический уклон связан с изменением . потенциальной энергии.

Приборы, основанные на применении уравнения Бернулли а) Трубка Пито трубка полного напора) б) Трубка Пито в сочетании с пьезометром в) Трубка Пито-Прандтля

Расходомер Вентури (труба Вентури)

Режимы течения жидкости в каналах Конкретное поведение текущих жидкостей определяется кривой течения и режимом течения. Кривая течения может быть записана в двух вариантах: - как связь между поперечным градиентом скорости и касательными напряжениями (s) s = f (dw/dy) - как связь между касательными напряжениями и скоростью сдвига. При этом градиент скорости dw/dy представляется в виде = γ , где γ – скорость сдвига. Простейшей кривой течения является линейная связь между касательными напряжениями и градиентом скорости (или скоростью сдвига), которая была предложена Ньютоном. Жидкости, подчиняющиеся этому закону, называются ньютоновскими или линейными. Коэффициент пропорциональности в законе Ньютона носит название вязкости или динамического коэффициента вязкости. К ньютоновским жидкостям относятся все газы и большинство жидкостей при достаточно высокой температуре. Жидкости, не подчиняющиеся указанному закону, называются неньютоновскими. Мы здесь будем иметь дело лишь с ньютоновскими жидкостями. s =

Введение понятия вязкости в форме закона Ньютона приводит к условию, которое необходимо учитывать при рассмотрерении движения жидкости вдоль неподвижной твердой поверхности. С приближением к поверхности скорость потока должна убывать и на поверхности обращаться в нуль. Действительно, если бы это условие не удовлетворялось, то градиент скорости вблизи стенки оказался бы бесконечно большим и касательные напряжения бы неограниченно возрастали. Т. е. мы приходим к так называемому условию прилипания. То есть Исаак Ньютон непосредственно на неподвижной поверхности скорость 1642 -1727 жидкости необходимо принимать равной нулю. У капельных жидкостей вязкость слабо зависит от давления, но резко уменьшается с ростом температуры. Для реальной жидкости существуют два основных режима течения – ламинарный и турбулентный. Слово ламинарный переводится на русский язык как слоистый. То есть поток представляет собой систему параллельных слоев. Такое определение напрямую относится лишь к течению в прямолинейных каналах постоянного сечения или вдоль поверхностей с близкой к нулю кривизной. Иногда используют более общий термин вязкостное течение. Однако тут возникает некоторое противоречие, поскольку возникновение турбулентного течения также связано с вязкостью. Поэтому термин ламинарное течение часто применяется в расширительном смысле, как течение, в котором доминирует вязкость.

Осборн Рейнольдс 1842 -1912 Как было обнаружено впервые О. Рейнольдсом при исследовании течения в прямолинейной трубе, с ростом скорости при определенных условиях стационарность движения нарушается и движение частиц становится неупорядоченным и хаотическим. Такую форму движения О. Рейнольдс назвал турбулентной. Стационарного или одномерного турбулентного движения не существует. Направление и значения скоростей отдельных жидких частиц непрерывно меняются. При этом резко возрастает интенсивность перемешивания, что было обнаружено путем введения в поток краски. На рисунке видно, как продольная составляющая скорости при течении в трубе. колеблется вокруг некоторого среднего значения, которое называется осредненной скоростью. Каждую из составляющих скорости при турбулентном движении можно представить как сумму осредненной и пульсационной составляющей Среднее значение пульсационной составляющей равно нулю. При движении потока вдоль какой-либо координатной оси лишь одна осредненная скорость отлична от нуля, но существуют все компоненты пульсационной скорости.

Установка Рейнольдса 1. Если немного приоткрыть кран С , то вода протекет в трубе с небольшой скоростью. С помощью крана Е впускаем краску в поток воды. Введенная в трубу краска не перемешивается с потоком. Струйка краски отчетливо видна вдоль всей трубы, Это указывает слоистый течения и на отсутствие перемешивания. 2. При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытия крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка краски по выходе из трубки начинает колебаться, размывается и перемешивается с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение.

