Скачать презентацию Гетероскедастичность Лекция 6 ВАВТ 2010 Эконометрика 1 Скачать презентацию Гетероскедастичность Лекция 6 ВАВТ 2010 Эконометрика 1

06.Гетероскедастичность04_2010.ppt

  • Количество слайдов: 34

Гетероскедастичность Лекция 6 ВАВТ 2010 Эконометрика 1 / 33 Гетероскедастичность Лекция 6 ВАВТ 2010 Эконометрика 1 / 33

Гетероскедастичность 1. Природа гетероскедастичности 2. Последствия гетероскедастичности 3. Выявление гетероскедастичности (тесты) 4. Средства для Гетероскедастичность 1. Природа гетероскедастичности 2. Последствия гетероскедастичности 3. Выявление гетероскедастичности (тесты) 4. Средства для решения проблемы (преодоление) гетероскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 2 / 33

Классические условия регрессионного анализа (условия Гаусса-Маркова) I. Регрессионная модель линейна по параметрам (коэффициентам) и Классические условия регрессионного анализа (условия Гаусса-Маркова) I. Регрессионная модель линейна по параметрам (коэффициентам) и корректно специфицирована. II. Все объясняющие переменные являются детерминированными, но достаточно вариабельными. III. Случайные возмущения имеют нулевое среднее. IV. Случайные возмущения имеют постоянную дисперсию. V. Случайные возмущения не коррелируют друг с другом. VI. Ни одна из объясняющих переменных не является строгой линейной функцией других объясняющих переменных. VII. Случайные возмущения распределены нормально (необязательное, но часто используемое условие). ВАВТ 2010 Эконометрика 3 / 33

Формальное выражение НЕнарушенного условия IV. Дисперсия случайного члена постоянна – НЕ зависит от номера Формальное выражение НЕнарушенного условия IV. Дисперсия случайного члена постоянна – НЕ зависит от номера наблюдения Модель гомоскедастичная ВАВТ 2010 Эконометрика 4 / 33

Формальное выражение нарушенного условия IV. Дисперсия случайного члена НЕпостоянна – зависит от номера наблюдения Формальное выражение нарушенного условия IV. Дисперсия случайного члена НЕпостоянна – зависит от номера наблюдения Модель гетероскедастичная ВАВТ 2010 Эконометрика 5 / 33

Формальное выражение НЕнарушен. НЫХ услов. ИЙ В матричной форме эти условия Гаусса-Маркова (о дисперсии Формальное выражение НЕнарушен. НЫХ услов. ИЙ В матричной форме эти условия Гаусса-Маркова (о дисперсии и автоковариациях возмущений) можно записать следующим образом где а ВАВТ 2010 En – ковариационная матрица ошибок, – единичная матрица размера n. Эконометрика 6 / 33

Формальное выражение гетероскедастичности в матричной форме где а ВАВТ 2010 En – ковариационная матрица Формальное выражение гетероскедастичности в матричной форме где а ВАВТ 2010 En – ковариационная матрица ошибок, – единичная матрица размера n. Эконометрика 7 / 33

Ковариационная матрица случайных возмущений В ней на главной диагонали стоят дисперсии случайных возмущений для Ковариационная матрица случайных возмущений В ней на главной диагонали стоят дисперсии случайных возмущений для каждого i, а остальные элементы этой матрицы – это ковариации для каждой пары i и j. Разумеется, матрица симметрична Кроме того, напомним, что ВАВТ 2010 Эконометрика 8 / 33

Пример гомоскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 9 / 33 Пример гомоскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 9 / 33

Пример гетероскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 10 / 33 Пример гетероскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 10 / 33

Еще пример гетероскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 11 / 33 Еще пример гетероскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 11 / 33

Основной объект проявления гетероскедастичности Пространственные выборки (cross-section series) Чаще гетероскедастичность возникает в моделях, основанных Основной объект проявления гетероскедастичности Пространственные выборки (cross-section series) Чаще гетероскедастичность возникает в моделях, основанных на перекрестных выборках, но встречается и во временных рядах. ТИПИЧНЫЕ “БОЛЕЗНИ”: временные ряды – автокорреляция перекрестные выборки – гетероскедастичность ВАВТ 2010 Эконометрика 12 / 33

