Гетероскедастичность Лекция 6 ВАВТ 2010 Эконометрика 1

Гетероскедастичность Лекция 6 ВАВТ 2010 Эконометрика 1 / 33

Гетероскедастичность 1. Природа гетероскедастичности 2. Последствия гетероскедастичности 3. Выявление гетероскедастичности (тесты) 4. Средства для решения проблемы (преодоление) гетероскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 2 / 33

Классические условия регрессионного анализа (условия Гаусса-Маркова) I. Регрессионная модель линейна по параметрам (коэффициентам) и корректно специфицирована. II. Все объясняющие переменные являются детерминированными, но достаточно вариабельными. III. Случайные возмущения имеют нулевое среднее. IV. Случайные возмущения имеют постоянную дисперсию. V. Случайные возмущения не коррелируют друг с другом. VI. Ни одна из объясняющих переменных не является строгой линейной функцией других объясняющих переменных. VII. Случайные возмущения распределены нормально (необязательное, но часто используемое условие). ВАВТ 2010 Эконометрика 3 / 33

Формальное выражение НЕнарушенного условия IV. Дисперсия случайного члена постоянна – НЕ зависит от номера наблюдения Модель гомоскедастичная ВАВТ 2010 Эконометрика 4 / 33

Формальное выражение нарушенного условия IV. Дисперсия случайного члена НЕпостоянна – зависит от номера наблюдения Модель гетероскедастичная ВАВТ 2010 Эконометрика 5 / 33

Формальное выражение НЕнарушен. НЫХ услов. ИЙ В матричной форме эти условия Гаусса-Маркова (о дисперсии и автоковариациях возмущений) можно записать следующим образом где а ВАВТ 2010 En – ковариационная матрица ошибок, – единичная матрица размера n. Эконометрика 6 / 33

Формальное выражение гетероскедастичности в матричной форме где а ВАВТ 2010 En – ковариационная матрица ошибок, – единичная матрица размера n. Эконометрика 7 / 33

Ковариационная матрица случайных возмущений В ней на главной диагонали стоят дисперсии случайных возмущений для каждого i, а остальные элементы этой матрицы – это ковариации для каждой пары i и j. Разумеется, матрица симметрична Кроме того, напомним, что ВАВТ 2010 Эконометрика 8 / 33

Пример гомоскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 9 / 33

Пример гетероскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 10 / 33

Еще пример гетероскедастичности ВАВТ 2010 Эконометрика 11 / 33

Основной объект проявления гетероскедастичности Пространственные выборки (cross-section series) Чаще гетероскедастичность возникает в моделях, основанных на перекрестных выборках, но встречается и во временных рядах. ТИПИЧНЫЕ “БОЛЕЗНИ”: временные ряды – автокорреляция перекрестные выборки – гетероскедастичность ВАВТ 2010 Эконометрика 12 / 33

Гетероскедастичность в пространственных выборках Источники гетероскедастичности-1 1) Гетероскедастичность возникает часто в пространственных выборках если масштаб изменений зависимой переменной Y зависит от какой-то другой переменной, называемой фактором пропорциональности (Z). ВАВТ 2010 Эконометрика 14 / 33

Гетероскедастичность во временных рядах Источники гетероскедастичности-2 2) Гетероскедастичность возникает также и во временных рядах, когда зависимая переменная имеет большой интервал существенно неоднородных значений или высокий темп изменения. ВАВТ 2010 Эконометрика 15 / 33

Гетероскедастичность в неоднородных выборках Источники гетероскедастичности-3 3) Гетероскедастичность возникает в любой модели в случае если качество данных варьирует внутри выборки. ВАВТ 2010 Эконометрика 16 / 33

Источники гетероскедастичности Наиболее распространенный случай истинной гетероскедастичности: дисперсия Y растет с ростом одного из факторов дисперсия Y не зависит от Z ВАВТ 2010 дисперсия Y растет с ростом Z Эконометрика 17 / 33

