Геометрия 11 класс Цилиндр Конус. Шар и

Геометрия 11 класс

Цилиндр Конус. Шар и сфера Тела вращения. Содержание Левый клик по названию раздела

Тело вращения – это пространственная фигура, полученная вращением плоской ограниченной области вместе со своей границей вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Определение тела вращения Содержан ие

Задание 1) Приведите примеры из окружающего мира тел, похожих на тело полученное вращением треугольника вокруг оси, содержащей его сторону: Содержан ие

Цилиндр Содержан ие Зададим две параллельные плоскости α и . В плоскости α расположим окружность некоторого радиуса. Если из каждой точки окружности провести взаимно параллельные прямые пресекающие плоскость , то в плоскости получится окружность такого же радиуса. Отрезки прямых, заключенных между параллельными плоскостями образуют в этом случае цилиндрическую поверхность. Цилиндр – это тело, заключенное между двумя кругами расположенными в параллельных плоскостях и цилиндрической поверхностью. α

Цилиндр Содержан ие Цилиндр – это тело, которое описывает прямоугольник при вращении около оси, содержащей его сторону. Верхний и нижний круги – это основания цилиндра. Прямая проходящая через центры кругов – это ось цилиндра. Отрезок параллельный оси цилиндра, концы которого лежат на окружностях основания – это образующая цилиндра. Радиус основания — это радиус цилиндра. Высота цилиндра — это перпендикуляр между основаниями цилиндра.

Виды цилиндров Содержан ие Прямой круговой Прямой некруговой Наклонный круговой Замечание: В школьном курсе геометрии по умолчанию рассматривается прямой круговой цилиндрпарабола

Сечения цилиндра Содержан ие Осевое сечение: Плоскость сечения содержит ось цилиндра и перпендикулярна основаниям. В сечении – Замечание: Секущая плоскость может располагаться по-разному, рассмотрим некоторые виды сечений. Сечение плоскостью параллельной оси цилиндра Плоскость сечения параллельна оси цилиндра и перпендикулярна основаниям. В сечении – Сечение плоскостью параллельной основанию цилиндра Плоскость сечения параллельна основаниям цилиндра и перпендикулярна оси. В сечении – прямоугольн ик. кру г.

Площадь поверхности цилиндра Содержан ие Для вывода формулы площади полной поверхности цилиндра потребуется развертка цилиндра. S полн = 2 R(R + h) прямоугольн ик. Боковая поверхность цилиндра есть … Полная поверхность состоит из 2 оснований и боковой поверхности. Площадь основания находим как площадь круга S = R 2 R – радиус основания цилиндра Одна сторона прямоугольника – это высота цилиндра ( h ) , другая – длина окружности основания ( 2 R ). Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению сторон прямоугольника. Получаем, S полн = S бок + 2 S осн = 2 Rh + 2 R 22 RR h R

Решение устных задач с цилиндром Содержан ие 1)Во сколько раз увеличится боковая поверхность цилиндра, если его высота увеличится в 5 раз, а радиус основания останется прежним? Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 5 раз. S бок = 2 Rh R 5 h R h S бок = 2 R 5 h = 10 Rh 2) Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания увеличится в 2 раза, а высота останется прежней? R h 2 R h S бок = 2 Rh S бок = 2 2 Rh = 4 Rh Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 2 раза.

Решение устных задач с цилиндром Содержан ие 3) Осевые сечения двух цилиндров равны. Равны ли высоты этих цилиндров? Ответ: нет S сеч = 2 R·h h 4) Стороны прямоугольника равны 4 см и 5 см. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении этого прямоугольника вокруг меньшей стороны. 5 см R =5 см, h =4 см S полн = 2 R ( h + R )= 2 · 5 · (4 + 5) =90 Ответ: площадь полной поверхности равна 90 см 2 h 2 R 2 R S сеч = h· 2 R 4 с м

Конус Содержан ие Зададим плоскость α и точку С вне этой плоскости. В плоскости α расположим окружность некоторого радиуса. Проведем прямые проходящие через точку С и все точки окружности. Поверхность, образованная отрезками с концами на окружности и в точке С образуют коническую поверхность. Конус – это тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, включая окружность. αС

Содержан ие Конус – это тело, которое описывает прямоугольный треугольник при вращении вокруг оси, содержащей его катет. Круг – это основание конуса. Прямая проходящая через центр круга и вершину конуса – есть ось конуса. Отрезок соединяющий вершину с любой точкой окружности основания – это образующая конуса. Радиус основания — это радиус конуса. Высота конуса — это перпендикуляр, опущенный из вершины конуса к основанию. Конус Точка вне круга с которой соединяются все точки окружности – это вершина конуса. Замечание: так как ось перпендикулярна основанию и проходит через вершину, то высота конуса лежит на его оси.

