Геометрия Билет 28 Михайлов Филипп 9 -4

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Геометрия. Билет № 28 Михайлов Филипп 9 -4

1. Теорема Стюарта Формулировка теоремы Стюарта: Если точка D лежит на прямой BC, то для любой точки А имеет место равенство: А B C D

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Введем прямоугольную систему координат с началом в точке С. Тогда точка С имеет координаты (0; 0). Следовательно: - точка В имеет координаты (b; 0), - точка D имеет координаты (d; 0), - точка A имеет координаты (x; y), где b, d, x, y – некоторые числа. x B (b; 0) C (0; 0) А (x; y) D (d; 0) y

Принимая во внимание: - что, длина отрезка, лежащего на оси координат, равна модулю разности координат его концов, - теорему Пифагора, применительно к длине вектора и расстоянию между точками имеем: AС²=x²+y²; AB²=(x-b)²+y²; AD²=(x-d)²+y²; DВ=b-d; СD=d; СB=b. x B (b; 0) C (0; 0) А (x; y) D (d; 0) y

Следовательно: AС²*DВ+AВ²*СD-AD²*СB=(x²+y²)*(b-d) + [(x-b)²+y²]*d – [(x-d)²+y²]*b Раскрывая скобки и работая с подобными слагаемыми получаем: AС²*DВ+AВ²*СD-AD²*СB = b*d*(b-d) Но произведение СB*СD*DВ тоже равно b*d*(b-d), Что и Требовалось Доказать.

2. Формула Брахмагупты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон. Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон a, b, c, d и полупериметр p = (a + b + c + d) / 2 , то его площадь равна является общим случаем формулы Герона для треугольников. c b a d

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Если угол D четырёхугольника ABCD обозначить буквой φ, то, поскольку сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна π, угол B будет равен π – φ. По этой причине: Следовательно:

Применяя теорему косинусов к треугольнику ACD, получаем: AС² = a² + b² - 2 ab cos φ. Применяя теорему косинусов к треугольнику ABC, получаем: AС² = c² + d² - 2 cd cos (π – φ) = c² + d² + 2 cd cos φ. Следовательно,

Далее, проводим алгебраические действия: Таким образом, Что и Требовалось Доказать.

Скачать презентацию Геометрия Билет 28 Михайлов Филипп 9 -4

Геометрия- 28 билет.pptx

Количество слайдов: 9