Некоторые сведения об анализе размерностей и физическом подобии Понятие о размерности, единицы измерения. Структура функциональных связей между физическими величинами Величины, числовое значение которых зависит от принятых масштабов, т. е. от систем единиц измерения, называются размерными, а величины, числовое значение которых не зависит от выбранной системы единиц, называются безразмерными. Примерами размерных величин являются длина, время, масса, энергия, и. т. д. Примерами безразмерных величин являются углы (в радианах), а также величины отношений одноразмерных величин – отношение периметра окружности к диаметру (число ), квантовое число и. т. д. Поскольку ускорение силы тяжести g практически постоянно, можно, например, заменить ускорение а безразмерной перегрузкой n (где n=a/g), То есть понятия размерных и безразмерных величин являются относительными. При описании механических процессов достаточно установить единицы измерения для трех величин, которые могут выбираться по разному. В настоящее время наиболее распространенной является система единиц СИ (System International). За основные механические единицы в ней приняты метр, кило-грамм и секунда. Единица температуры – кельвин (К) в нашем курсе не нужна. Выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью. В соответствии с английскими названиями основных единиц- длины, массы и времени для их обозначения используются следующие латинские буквы - L, M, T.

Для обозначения размерности величины А традиционно используется символ [А], введенный Максвеллом. Например, для размерности силы в системе СИ мы будем писать . Формулы размерности очень удобны для пере[F] = MLT-2 счета числового значения размерной величины при переходе от одной системы единиц к другой. Формулы размерности имеют вид степенного одночлена. Можно показать, что такой вид определяется следующим условием: Отношение двух значений любой производной величины не должно зависеть от выбора масштабов для основных единиц измерения. В силу определений самих производных величин в механике и термодинамике их размерность всегда определяется операциями умножения и деления размерных величин, что обеспечивает выполнение сформулированных условий. Физические закономерности, устанавливаемые теоретически или экспериментально представляют собой функциональные связи между величинами, характеризующими рассматриваемое явление. Они выражают собой физические факты, независимые от единиц измерения, хотя численные значения самих величин будут, естественно, зависеть от системы единиц. Можно показать, что эти зависимости в универсальном виде должны быть выражены через безразмерные переменные, которые появляются в результате комбинирования размерных величин. П-теорема (теорема Букингама) доказывает, что связь между n+1 размерными величинами можно представить в виде соотношения между n + 1 – k безразмерными комплексами, где k – число размерностей. . Это основной источник полезных приложений метода теории размерностей к исследованию разнообразных физических задач.

Пример: Движение вязкой жидкости в прямолинейной трубе. Cоставим перечень основных физических величин, с которыми мы будем оперировать, и определим их размерности. р – давление Па (паскаль) – единица давления Н м -2 = кг м-1 с-2 p/l = I градиент давления (гидравлический уклон) Па/м -3 = кг м-2 с-2 - коэффициент динамической вязкости - Па с = кг м-1 с-1 - плотность - кг м-3 ; - время - с; - коэффициент кинематической вязкости - / м 2 с-1 u – скорость - м с-1 ; Q – объемный расход - м 3 с-1 Попытаемся получить известную зависимость Хагена-Пуазейля, связывающую перепад давлений на концах трубы с расходом, геометрическими параметрами и вязкостью из соображений размерности (разумеется, с точностью до постоянного множителя). Отметим, что в число переменных величин, характеризующих процесс не войдет плотность жидкости , поскольку движение установившееся и ускорения отсутствуют. В результате останутся следующие величины: объемный расход Q, диаметр трубки d , вязкость , градиент давления i. Поскольку число основных размерностей – 3, то из этих величин можно составить лишь один безразмерный комплекс, который будет постоянной величиной, То есть Q /id 4 =const 4/ Q = Cid или Теоретическое значение величины С - /128

Теперь попытаемся посмотреть, что дает нам анализ размерностей для турбулентного течения. Здесь необходимо добавить к перечисленным выше параметрам потока плотность , которая появляется из-за наличия ускорений в потоке. Форма потерь напора по длине имеет следующий вид Ее называют формулой Вейсбаха-Дарси. Тогда у нас появятся уже два безразмерных параметра. Их удобно представить в следующем виде: = i / ( U 2/2 d) Re = ud/ Первый из них носит название коэффициента сопротивления, а второй Re носит название числа Рейнольдса. Согласно теории размерностей имеем: следующее решение поставленной задачи = f (Re) (8) Рейнольдс показал, что переход к новому виду течения, которое получило название турбулентного происходит при числе Re 2200, Его обычно называют критическим. числом Рейнольдса - Reкр Последняя формула носит название формулы Блазиуса

