GEOMETRIE Freiformflächen mit Microstation Andreas Asperl Stefan Leopoldseder

GEOMETRIE Freiformflächen mit Microstation Andreas Asperl, Stefan Leopoldseder Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie TU Wien zahlreiche Figuren mit freundlicher Genehmigung von Helmut Pottmann und Michael Hofer Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 1

GEOMETRIE Kurzfassung: Bézier-Kurven Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 2

Bézier Kurven: Algorithmus von de Casteljau GEOMETRIE • Bézier-Kurven sind die einfachsten Freiformkurven und sind in fast allen CAD-Paketen standardmäßig enthalten. b 2 b 11 b 02 b 12 b 03 de Casteljau-Schema: b 01 b 21 b 0 b 1 b 2 b 3 b 11 b 2 b 3 b 01 1 Wien, 18. Nov. 2004 b 02 b 1 2 b 0 0 3 b 0 t 1 www. geometrie. tuwien. ac. at 3

Mathematische Beschreibung einer Bézier-Kurve GEOMETRIE Bézier-Kurve mit n+1 Kontrollpunkten b 0, …, bn (Grad n): b 0 n(t) = wobei … Bernstein Polynome Bézier-Kurve mit 4 Kontrollpunkten b 0, …, b 3: b 03(t) = (1 - t)3 b 0 + 3(1 - t)2 t b 1 + 3(1 - t) t 2 b 2 + t 3 b 3 Bézier-Kurve mit 3 Kontrollpunkten b 0, b 1, b 2: b 02(t) = (1 - t)2 b 0 + 2(1 - t) t b 1 + t 2 b 2 Bézier-Kurve mit 2 Kontrollpunkten b 0, b 1: b 01(t) = (1 - t) b 0 + t b 1 Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 4

GEOMETRIE Bézier-Flächen Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 5

Bézier-Flächen GEOMETRIE • Bézier-Flächen vom Grad (m, n) werden durch ein Netz von Kontrollpunkten bi, j bestimmt, 0<=i<=m, 0<=j<=n. • Parametrisierung einer Bézier-Fläche: Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 6

Bézier-Flächen GEOMETRIE • Zur Konstruktion eines Flächenpunktes einer (m, n) Bézier. Fläche: • Jede der m+1 ´Zeilen´ (verbinden jeweils n+1 Punkte mit festem Index i) als Kontrollpolygone auffassen und zum selben Teilverhältnis Kurvenpunkte konstruieren. • Dies liefert m+1 Punkte, welche die Kontrollpunkte einer Bézier-Kurve m-ten Grades sind, die ganz auf der Fläche liegt. Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 7

Bézier-Flächen GEOMETRIE • Auf einer Bézier-Fläche vom Grad (m, n) liegt eine Schar von Bézier-Kurven vom Grad m, sowie eine Schar von Bézier-Kurven vom Grad n, die ganz auf der Fläche liegen. Bézier-Kurven, Grad m=3 Bézier-Kurven, Grad n=2 Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 8

Bézier-Flächen GEOMETRIE • Randkurven eines Bézier-Flächenstücks sind Bézier -Kurven • Eckpunkte des Kontrollnetzes sind Punkte des zugehörigen Bézier-Flächenstücks Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 9

Bézier-Regelflächen GEOMETRIE Da eine Bézier-Kurve ersten Grades eine geradlinige Strecke ist, ist eine Bézier. Fläche vom Grad (1, n) oder (m, 1) ein Regelflächenstück. Sind bei einer Bézier-Fläche vom Grad (1, n) die n+1 Spaltenstrecken parallel, so erhält man ein Stück einer Zylinderfläche, das von den Bézier-Kurven zu den Randpolygonen des Netzes begrenzt wird. Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 10