Мы будем рассматривать только гетероскедастичность простейшего вида Z – фактор пропорциональности (переменная, включенная или не включенная в уравнение регрессии) ВАВТ 2010 Эконометрика 18 / 33

Последствия гетероскедастичности 1. Истинная гетероскедастичность не приводит к смещению оценок коэффициентов регрессии. 2. Гетероскедастичность увеличивает дисперсию (т. е. ошибки) оценок коэффициентов. 3. Гетероскедастичность вызывает занижение оценок стандартных ошибок коэффициентов регрессии. ВАВТ 2010 Эконометрика 19 / 33

Последствия гетероскедастичности-2 1. Иначе говоря, оценки коэффициентов регрессии классическим методом наименьших квадратов в случае гетероскедастичности также являются несмещенными и состоятельными. 2. Таким образом, для определения прогнозных значений зависимой переменной Y обычный МНК применим и для гетероскедастичной модели. 3. Однако результаты, связанные с анализом точности и надежности модели, оценкой значимости и построением доверительных интервалов ее коэффициентов, оказываются непригодными. 4. В этом случае оценки коэффициентов не будут эффективными (дисперсия не минимальна), и при небольших выборках можно подучить оценки, существенно отличающиеся от истинных значений. ВАВТ 2010 Эконометрика 21 / 33

Обнаружение гетероскедастичности Предварительная работа 1. Подумать, нет ли очевидных ошибок в спецификации модели? 2. Можно ли содержательно предполагать какой -то вид гетероскедастичности? 3. Рассмотреть графики зависимости зависимой переменной Y от X-ов. 4. Рассмотреть графики зависимости квадратов остатков ei от и от X-ов. ВАВТ 2010 Эконометрика 23 / 33

Обнаружение гетероскедастичности Тесты на гетероскедастичность 1. Тест Голдфельда-Куандта (Goldfeld – Quandt test) 2. Тест Бреуша-Пагана (Breusch – Pagan test) 3. Тест Уайта (White test) 4. Тест ранговой корреляции Спирмена. ВАВТ 2010 Эконометрика 24 / 33

Отличия применения тестов на гетероскедастичность Голдфельда-Куандта и Бреуша-Пагана Кто «виноват» в гетероскедастичности? • Тест Голдфельда-Куандта применяется, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибок от величины некоторой объясняющей переменной, входящей в модель. • Тест Бреуша-Пагана применяется в тех случаях, когда предполагается, что дисперсии зависят от некоторых дополнительных переменных, не включенных в модель. ВАВТ 2010 Эконометрика 25 / 33

Тест Голдфельда-Куандта 1. Выбирается фактор пропорциональности Z (один из X-ов, включенных в модель). Данные упорядочиваются в порядке возрастания величины Z. 2. Выбрасывается средняя четверть d упорядоченных наблюдений. Для первой и последней части строятся две отдельные регрессии, используя спецификацию первоначального уравнения. 3. Берутся суммы квадратов остатков ESS 1 и ESS 2 для регрессий по первой и последней части выборки и рассчитывается отношение большей из них к меньшей (количество наблюдений в них m одинаково). 4. Используется F-тест для проверки гипотезы гомоскедастичности: если величина GQ превышает критическое значение F c m – k – 1 степенями свободы и для числителя, и для знаменателя (k – число факторов), то гипотеза гомоскедастичности отвергается. ВАВТ 2010 Эконометрика 26 / 33

Тест Бреуша – Пагана (кратко) 1. Провести обычную регрессию и получить остатки (на множестве факторов без Z – «подозреваемого» X ). При этом получают оценку 2. Вычислить квадраты этих остатков и построить вторую регрессию , найти для нее объясненную часть вариации RSS. 3. Вычислить статистику 4. Использовать тест (RSS из второй регрессии!) (хи-квадрат) для проверки гипотезы гомоскедастичности: если величина BP превышает критическое значение c p степенями свободы (p – число переменных, от которых по предположению зависит. Здесь p = 1), то гипотеза гомоскедастичности отвергается. ВАВТ 2010 Эконометрика 28 / 33