Гидравлические сопротивления Пример системы гидравлических сопротивлений. Это схема карьерной водоотливной установки. Здесь показаны различные элементы сопротивления. Это линейные элементы – участки труб и местные сопротивления. Линейные потери определяются формулой Вейсбаха-Дарси, имеющей следующий вид: Местные потери - формулой Вейсбаха

Приведенные формулы для коэффициентов сопротивления относятся к гладким трубам. Однако, практически поверхность тру является шероховатой, причем масштаб шероховатости меняется в зависимости от вида материала и характера обработки поверхности. Интересно, что понятие о гладких и шероховатых трубах ввел Блазиус – автор формулы для сопротивления, приведенной выше. Ему же принадлежит введение понятия об относительной шероховатости k/d , где k – линейный размер выступов шероховатости. Цикл работ, которые позволили впервые внести некоторую ясность в этот вопрос, был проведен И. Никурадзе, работавшим в Геттингенской лаборатории под . руководством. Л. Прандтля. На поверхности труб формировалась равномерная зернистая шероховатость. Эксперименты проводились для различных размеров зерна. В результате обобщения этих данных была получена формула Прандтля, которая описывает автомодельный режим сопротивления, когда не зависит от Re Формула Прандтля Людвиг Прандтль 1875 - 1953 k Формула Альтшуля

Линейные потери давления График Никурадзе

Диаграмма Мурина

Предыдущие иллюстрации относились к напорному движению. При этом виде движения сечение канала окружено непроницаемой стенкой и заполнено жидкостью. Наряду с этим существует также и безнапорные движения жидкости в различных руслах (каналы, канализационные и дренажные трубы). В них формула Вейсбаха-Дарси не может быть применена. Для безнапорного установившегося равномерного турбулентного движения жидкости гидравлические потери по длине потока вычисляются по формуле Шези. Напишем равенства Средняя скорость в русле из приведенных формул будет. В полученной зависимости обозначаем. . Коэффициент С получил название коэффициента Шези. Средняя скорость при равномерном движении жидкости в русле. Расход в русле площадью живого сечения составляет. Эти зависимости называют формулами Шези. Формулы Шези могут служить для определения средней скорости в случае установившегося равномерного движения жидкости не только в безнапорных руслах, но и в трубах при движении неполным сечением.

Следует учитывать, что формула применима только в случае квадратичной области сопротивления. Значения коэффициента С определяются опытным путем. Формула Шези для потери напора имеет вид: . Гидравлически наивыгоднейшее сечение канала Гидравлически наивыгоднейшим сечением канала является сечение, обеспечивающее при заданной площади максимальную пропускную способность. Рассмотрим ранее полученную формулу для расхода. При прочих равных условиях ( =const , i = const ) очевидно, что для открытого канала таким сечением является полукруг. На практике наиболее употребительны каналы трапециедального сечения Полукруглые и многогранные сечения применяются значительно реже из-за сложности выполнения и высокой стоимости.

Удельная энергия сечения При движении жидкости в открытом русле при произвольном изменении уклона i, в любом сечении потока можно определить удельную энергию потока Е относительно наиболее низкой точки Е = h + u 2/ 2 g h 1 удельная энергия, в отличие от уравнения Бернулли, определяется для плоскости сравнения, связанной с данным живым сечением. Уравнение удельной энергии сечения можно через расход Q и площадь сечения записать в виде: 2 E = h hкр 3 45 o Емин E Здесь удельная энергия является функцией h и при постоянном расходе Q можно изобразить функцию h(E) в декартовых координатах. При этом = f(h). Простейшая связь имеет место E = h + C/h для прямоугольного канала. = Bh. Тогда и двум членам в правой части соответствуют прямая 1 и кривая 2. . Очевидно, что функция E(h) имеет минимум при h=hкр = (2 C)1/3. При подстановке всех величин и с учетом, что H = hкр = 2 C)1/3 uкр = (g hкр)1/2 получим что. Рассмотрим течение с постоянным расходом в русле произвольного сечения, и плавным изменение движения жидкости. Для этого используем понятие уклона трения iтр Тогда примем, что изменение полной энергии сечения по длине 2 будет определяться дифференциальным уравнением:

В Рассмотрим теперь движение в произвольном открытом канале dh h Отсюда Переход от бурного к спокойному течению происходит в форме так называемого «гидравлического прыжка» . Ниже показана схема, поясняющая его возникновение. Выше уже говорилось о немонотонном изменении энергии при переходе от глубины h 1 < hкр к глубине h 2 > hкр. Поэтому плавный переход невозможен и он совершается скачком на величину 2 – h 1 a = h Скачок совершается за счет разности энергий Е 1 – Е 2. На рисунке зона прыжка искусственно растянута. Здесь, вообще говоря, рассматривается открытый канал, но аналогичный анализ справедлив и для течения неполным сечением в трубах. В случае безнапорного установившегося равномерного турбулентного движения жидкости в канализационных и дренажных. трубах гидравлические потери по длине потока вычисляются по формуле Шези.

