Геометрия Лобачевского
Геометрия Лобачевского • Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям и образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.
• Через точку P, не лежащую на данной прямой R, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние x, y, которые и называются параллельными прямой R в смысле Лобачевского. В моделях Пуанкаре они изображаются хордами, имеющими с хордой (дугой) R общий конец (который по определению модели исключается, так что эти прямые не имеют общих точек). Угол θ между перпендикуляром PB из P на R и каждой из параллельных (называемый углом параллельности) по мере удаления точки P от прямой убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть непосредственно). Параллель x с одной стороны (а y с противоположной) асимптотически приближается, а с другой — бесконечно от неё удаляется.
• Для точки, находящейся от заданной прямой на расстоянии PB = a, Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(a): Здесь q — некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского. Она может служить абсолютной единицей длины аналогично тому, как в сферической геометрии особое положение занимает радиус сферы. Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.
• В геометрии Лобачевского не существует подобных, но не равных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. • Сумма углов всякого треугольника меньше π и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность δ = π − (α + β + γ), где α, β, γ — углы треугольника, пропорциональна его площади: Из формулы видно, что существует максимальная площадь треугольника, и это конечное число: πq 2.
• Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом. • Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом. • Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность — предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии. • Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растёт быстрее. В частности, в геометрии Лобачевского число π не может быть определено как отношение длины окружности к её диаметру.
• Чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать, что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Например, чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от π; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2π, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом смысле «предельный» случай геометрии Лобачевского.
Приложения геометрии Лобачевского • Сам Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определённых интегралов. • В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который писал, что «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи» . • Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел» .
Приложения геометрии Лобачевского Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света при делении на t 2, то есть для скорости света, даёт — уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей» ). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, так как они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, то есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.
Приложения геометрии Лобачевского • Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается возможным, что при определённых условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось. • При помощи модели Клейна, даётся очень простое и короткое доказательство теоремы о бабочке в евклидовой геометрии.
Приложения геометрии Лобачевского • Таким образом, «воображаемая» геометрия оказалась весьма действенным инструментом в разрешении проблем реального мира. • Нельзя также забывать, что появление неевклидовых геометрий сыграло важную роль в борьбе материалистической философии с идеалистической трактовкой пространства и времени и широко распространенной и XIX в. философии И. Канта. • Кант полагал, что пространство и время не являются объективными формами существования материи, а проявляются лишь как формы нашего воззрения ли мир, как формы нашего восприятия. • Причем евклидова геометрия это единственная мыслимая геометрия, всем нам непосредственно очевидная, поскольку она порождена характером нашего воззрения на мир.
Приложения геометрии Лобачевского • Появление новой геометрии — геометрии Лобачевского — отчетливо поставило вопрос об эксперименте, чтобы выяснить, какая из систем геометрии реализуется в физическом пространстве. Таким образом, объективная сущность пространства была отчетливо выявлена, а идеалистическая, трактовка этого вопроса Кантом опровергнута. • Напряженная многолетняя деятельность Николая Ивановича Лобачевского, вдохновленного своим высоким идеалом ученого, отдающего все силы развитию науки и просвещения, принесла замечательные результаты. И если его научные идеи не были поняты современниками (так, ни один из его учеников не продолжил его геометрических исследований), то впоследствии они утвердили его ими как имя борца и революционера в науке, чьи смелые идеи, нарушили казавшиеся незыблемыми тысячелетние устои и во многом предопределили дальнейшее развитие математических наук.
Контрольные вопросы 1. Что служит основой в геометрии Лобачевского? a) Теория параллельных b) Абсолютная геометрия c) Аксиомы Евклида
Контрольные вопросы 1. Евклидова геометрия – «предельный случай » геометрии Лобачевского – a) все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям (Евклида и Лобачевского) 2. Абсолютная геометрия – это … b) гиперцикл 3. Линия равных расстояний от прямой c) безграничное увеличение единицы длины 4. Предел окружностей бесконечно d) орицикл увеличивающегося радиуса
Контрольные вопросы • Какие приложения в других сферах деятельности нашла геометрия Лобачевского? (хотя бы 4 примера)
Скачать презентацию Геометрия Лобачевского Геометрия Лобачевского Лобачевский строил
Геометрия Лобачевского.ppt