Гетероскедастичность в пространственных выборках Источники гетероскедастичности-1 1) Гетероскедастичность возникает часто в пространственных выборках если Гетероскедастичность в пространственных выборках Источники гетероскедастичности-1 1) Гетероскедастичность возникает часто в пространственных выборках если масштаб изменений зависимой переменной Y зависит от какой-то другой переменной, называемой фактором пропорциональности (Z). ВАВТ 2010 Эконометрика 14 / 33

Гетероскедастичность во временных рядах Источники гетероскедастичности-2 2) Гетероскедастичность возникает также и во временных рядах, Гетероскедастичность во временных рядах Источники гетероскедастичности-2 2) Гетероскедастичность возникает также и во временных рядах, когда зависимая переменная имеет большой интервал существенно неоднородных значений или высокий темп изменения. ВАВТ 2010 Эконометрика 15 / 33

Гетероскедастичность в неоднородных выборках Источники гетероскедастичности-3 3) Гетероскедастичность возникает в любой модели в случае Гетероскедастичность в неоднородных выборках Источники гетероскедастичности-3 3) Гетероскедастичность возникает в любой модели в случае если качество данных варьирует внутри выборки. ВАВТ 2010 Эконометрика 16 / 33

Источники гетероскедастичности Наиболее распространенный случай истинной гетероскедастичности: дисперсия Y растет с ростом одного из Источники гетероскедастичности Наиболее распространенный случай истинной гетероскедастичности: дисперсия Y растет с ростом одного из факторов дисперсия Y не зависит от Z ВАВТ 2010 дисперсия Y растет с ростом Z Эконометрика 17 / 33

Мы будем рассматривать только гетероскедастичность простейшего вида Z – фактор пропорциональности (переменная, включенная или Мы будем рассматривать только гетероскедастичность простейшего вида Z – фактор пропорциональности (переменная, включенная или не включенная в уравнение регрессии) ВАВТ 2010 Эконометрика 18 / 33

Последствия гетероскедастичности 1. Истинная гетероскедастичность не приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии. 2. Гетероскедастичность Последствия гетероскедастичности 1. Истинная гетероскедастичность не приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии. 2. Гетероскедастичность увеличивает дисперсию (т. е. ошибки) оценок коэффициентов. 3. Гетероскедастичность вызывает занижение оценок стандартных ошибок коэффициентов регрессии. ВАВТ 2010 Эконометрика 19 / 33

Последствия гетероскедастичности-2 1. Иначе говоря, оценки коэффициентов регрессии классическим методом наименьших квадратов в случае Последствия гетероскедастичности-2 1. Иначе говоря, оценки коэффициентов регрессии классическим методом наименьших квадратов в случае гетероскедастичности также являются несмещенными и состоятельными. 2. Таким образом, для определения прогнозных значений зависимой переменной Y обычный МНК применим и для гетероскедастичной модели. 3. Однако результаты, связанные с анализом точности и надежности модели, оценкой значимости и построением доверительных интервалов ее коэффициентов, оказываются непригодными. 4. В этом случае оценки коэффициентов не будут эффективными (дисперсия не минимальна), и при небольших выборках можно подучить оценки, существенно отличающиеся от истинных значений. ВАВТ 2010 Эконометрика 21 / 33

Обнаружение гетероскедастичности Предварительная работа 1. Подумать, нет ли очевидных ошибок в спецификации модели? 2. Обнаружение гетероскедастичности Предварительная работа 1. Подумать, нет ли очевидных ошибок в спецификации модели? 2. Можно ли содержательно предполагать какой -то вид гетероскедастичности? 3. Рассмотреть графики зависимости зависимой переменной Y от X-ов. 4. Рассмотреть графики зависимости квадратов остатков ei от и от X-ов. ВАВТ 2010 Эконометрика 23 / 33