За счет поперечной пульсационной скорости происходит обмен массами между слоями через некоторую площадь. За время dt через площадь от слоя 1 к слою 2 пройдет следующая малая масса жидкости: . Эта масса жидкости за счет продольной пульсации передаст слою 2 импульс, равный импульсу силы взаимодействия между слоями Т и J Поскольку , то , а среднее его значение Согласно гипотезе Прандтля и

То есть пульсационные величины были выражены через осредненные. Величину l Прандтль назвал длиной перемешивания. где а – константа. Ее значение (0, 4) было определено И. Никурадзе на основании его экспериментов. По предложению Буссинеска турбулентные касательные напряжения по аналогии с законом Ньютона можно представить в виде = Т где Т - коэффициент турбулентного перемешивания, связанный с переносом импульса в результате интенсивности турбулентного перемешивания. Т = Т Из полученных выражений можно получить распределение осредненной скорости для турбулентного течения. В области развитой турбулентности можно считать, что , т. е. полное касательное напряжение равно турбулентному. Обозначим Получим логарифмический профиль

МЕСТНЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ К местным гидравлическим сопротивлениям относятся устройства и элементы, устанавливаемые на трубопроводах, в которых происходит нарушение нормального движения потока в результате его деформации с изменением направления и значения средней скорости и возникновением вихреобразования. К элементам и устройствам относятся фасонная и трубопроводная арматура: отводы (колена), переходники, тройники, крестовины, диафрагмы, сетки, запорные регулирующие вентили (краны), задвижки, затворы, предохранительные и регулирующие клапаны, всасывающие наконечники, устанавливаемые на входе в трубу насосов, и т. д. Самые простые местные гидравлические сопротивления можно разделить по направлению вектора средней скорости. 1. Скорость переменна при неизменном направлении движения потока жидкости. Например, расширение трубы (русла) может быть плавное или внезапное; сужение трубы (русла) - плавное или внезапное. 2. Скорость постоянна при изменении направления движения потока. Например, поворот трубы (русла) в виде плавного или резкого

Простейшие местные сопротивления показаны на первом рисунке. К более сложным местным сопротивлениям (второй рисунок) относятся такие, в которых вектор скорости изменяется по значению и направлению, а также слияние или разделении потоков. Это, например, задвижки, клапаны, вентили и т. д. , а также тройники и крестовины. В таких сопротивлениях в результате резких изменений направления и скорости происходит значительная деформация потока с возникновением интенсивного вихреобразования.

В местных сопротивлениях расчет потерь существенно усложняется по сравнению с прямолинейными каналами влияние шероховатости поверхности на потери напора. Эти эффекты иллюстрируются следующими рисунками.

Постепенное расширение трубы Постепенно расширяющиеся конусные и прямоугольные переходные участки трубопроводов или воздуховодов называют диффузорами В результате движения жидкости в диффузоре в связи с увеличением диаметра средняя скорость потока уменьшается постепенно и при этом повышается давление. Частички жидкости, движущиеся вблизи стенок диффузора, обладая существенно малой кинетической энергией, практически могут затормаживаться или перемещаться в обратном направлении в связи с увеличением давления. При столкновении частиц, движущихся в разных направлениях под воздействием пульсации скорости и давления, возникают вихреобразования с отрывом потока от стенки диффузора. На вихреобразование и отрыв потока влияет угол расширения диффузора, от чего и будут зависеть местные потери напора. Наилучший угол диффузора, как показали опыты, соответствующий наименьшим потерям напора, находится в диапазоне. 6 – 8 град. Для прямоугольных диффузоров 10 - 12 град. .