HP-Fläche als Bézier-Fläche GEOMETRIE B 1 , 0 B 0 , 0 Wien, 18. Nov. 2004 • Eine Bézierfläche vom Grad (1, 1) ist eine HPFläche • Eine Bézier-Fläche vom Grad (1, 1) ist durch 4 B 0 , 1 Kontrollpunkte B 0, 0, B 0, 1, B 1, 0, B 1, 1 gegeben, welche zu einem Kontrollvierseit verbunden werden • Falls dieses Vierseit nicht in einer Ebene liegt, ist die Bézier-Fläche das HPFlächenstück mit dem B 1 , 1 Kontrollvierseit als Erzeugendenvierseit www. geometrie. tuwien. ac. at 11

HP-Fläche als (2, 2)-Bézier-Fläche GEOMETRIE B 1, 2 B 1, 0 B 1, 1 B 2, 2 B 2, 0 B 0, 0 B 2, 1 B 0, 1 Wien, 18. Nov. 2004 • Eine HP-Fläche entsteht auch durch das Verschieben einer Parabel p längs einer Parabel q (p, q mit parallelen Achsenrichtungen, gegengleich geöffnet) • Eine HP-Fläche kann also auch als Bézier-Fläche vom Grad (2, 2) modelliert werden. B 0, 2 • Analog kann auch ein elliptisches Paraboloid so erzeugt werden. • Achtung: Eine Bézierfläche vom Grad (2, 2) ist im allg. keine Quadrik! www. geometrie. tuwien. ac. at 12

Abwickelbarkeit von Bézier-Regelflächen GEOMETRIE Eine Erzeugende heisst torsal, wenn längs der gesamten Erzeugenden dieselbe Tangentialebene berührt. Das Regelflächenstück ist abwickelbar (ohne Verzerrungen in die Ebene abbildbar) genau dann, wenn alle Erzeugenden torsal sind. torsale Erzeugende nichttorsale Erzeugende Wien, 18. Nov. 2004 Das Modellieren einer abwickelbaren Regelflächen durch Bézier-Flächen ist sehr komplex. Es gelten nichtlineare Nebenbedingungen an die Position der Kontrollpunkte. Mit Ausnahme von Zylinder- und Kegelflächen sind abwickelbare Freiformflächen in CAD Paketen nicht enthalten. www. geometrie. tuwien. ac. at 13

GEOMETRIE Kurzfassung B-Spline-Kurven Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 14

Grad und Kontrollpunkte von Splines GEOMETRIE • Splines sind Kurven, welche aus mehreren Kurvenstücken niedrigen Grades zusammen gesetzt sind. • Der Grad der Bezier. Segmente heißt Grad der Splinekurve. • Die Kontrollpunkte des Splines sind oft von den Kontrollpunkten der Beziersegmente verschieden. Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 15

Grad und Kontrollpunkte von B-Spline-Kurven GEOMETRIE • kubische B-Spline-Kurve – mit B-Spline Kontrollpolygon di – mit Kontrollpolygonen der kubischen Béziersegmente d 1 d 2 d 5 d 0 d 3 Wien, 18. Nov. 2004 d 4 www. geometrie. tuwien. ac. at 16

B-Spline-Kurven, NURBS GEOMETRIE B-Spline-Kurven wurden ins Computer Aided Design von J. Ferguson (1964) bei Boeingeführt. In CAD-Systemen taucht auch oft der Name NURBS (= Non-Uniform Rational BSplines) auf. B-Spline-Kurve Grad 2 B-Spline-Kurve Grad 3 B-Spline-Kurve Grad 7 (= Bézier) Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 17

B-Spline Kurven GEOMETRIE • B-Spline-Kurven können offen oder geschlossen sein (in CAD Paketen als Option wählbar) • Bei einer geschlossenen BSpline-Kurve (periodische BSpline-Kurve) ist das Kontrollpolygon ein geschlossenes Polygon. • Die ersten und letzten Kontrollpunkte stimmen überein. Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 18

GEOMETRIE B-Spline-Flächen Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 19

