Геометрия глава 4 Соотношения между сторонами и углами

Геометрия глава 4 Соотношения между сторонами и углами треугольника.

План. 1) Сумма углов треугольника 1) 2) 3) 4) 5) Теорема о сумме углов треугольника Внешний угол треугольника Теорема о внешнем угле треугольника Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники Задачи 2) Соотношение между сторонами и углами треугольника 1) 2) 3) Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника Неравенство треугольника. Задачи. 3) Прямоугольные треугольники. 1) 2) 3) Некоторые свойства прямоугольного треугольника Признаки равенства прямоугольного треугольника Задачи

§ 1 Сумма углов треугольника.

Сумма углов треугольника равна 1800.

Дано: Доказательство: ABC 4+ 2+ 5 = 1800 1 и 4 –накрест лежащие 3 и 5 –накрест лежащие 1+ 2+ 3 = 1800 Док-ть: A+ B+ C=1800 3 + B+ 1 = 1800 = 5, C = 4 A B a 4 5 2 А 1 3 C

Внешним углом треугольника называется угол смежный с какимнибудь углом этого треугольника. 2 1 3 4

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Дано: Доказательство: ABC 4+ 3 = 1800 Док-ть: 1+ 2+ 3 = 1800 4= 1+ 2 B 2 A 1 3 4 C

В треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а один прямой или тупой. Остроугольный Прямоугольный Тупоугольный Катет уза ен т по Ги Катет

Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 600

Доказательство: Дано: 1= 2= 3 1+ 2+ 3=1800 ABC – Р/с Док-ть: 1= 2= 3=600 1= 2= 3=1800: 3=600 B 2 A 1 3 C

Внешний угол, проведённый к основанию равнобедренного треугольника, равен 1150. Найдите все углы треугольника.

Дано: Ответ: Решение: ABC – Р/б 4=1150 1= 3 2=18000 1 + 3) 1=65 -( 2) 3) 1) 4 и 3 - смежные 2=500 -650*2 2=1800 1=650 3=650 0 0 2=50 3=1800 -115 =650 Найти: 1, 2, 3 B 2 A 1 3 4 C

§ 2 Соотношения между сторонами и углами треугольника.

В треуголльнике против большей стороны лежит больший угол. против большего угла лежит большая сторона.

Дано: ABC AB>AC Доказательство: Пусть AD=AC 1= 2 B< 2 C> 1 Док-ть: C> B 1 2 D C> B

Дано: ABC C> B Док-ть: Доказательство: Пусть АВ не > АС C= B C< B AB=AC ABAC C A B

1)В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета 2)Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство: Дано: 1= 2 ABD> 1 ABD> 2 AB

Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой справедливы неравенства: AB

В равнобедренном треугольнике с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольнике АОС –равнобедренный.

Дано: ABC – Р/б АО, СО - биссектрисы Док-ть: BOC – Р/б Доказательство: А= С BOC – Р/б ОАС=0, 5 A ОСА=0, 5 С ОСА= OAC B O A C

§ 3 Прямоугольные треугольники.

10. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900 20. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300 равен половине гиппотенузы 20. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гиппотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Если катет и прилежащий к нему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Доказательство: Дано: ABC – п/у A 1 B 1 C 1 – п/у АВ=А 1 В 1 В= В 1 (90 - )= (90 - ) = A= A 1 АВС= А 1 В 1 С 1 Док-ть: АВС= B А 1 В 1 С 1 B 1 A C C 1 A 1

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гиппотенузе и катету другого прямугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Доказательство: A 1 B 1 C 1 – п/у АВ=А 1 В 1 ВС=В 1 С 1 С= С 1 ВС=В 1 С 1 А 1 В 1 А 2–равнобедренный НО! А 1 ≠ А 2 ABC – п/у Док-ть: АВС= B 1 Наложим треугольник АВС на треугольник А 1 В 1 С 1 B АВС= А 1 В 1 С 1 0 C 1 0 A 1 A 2 C A

Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику А 1 В 1 С 1, если угол А равен углу А 1, угол В равен углу В 1 и высота ВН треугольника АВС равна высоте В 1 Н 1 треугольника А 1 В 1 С 1

Доказательство: Дано: ABC A 1 B 1 C 1 ВН, В 1 Н 1—высоты ВН=В 1 Н 1 А= А 1 В= В 1 ВН=В 1 Н 1 А= А 1 АВС= А 1 В 1 С 1 АВН= АВ=А 1 В 1 Док-ть: АВС= В А Н А 1 В 1 С 1 С А 1 В 1 Н А 1 В 1 Н 1 C