Теорема импульсов и ее использование Производная импульса по времени равна результирующей всех сил, приложенных к массе. Производная момента импульса по времени относительно какой- либо точки равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к массе При установившемся движении ограниченной массы жидкости изменение ее импульса связано исключительно с перемещением ее границ. Рассматривая Присоединение и отделение массы, получим: dm 1= 1 u 1 dt = dm 2= 2 u 2 dt =dm dm/ dt u 1= 1 u 12 dm/ dt u 2 = 2 u 22 Направления сил показаны на рисунке. Кроме того на отрезок трубы будут действовать силы давления, причем в ту же сторону. Т. е. суммарные силы будут равны 1 ( u 12 +p 1) и 2 ( u 22 +p 2) Таким образом на изогнутый канал будет действовать поперечная сила. Силы реакции трубы будут иметь противоположное направление. Применение теоремы импульсов позволяет определить потери давления для некоторых случаев, когда теорема Бернулли неприменима.

Внезапное расширение трубы Если поток жидкости, текущий в трубе со скоростью внезапно переходит u 1 в более широкую трубу, то образуется струя, отделенная от остальной жидкости поверхностью раздела. Эта поверхность быстро разрушается и происходит перемешивание, в результате которого жидкость приобретает новую среднюю скорость , меньшую . u 2 u 1 р2 Скорости соответствует давление , u 2 большее . Для вычисления повышения р1 u 2 давления теорема Бернулли неприменима, так как не знаем деталей движения струи в области смешения. Однако теорема импу 1 р2 льсов позволяет вычислить давление p 1 p 2 2 не вдаваясь в указанные детали. Проведем контрольную поверхность, ограничивающую область смешения. Внешние силы действуют только на основания этой цилиндрической поверхности и их равнодействующая равна ( - ), 2 р 1 где - площадь поперечного сечения широкой трубы. Согласно теоре 2 ме импульсов имеем: Изменения импульса на основаниях контрольной поверхности равны Соответственно

dmu 1/dt = 2 u 2 u 1 и dmu 2/dt = 2 u 2 u 2. Следовательно, 2 (р2 – р1) = 2 u 2 (u 1 – u 2) и (р2 – р1) = u 2 (u 1 – u 2). Если бы труба расширялась не внезапно, а постепенно, то согласно уравнению Бернулли мы бы имели (р’ 2 – р1) = 0, 5 (u 21 – u 22). Следовательно, внезапное расширение трубы приводит к необратимой потере давления, равной (р’ 2 – р2) = 0, 5 (u 1 – u 2)2 Из теоретической механики известно, что именно такой формулой выражается потеря кинетической энергии при неупругом ударе двух твердых тел. Поэтому эти потери давления часто называют потерями на удар. Если воспользоваться понятием коэффициента местного сопротивления, то мы получим выражения и где - коэффициент Кориолиса, появление которого связано с тем, что формулы выводились для потока с плоским профилем скорости. Полученные формулы для коэффициента сопротивления называются формулами Борда. Карно. Они иллюстрируют возможность простого решения сложной задачи. Эта формула широко используется для оценки местных сопротивлений.

Потери давления в местных сопротивлениях при больших числах Re При больших числах Re коэффициент Кориолиса близок к единице. Покажем теперь, что формула потерь на удар может быть использована и для других местных сопротивлений. Рассмотрим задачу более общего типа. В первом приближении потери напора при проходе через диафрагму можно представить как сумму потерь на сжатие и внезапное расширение. Будем использовать скоростной напор в базовом сечении . Диафрагма в трубе постоянного сечения Внезапное уменьшение сечения трубы Основным условием применения использованных формул является определение коэффициента сжатия струи . К счастью эта величина оказывается достаточно консервативной и в большинстве случаев находится в интервале 0. 59… 0. 61

Поворот Зависимость ζкол от угла δ Отвод Потеря напора в отводе при R/d >1 определится как Сравнивая коэффициенты сопротивления для двух случаев, видим, какая большая разница имеет место. Поэтому сглаживание поворотов является одним из важных действий по снижению потерь давления. Для больших диаметров труб это сегментирование и установка лопаток.

Оформление поворотов трубопроводов с помощью сегментирования и установки системы направляющих лопаток.

