Геометрия, 9 класс ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ ПЛОЩАДЬ

Геометрия, 9 класс

ПОВТОРЕНИЕ ПО ТЕМЕ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Формулы площади треугольника • S=1/2 ab, где а, в — катеты прямоугольного треугольника • S= 1/2 ah , где а — основание треугольника, h — высота • S= р-полупериметр, а, в, с-стороны треугольника

Теорема о площади треугольника • Дано: ABC, BC=a, CA=b, S- площадь треугольника. Доказать : S=1/2 absin. C Док-во: S=1/2 ah, h=bsin. C. Сл. S=1/2 absin.

S — ? В А С 8 630 S = 12 о

В D С 120 А BD = 6 , AC = 10 S — ? S =

А B C D 64 60 о S — ? S =

В DС 135 А AC = 1 2 S — ? S = 36 2 о

В DС 120 А BD = 10, ВC = 5 CD — ? CD = 5 о

А B C D 84 60 о ВН — ? ВК — ? Н К ВН = 2 ВК =

А В СН 4 660 о ВС = 2 7 АН — ? АН =

ТЕОРЕМА СИНУСОВ Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов

Дано: АВС Доказать: А В С BAC ABC CАВ sinsinsin

Доказательство: S ABC = (1) S ABC = (2) S ABC = (3) А В С BBCAB sin 21 СBCA С sin 21 AACAB sin

Приравняем равенства (1) и (2), получим = Сократим на , получим = BBCAB sin 21 СBCAСsin 2 1 BC 2 1 BAВsin. СAСsin BAC CАВ sinsin

Приравняем равенства (2) и (3), получим = Сократим на , получим = ААCAB sin 21 СBCAСsin 2 1 АC 2 1 АAВsin. СВСsin АВC CАВ sinsin

Объединив равенства BAC CАВ sinsin АВC CАВ sinsin И получим BAC ABC CАВ sinsinsin ЧТД

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Дано: АВС Доказать: Abccbacos

А С В(bcos. A; bsin. A)у х (с; 0)

Доказательство: Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, АС = b. Введем систему координат с началом в точке А. Тогда В (с; 0), С (bcos. A; bsin. A). Найдем расстояние ВС: ВС = а = (bcos. A – c) + b sin A = b cos A + b sin A — 2 bc cos. A + c = b + c — 2 bc cos. A 22 222 ЧТД