Обнаружение гетероскедастичности Тесты на гетероскедастичность 1. Тест Голдфельда-Куандта (Goldfeld – Quandt test) 2. Тест Обнаружение гетероскедастичности Тесты на гетероскедастичность 1. Тест Голдфельда-Куандта (Goldfeld – Quandt test) 2. Тест Бреуша-Пагана (Breusch – Pagan test) 3. Тест Уайта (White test) 4. Тест ранговой корреляции Спирмена. ВАВТ 2010 Эконометрика 24 / 33

Отличия применения тестов на гетероскедастичность Голдфельда-Куандта и Бреуша-Пагана Кто «виноват» в гетероскедастичности? • Тест Отличия применения тестов на гетероскедастичность Голдфельда-Куандта и Бреуша-Пагана Кто «виноват» в гетероскедастичности? • Тест Голдфельда-Куандта применяется, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибок от величины некоторой объясняющей переменной, входящей в модель. • Тест Бреуша-Пагана применяется в тех случаях, когда предполагается, что дисперсии зависят от некоторых дополнительных переменных, не включенных в модель. ВАВТ 2010 Эконометрика 25 / 33

Тест Голдфельда-Куандта 1. Выбирается фактор пропорциональности Z (один из X-ов, включенных в модель). Данные Тест Голдфельда-Куандта 1. Выбирается фактор пропорциональности Z (один из X-ов, включенных в модель). Данные упорядочиваются в порядке возрастания величины Z. 2. Выбрасывается средняя четверть d упорядоченных наблюдений. Для первой и последней части строятся две отдельные регрессии, используя спецификацию первоначального уравнения. 3. Берутся суммы квадратов остатков ESS 1 и ESS 2 для регрессий по первой и последней части выборки и рассчитывается отношение большей из них к меньшей (количество наблюдений в них m одинаково). 4. Используется F-тест для проверки гипотезы гомоскедастичности: если величина GQ превышает критическое значение F c m – k – 1 степенями свободы и для числителя, и для знаменателя (k – число факторов), то гипотеза гомоскедастичности отвергается. ВАВТ 2010 Эконометрика 26 / 33

Тест Бреуша – Пагана (кратко) 1. Провести обычную регрессию и получить остатки (на множестве Тест Бреуша – Пагана (кратко) 1. Провести обычную регрессию и получить остатки (на множестве факторов без Z – «подозреваемого» X ). При этом получают оценку 2. Вычислить квадраты этих остатков и построить вторую регрессию , найти для нее объясненную часть вариации RSS. 3. Вычислить статистику 4. Использовать тест (RSS из второй регрессии!) (хи-квадрат) для проверки гипотезы гомоскедастичности: если величина BP превышает критическое значение c p степенями свободы (p – число переменных, от которых по предположению зависит. Здесь p = 1), то гипотеза гомоскедастичности отвергается. ВАВТ 2010 Эконометрика 28 / 33

Тест Уайта применяется, когда предполагается, что дисперсии ошибок представляют собой одну и ту же Тест Уайта применяется, когда предполагается, что дисперсии ошибок представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений независимых переменных. Чаще всего – квадратичную. 1. Провести обычную регрессию и получить остатки (на множестве исходных независимых переменных). Вычислить квадраты этих остатков и приписать к матрице данных. 2. Приписать к матрице данных квадраты исходных независимых переменных (и, возможно, их попарные произведения). 3. Построить вторую регрессию квадратов остатков от расширенного множества регрессоров (исходных факторов и их квадратов) (b 0 = 0). 4. Для проверки гипотезы гомоскедастичности использовать значимость в целом уравнения второй регрессии : если уравнение второй регрессии в целом значимо, то гипотеза гомоскедастичности отвергается. ВАВТ 2010 Эконометрика 29 / 33