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ТРУБОПРОВОДОВ Основные задачи: либо определение пропускной способности (расхода), либо потери напора на том или ином участке, равно как и на всей длине, либо диаметра трубопровода при заданном расходе и потерях напора. В практике трубопроводы делятся на короткие и длинные. К первым относятся все трубопроводы, в которых местные потери напора превышают 5… 10% потерь напора по длине. При расчетах таких трубопроводов обязательно учитывают потери напора в местных сопротивлениях. Ко вторым относятся трубопроводы, в которых местные потери меньше 5… 10% потерь напора по длине. Их расчет ведется без учета местных потерь. Это, например, магистральные водоводы, нефтепроводы, и. т. д. Учитывая гидравлическую схему работы длинных трубопроводов, их можно разделить также на простые и сложные. Простыми называются последовательно соединенные трубопроводы одного или различных сечений, не имеющих никаких ответвлений. К сложным трубопроводам относятся системы труб с одним или несколькими ответвлениями, параллельными ветвями и т. д. Простой трубопровод постоянного сечения Трубопровод расположен произвольно в пространстве имеет длину l и диаметр d, а также содержит местные сопротивления (вентиль, фильтр и обратный клапан). В начальном сечении 1 -1 геометрическая высота равна z 1 и избыточное давление Р 1, а в конечном сечении 2 -2 - соответственно z 2 и Р 2. Скорость потока в этих сечениях вследствие постоянства диаметра трубы одинакова и равна ν.

Уравнение Бернулли для сечений 1 -1 и 2 -2 поскольку скорость в обоих сечениях одинакова и α 1 = α 2, то скоростной напор можно не учитывать. При этом получим * или Пьезометрическую высоту в левой части уравнения*, назовем потребным напором Нпотр. Если высота задана, то ее называют располагаемым напором Нрасп. Он складывается из геометрической высоты Hпотр, на которую поднимается жидкость, пьезометрической высоты в конце трубопровода и суммы всех потерь напора в трубопроводе. Сумма первых двух слагаемых - статический напор, который можно представить как некоторую эквивалентную геометрическую высоту а последнее слагаемое Σh - как степенную функцию расхода и Hпотр = Hст +KQm Σh = KQm

где K - сопротивление трубопровода; Q - расход жидкости; m - показатель степени, зависящий от режима течения. В графической форме уравнения выглядят так Чем больше расход Q, который необходимо обеспечить, тем больше требуется потребный напор Нпотр. При ламинарном течении эта кривая изображается прямой линией (а), при турбубулентном – квадратичной параболой (б). б а Крутизна кривых потребного напора зависит от сопротивления трубопровода K. Величина статического напора Нст положительна в том случае, когда жидкость движется вверх или в точку с повышенным давлением, и отрицательна при движении в точку с пониженным давлением. Точка пересечения кривой потребного напора с осью абсцисс (точка А) определяет расход при движении жидкости самотеком. Потребный напор в этом случае равен нулю. Сложные трубопроводы Сложный трубопровод в общем случае составлен из простых трубопроводов с последовательным и параллельным их соединением или с разветвлениями и может быть рассчитан, если известны размеры магистралей и всех ветвей (простых трубопроводов), заданы все местные сопротивления, а также геометрические высоты конечных точек и избыточные давления в конечных точках

Расчет сложных трубопроводов часто выполняют графоаналитическим способом, т. е. с применением кривых потребного напора и характеристик трубопроводов. Кривую потребного напора для сложного трубопровода строится следующим образом: 1) сложный трубопровод разбивают на ряд простых; 2) строят кривые потребных напоров для каждого из простых трубопроводов; 3) складывают кривые потребных напоров для ветвей (и параллельных линий, если они имеются) по правилу сложения характеристик параллельных трубопроводов; 4) полученную кривую складывают с характеристикой последовательно присоединенного трубопровода по соответствующим правилам Таким образом, при расчете идут от конечных точек трубопровода к начальной точке, т. е. против течения жидкости.

Напорные характеристики насоса и трубопровода Перекачивание жидкости из нижнего резервуара с давлением P 0 в верхний резервуар с давлением P 3 Высота расположения оси насоса H 1 называется геометрической высотой всасывания, а трубопровод, по которому жидкость поступает к насосу, всасывающим трубопроводом Высота H 2 называется геометрической высотой нагнетания, а трубопровод, идущий от насоса, напорным

Гидравлический удар - резкое повышение давления, возникающее в напорном трубопроводе при внезапном торможении потока. Он характеризуется чередованием резких повышений и понижений давления, которое связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода. Гидравлический удар в основном возникает при резком открытии или закрытии арматуры. Рассмотрим следующую схему. В конце трубы, по которой движется жидкость со скоростью υ0, произведено мгновенное закрытие крана (а). При этом скорость жидких объемов, натолкнувшихся на кран, будет погашена, а их кинетическая энергия перейдет в работу деформации стенок трубы и самой жидкости соответствии Рост давления на величину ΔPуд. ( ударное давление). стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается Скачок давления в сечении n - n, называют ударной волной. Ударная волна распространяется вправо со скоростью с. После перемещения волны до резервуара скачок давления распространится на всю длину трубы (б).