Содержан ие. Конические сечения 1) Если плоскость пересекает все образующие конической поверхности, то в сечении получается эллипс. 2) Если плоскость сечения параллельна одной из образующих, то в сечении получается парабола. 3) Если плоскость сечения пересекает обе полости конической поверхности, то в сечении получается гипербола.

Сечения конуса Содержан ие Осевое сечение. Плоскость сечения содержит ось конуса и перпендикулярна основанию. В сечении – Сечение плоскостью параллельной основанию конуса. Плоскость сечения параллельна основанию конуса и перпендикулярна оси. В сечении – равнобедренный треугольник. круг.

Площадь поверхности конуса Содержан ие Для вывода формулы площади полной поверхности конуса потребуется его развертка. S полн = R(l + R) сектор. Боковая поверхность конуса есть … Полная поверхность состоит из основания и боковой поверхности. Площадь основания находим как площадь круга S = R 2 R – радиус основания цилиндра Площадь боковой поверхности вычисляется как площадь сектора радиус которого равен длине образующей конуса ( l ), а дуга равна длине окружности основания ( 2 R ). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению радиуса на образующую и число . Получаем, S полн = S бок + S осн = Rl + R 2 l l R 2 R R Подробнее о площади сектора

Решение устных задач с конусом Содержан ие 1)Во сколько раз увеличится боковая поверхность конуса, если его образующая увеличится вдвое, а радиус основания одновременно увеличится в 3 раза? Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 6 раз. S бок = Rl. R l S бок = 3 R 2 l = 6 Rl 2) Вычислите площадь боковой и полной поверхностей конуса, длина образующей которого равна 10 см, а радиус основания 3 см. S осн = R 2 = · 3 2 = 9 (см 2 ) S полн = 39 (см 2 ) Ответ: 30 см 2 , 39 см 23 R 2 l S бок = 3· 10 = 30 (см 2 )

Определение шара Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от заданной точки. Шар можно получить вращением полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Содержан ие Эта точка называется центром шара. Расстояние от центра шара до любой точки поверхности называется – радиусом шара Сфера – это поверхность все точки которой равноудалены от заданной точки.

Сечения шара Содержан ие Сечение шара, проходящее через его центр. В сечении – Сечение плоскостью, не проходящей через центр. В сечении – круг. В этом случае в сечении получается круг наибольшего радиуса, его называют большой круг шара. круг. Теорема: Площадь поверхности шара равна четыре площади большого круга шара. S = 4 R

Взаимное расположение сферы и плоскости d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы d < R Плоскость пересекает сферу и называется секущей Содержан иеz y x R r r – радиус сечения сферы Вычислить радиус сечения можно используя теорему Пифагора. 22 d. Rr d

Взаимное расположение сферы и плоскости d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы d = R Плоскость имеет одну общую точку со сферой и называется касательной Содержан иеz y x Теорема: Радиус сферы проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. R 0 22 d. R

Взаимное расположение сферы и плоскости d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы d > R Плоскость не имеет общих точек со сферой. Содержан иеz y x 0 22 d. R

Решение задач Содержан ие 1)Вычислить площадь поверхности шара изображенного на рисунке. R = ОА, Найдем ОА из АСО. S = 4 R 2 30 6 О С А OA CA Acos A CA OA cos 34 2 3 : 6 30 cos 6 OA 192)34(4 2 S Ответ: S = 192 ед

Литература • Атанасян Л. С. , Бутузов В. Ф. , Кадомцев С. Б. и др. Геометрия, 10 -11: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М. : Просвещение, 2010. • Бевз Г. П. и др. Геометрия: Учеб. для 7 -11 кл. общеобразоват. учреждений. – М. : Просвещение, 1994. • Глейзер Г. Д. Геометрия: Учеб. пособие для 10 -12 кл. веч. (смен. ) шк. и самообразования. – М. : Просвещение, 1989. • Клопский В. М. , Скопец З. А. , Ягодовский М. И. Геометрия: Учеб. пособие для 9 и 10 классов. – М. : Просвещение, 1980.

Интернет ресурс • О географической широте • Географические координаты • Изображение сечений моделей цилиндра • Изображение тел вращения • Юла • Волчок • Игрушка • Изображение тора • Колокольчик • Песочные часы • Картинка для титульного слайда • Паровой котел • Рассеченный конус • Картинка с сечениями • Планета Земля • Космический корабль