Что делать при обнаружении гетероскедастичности 1. Использовать взвешенный метод наименьших квадратов - WLS. 2. Что делать при обнаружении гетероскедастичности 1. Использовать взвешенный метод наименьших квадратов - WLS. 2. Переопределить переменные (например, перейти к логарифмам). 3. Вычислять стандартные ошибки с поправкой на гетероскедастичность (метод Уайта) - LS(h). 4. Пересмотреть спецификацию модели. При ложной гетероскедастичности добавить в модель отсутствующую переменную. ВАВТ 2010 Эконометрика 31 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-1 Пусть имеется модель регрессии И дисперсия случайных возмущений зависит от Взвешенный метод наименьших квадратов-1 Пусть имеется модель регрессии И дисперсия случайных возмущений зависит от номера наблюдения В случае «чистой» гетероскедастичности ковариационная матрица случайных возмущений имеет диагональный вид То есть случайные возмущения имеют разные дисперсии при каждом i, и при этом попарно независимы между собой. ВАВТ 2010 Эконометрика 33 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-2 Итак, имеем модель Дисперсия случайных возмущений зависит от номера наблюдения Взвешенный метод наименьших квадратов-2 Итак, имеем модель Дисперсия случайных возмущений зависит от номера наблюдения 1. Случай. Эти разные дисперсии известны. Поделим на каждое i-е уравнение Обозначим Тогда можно записать ВАВТ 2010 Эконометрика 35 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-3 Для новой модели и дисперсия случайных возмущений уже НЕ зависит Взвешенный метод наименьших квадратов-3 Для новой модели и дисперсия случайных возмущений уже НЕ зависит от номера наблюдения Действительно, и теперь можно применять теорему Гаусса-Маркова. В новой модели нет свободного члена, а теперь служит коэффициентом при добавленном искусственном факторе ВАВТ 2010 Эконометрика 36 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-4 Напомним, что в новой модели Поэтому такая модель называется взвешенной, Взвешенный метод наименьших квадратов-4 Напомним, что в новой модели Поэтому такая модель называется взвешенной, так как в ней каждое i-e наблюдение умножается на При этом, мы автоматически придаем наибольший вес наиболее точным наблюдениям, т. е. наблюдениям с наименьшей дисперсией ВАВТ 2010 Эконометрика 37 / 33

Взвешенный и обобщенный МНК В этом случае можно сказать, что взвешенный МНК – – Взвешенный и обобщенный МНК В этом случае можно сказать, что взвешенный МНК – – это обобщенный МНК, примененный к модели с гетероскедостичностью, т. е. определение оценок коэффициентов регрессии по формуле когда ковариационная матрица случайных возмущений является диагональной ВАВТ 2010 Эконометрика 38 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-5 Пусть исходная модель регрессии та же и дисперсия случайных возмущений Взвешенный метод наименьших квадратов-5 Пусть исходная модель регрессии та же и дисперсия случайных возмущений по-прежнему зависит от номера наблюдения, но теперь 2. Случай. Эти разные дисперсии НЕизвестны. Но предположим, что они пропорциональны одному из показателей, например, z Делим теперь на : Теперь ВАВТ 2010 Эконометрика 39 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-6 Снова модель можно записать И снова можно показать, что дисперсия Взвешенный метод наименьших квадратов-6 Снова модель можно записать И снова можно показать, что дисперсия случайных возмущений уже НЕ зависит от номера наблюдения Действительно, если , то и теперь опять можно применять теорему Гаусса-Маркова. ВАВТ 2010 Эконометрика 40 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-7 3. Случай. Пусть по-прежнему эти разные дисперсии НЕизвестны. Но предположим, Взвешенный метод наименьших квадратов-7 3. Случай. Пусть по-прежнему эти разные дисперсии НЕизвестны. Но предположим, что все наблюдения можно разделить на две части: первые m и последние n – m, и в каждой части наблюдений дисперсия случайных возмущений постоянна Строим общую модель обычным методом наименьших квадратов и, получив остатки , определяем оценки дисперсий для каждой части отдельно Корректируем обе части наблюдений, деля на свою дисперсию. ВАВТ 2010 Эконометрика 42 / 33