Под действием ΔPуд жидкость устремятся из трубы в резервуар через сечение, непосредственно прилегающее к резервуару. Теперь сечение n-n перемещает-ся обратно со скоростью c, оставляя за собой выровненное давление P 0 (в). Жидкость и стенки трубы возвращаются к прежнему состоянию, при давлении P 0. Работа деформации полностью переходит в кинетическую энергию, и жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость υ0, но направленную теперь в противоположную теперь сторону (г). С этой скоростью весь объем жидкости стремится оторваться от крана и возникает отрицательная ударная волна под давлением P 0 - ΔPуд, которая направляется от крана к резервуару со скоростью c, оставляя за собой сжавшиеся стенки трубы и расширившуюся жидкость. Кинетическая энергия жидкости переходит в работу деформаций, но противоположного знака. (д). Состояние трубы в момент прихода отрицательной ударной волны к резервуару показано на рис. (е). На рис. (ж), показан процесс выравнивания давления в трубе и резервуаре, сопровождающийся возникновением движения жидкости со скоростью υ0. Как только отраженная от резервуара ударная волна под давлением ΔP уд достигнет крана, возникнет ситуация, имевшая место в момент закрытия крана и цикл гидравлического удара повторится. На самом деле будет иметь место затухание колебаний давления за счет потерь энергии на преодоление сил трения и ухода в резервуар.

Если давление P 0 невелико (P 0 < ΔP уд), то картина изменения амплитуды другая Повышение давления при гидравлическом ударе можно определить по формуле Жуковского ΔPуд = ρυ0 c, а скорость с по формуле где r - радиус трубопровода; E - модуль упругости материала - трубы; δ - толщина стенки трубы; K - объемный модуль упругости Если предположить, что труба имеет абсолютно жесткие стенки, т. е. E = , то скорость ударной волны определится из выражения Для воды эта скорость равна 1435 м/с, Непрямой гидравлический удар В зависимости от соотношения фазы удара Т и времени закрытия затвора гидравлические удары разделяют на прямые ( ) и непрямые ( ). При непрямом гидравлическом ударе в момент возвращения ударной волны через неперекрытую часть сечения затвора успевает пройти некоторый расход со средней скоростью V. Это приводит к уменьшению роста давления при гидравлическом ударе, и формула Н. Жуковского принимает вид

Способы борьбы с гидравлическим ударом. При внезапной остановке насоса за счет разности напора остановившегося насоса и напора в трубопроводе жидкость начнет двигаться по нему в сторону насоса. В результате этого в трубопроводе возникнет гидравлический удар. Направление движения гидроудара будет идти от области повышенного давления (напорный водовод) к области пониженного давления (насос). Повышение давления перед насосом может привести к выходу его из строя в результате деформации и разрушения его деталей. Для предотвращения отрицательного воздействия гидравлического удара на работу насоса перед ним устанавливают обратные клапаны или предохранительные клапаны. При резком повышении давления обратный клапан перекрывает сечение трубопровода и в результате возможно его разрушение. Предохранительные клапаны автоматически отключаются при возникновении в трубопроводе избыточного давления, соответствующего настройке клапана, и через клапан произойдет истечение жидкости. После снижения давления в трубопроводе клапан закрывается. Для обеспечения безаварийной и надежной работы трубопровода при проводятся специальные противоударные технические мероприятия. 1. При непрямом ударе повышение давления меньше, чем при прямом, поэтому необходимо увеличивать время срабатывания задвижек и других запорных устройств в сравнении со временем фазы гидравлического удара. 2. Применяются предохранительные клапаны и гасители гидравлического удара различного типа. На характер гидравлического удара большое влияние оказывает наличие воздуха в повышенных сечениях профиля водовода. Для выпуска защемленного воздуха, устанавливаются воздушные колпаки (вантузы).