Тест Уайта применяется, когда предполагается, что дисперсии ошибок представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений независимых переменных. Чаще всего – квадратичную. 1. Провести обычную регрессию и получить остатки (на множестве исходных независимых переменных). Вычислить квадраты этих остатков и приписать к матрице данных. 2. Приписать к матрице данных квадраты исходных независимых переменных (и, возможно, их попарные произведения). 3. Построить вторую регрессию квадратов остатков от расширенного множества регрессоров (исходных факторов и их квадратов) (b 0 = 0). 4. Для проверки гипотезы гомоскедастичности использовать значимость в целом уравнения второй регрессии : если уравнение второй регрессии в целом значимо, то гипотеза гомоскедастичности отвергается. ВАВТ 2010 Эконометрика 29 / 33

Что делать при обнаружении гетероскедастичности 1. Использовать взвешенный метод наименьших квадратов - WLS. 2. Переопределить переменные (например, перейти к логарифмам). 3. Вычислять стандартные ошибки с поправкой на гетероскедастичность (метод Уайта) - LS(h). 4. Пересмотреть спецификацию модели. При ложной гетероскедастичности добавить в модель отсутствующую переменную. ВАВТ 2010 Эконометрика 31 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-1 Пусть имеется модель регрессии И дисперсия случайных возмущений зависит от номера наблюдения В случае «чистой» гетероскедастичности ковариационная матрица случайных возмущений имеет диагональный вид То есть случайные возмущения имеют разные дисперсии при каждом i, и при этом попарно независимы между собой. ВАВТ 2010 Эконометрика 33 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-2 Итак, имеем модель Дисперсия случайных возмущений зависит от номера наблюдения 1. Случай. Эти разные дисперсии известны. Поделим на каждое i-е уравнение Обозначим Тогда можно записать ВАВТ 2010 Эконометрика 35 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-3 Для новой модели и дисперсия случайных возмущений уже НЕ зависит от номера наблюдения Действительно, и теперь можно применять теорему Гаусса-Маркова. В новой модели нет свободного члена, а теперь служит коэффициентом при добавленном искусственном факторе ВАВТ 2010 Эконометрика 36 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-4 Напомним, что в новой модели Поэтому такая модель называется взвешенной, так как в ней каждое i-e наблюдение умножается на При этом, мы автоматически придаем наибольший вес наиболее точным наблюдениям, т. е. наблюдениям с наименьшей дисперсией ВАВТ 2010 Эконометрика 37 / 33

Взвешенный и обобщенный МНК В этом случае можно сказать, что взвешенный МНК – – это обобщенный МНК, примененный к модели с гетероскедостичностью, т. е. определение оценок коэффициентов регрессии по формуле когда ковариационная матрица случайных возмущений является диагональной ВАВТ 2010 Эконометрика 38 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-5 Пусть исходная модель регрессии та же и дисперсия случайных возмущений по-прежнему зависит от номера наблюдения, но теперь 2. Случай. Эти разные дисперсии НЕизвестны. Но предположим, что они пропорциональны одному из показателей, например, z Делим теперь на : Теперь ВАВТ 2010 Эконометрика 39 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-6 Снова модель можно записать И снова можно показать, что дисперсия случайных возмущений уже НЕ зависит от номера наблюдения Действительно, если , то и теперь опять можно применять теорему Гаусса-Маркова. ВАВТ 2010 Эконометрика 40 / 33

Взвешенный метод наименьших квадратов-7 3. Случай. Пусть по-прежнему эти разные дисперсии НЕизвестны. Но предположим, что все наблюдения можно разделить на две части: первые m и последние n – m, и в каждой части наблюдений дисперсия случайных возмущений постоянна Строим общую модель обычным методом наименьших квадратов и, получив остатки , определяем оценки дисперсий для каждой части отдельно Корректируем обе части наблюдений, деля на свою дисперсию. ВАВТ 2010 Эконометрика 42 / 33