Истечение из отверстий 1. Истечение в атмосферу (свободное истечение) 2. Истечение под уровень (затопленная струя) Малое отверстие d 0, 1 H d< 0, 1 H – бодьшое Толстая стенка b 3 d b < 3 d – тонкая Насадок – короткий патрубок, присоединенный к отверстию того же диаметра Свободное истечение (малое отверстие в тонкой стенке. Cжатое сечение расположено приблизительно на половине диаметра d. (2 – 2). При сжатии струи форма ее поперечного сечения меняется, отклоняясь от правильной. После сжатого сечения течение считается установившимся и к нему можно применять уравнение Бернулли.

Скорость истечения жидкости через такое отверстие φ- коэффициент скорости где α - коэффициент Кориолиса; ζ- коэффициент сопротивления отверстия. Расход жидкости определяется как произведение действительной скорости истечения на фактическую площадь сечения: Произведение ε и φ обозначается буквой. μ и называется коэффициентом расхода, т. е. μ = εφ.

Зависимость ε, φ и. μ от числа Reu , построенного по идеальному значению скорости. Несовершенное сжатие струи Несовершенное сжатие наблюдается в том случае, когда на истечение жидкости через отверстие и на формирование струи оказывает влияние близость боковых стенок резервуара

Истечение под уровень (затопленная струя) Здесь мы получим те же расчетные формулы, что и при истечении в воздух (газ), только расчетный напор Н в данном случае будет равен разности гидростатических напоров по обе стороны стенки. Скорость и расход жидкости в данном случае не зависят от абсолютной высоты расположения отверстия. Два варианта истечения жидкости через насадок

Водосливы Водослив – это явление перелива воды через преграду, установленную на ее пути. Перелив может происходить через стенку 1 или через отверстие или вырез в ней. Область потока перед водосливом - верхний бьеф (УВБ), а за ним – нижний бьеф (УНБ). Верхняя Водослив с тонкой стенкой кромка водослива называется гребнем, а превышение УВБ над гребнем –геометрическим напором Н. Глубина в нижнем бьефе – бытовая глубина hб. Если изменение уровня в нижнем бьефе не влияет на Н, водослив называется свободным (неподтопленным). При увеличении hб до hбп происходит подтопление водослива. Свободная поверхность при этом показан пунктиром. Такой водослив называется подтопленным. hп называется глубиной подтопления. Водослив с тонкой стенкой чаще всего используется для измерения расхода или стабилизации уровня в резервуарах. Стенка называется тонкой, если толщина ее <0. 5 H или она имеет острую кромку.

Водослив с широким порогом имеет толщину стенки <2 H. Та-кие водосливы применяют для водозабора и водосброса Подтопленный водослив с широким порогом Водосливы практического профиля имеют толщину стенки в пределах =(0. 5. . 2)H. Их применяют как водопропускные сооружения при малых расходах воды и как гасители энергии, а также служат водосливными плотинвми в гидроузлах. Здесь изображен безвакуумный водослив, повторяющий форму нижней поверхности струи. Водослив практического профиля

Расход воды через неподтопленные водосливы определяется по общей формуле. где b - ширина водослива; m - коэффициент расхода, зависящий от параметров водослива; H 0 - полный напор на водосливе с учетом скорости подхода потока - коэффициент Кориолиса; v - скорость потока в верхнем бьефе Стандартные водосливы широко применяются для измерения расхода в открытых каналах. Наиболее точным инструментом замеров является треугольный водослив

Концепция пограничного слоя Выше были рассмотрено условие прилипания, удовлетворение которого необходимо для описания движения вязкой жидкости. В результате около поверхности твердого тела образуется тонкий слой заторможенной жидкости, в пределах которого скорость изменяется от нуля на поверхности тела до скорости невозмущённого потока вдали от поверхности. Этот слой жидкости Л. Прандтль (1904 г. ) назвал гидродинамическим пограничным слоем. Вне этого слоя справедливы уравнения идеальной жидкости, о которых упоминалось выше. Простейшим приложением разработанной Л. Прандтлем теории является продольное обтекание тонкой пластины. Рассмотрим процесс обтекания пластины вязкой жидкостью. Начиная от передней кромки реализуется условие прилипания и формируется пограничный слой. С увели-чением расстояния x от передней кромки пластины (рис. ) толщина пограничного слоя δ увеличивается, поскольку единственным источником энергии, компенсирующим потери на преодоление вязкого трения является кинетическая энергия потока, которая постепенно падает при движения жидкости вдоль тела и влияние вязкости распространяется в глубину невозмущённого потока