B-Spline-Flächen GEOMETRIE • Die Bézier-Methode ist zum Design komplizierterer Formen deshalb kaum geeignet, weil bei höherem Grad die Fläche die From der Eingabefigur nicht gut wiedergibt. Oft ist auch der globale Einfluss der Kontrollpunkte unerwünscht: Änderung eines einzigen Punktes beeinflusst das Flächenstück im gesamten Bereich. • In der Praxis verwendet man daher oft B-Spline-Flächen. Auf dieselbe Art wie man von Bezier-Kurven auf Bezier. Flächen erweitert, gelangt man von BSpline-Kurven auf B-Spline-Flächen Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 20

B-Spline-Flächen GEOMETRIE • Die mathematische Beschreibung einer B-Spline-Fläche basiert auf einem Vierecksnetz; dieses besitzt im allgemeinen vier Randpolygone und beschreibt demnach ein von vier Randkurven begrenztes Flächenstück • Fallen ein oder zwei Paare gegenüberliegender Randpolygone des Vierecksnetzes zusammen, so entstehen schlauchförmige bzw. torusförmige Flächen Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 21

Beispiel Verbindungstorse GEOMETRIE • Zwei (ebene oder Raum-)Kurven p und q sollen durch eine abwickelbare Fläche (Torse) verbunden werden. • Diese Fläche ist eine Regelfläche und jede Erzeugende e i verbindet jeweils zwei Kurvenpunkte pi und qi, deren Kurventangenten gemeinsam mit der Erzeugenden e in einer Ebene liegen. pi ei qi Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 22

Beispiel Verbindungstorse GEOMETRIE • In Microstation ist eine Verbindungsregelfläche implementiert: Die Kurven p und q werden parametrisiert und als B-Splinekurven p(t) und q(t) approximiert. • Danach werden die Kurvenpunkte p(ti) und q(ti) zu gleichem Parameter ti mit einer Erzeugenden verbunden. pi ei qi Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 23

GEOMETRIE Anwendungen von Freiformflächen Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 24

Freiformflächen GEOMETRIE Kunsthalle Graz; Planung: Peter Cook, Colin Fournier Preston Scott Cohen; Torus House; Old Chatham • Freiformflächen sind wegen ihrer großen Bedeutung im industriellen Design (z. B. Automobilindustrie, Schiffbau) entwickelt worden. Sie finden inzwischen auch grosses Interesse für repräsentative Architekturen • Freiformmodule findet man in allen CADSystemen Wien, 18. Nov. 2004 Frank O. Gehry; Experience Music Project www. geometrie. tuwien. ac. at 25

Freiformflächen in der Forschung GEOMETRIE • Approximation einer gegebenen Fläche durch eine B-Splinefläche. Das nichtlineare Optimierungsproblem (unbekannte Position der Kontroll-punkte) wird iterativ mit einer Newton-Methode gelöst. Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 26

Freiformflächen in der Forschung GEOMETRIE • Approximation einer gegebenen Fläche durch eine B-Spline Regelfläche vom Grad (3, 1). Die approximierende Regelfläche ist nicht abwickelbar, kann in einem nächsten Schritt aber durch eine Torse angenähert werden. Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 27

Anwendung: Reverse Engineering eines Werkstücks GEOMETRIE Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 28

Punktwolke GEOMETRIE Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 29

Polygonmodell GEOMETRIE Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 30

Digitales Flächenmodell Wien, 18. Nov. 2004 GEOMETRIE www. geometrie. tuwien. ac. at 31

CAD Modell GEOMETRIE Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 32

3 D Ausdruck GEOMETRIE Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 33

GEOMETRIE Unterteilungskurven (Subdivision curves) Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 34

Unterteilungskurven (Subdivision curves) GEOMETRIE • Grundideen der Unterteilung gehen zurück in die 40 er Jahre als G. Rahm „corner cutting“ dazu verwendete glatte Kurven zu beschreiben • Anwendungen im CAD, geometrischen Modellieren und in der Computergraphik Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 35

Chaikins Algorithmus GEOMETRIE • In jedem Iterationsschritt k=1, 2, … wird dieselbe Methode (corner cutting) angewendet • für k erhält man so eine quadratische B-Spline Kurve P 4 P 1 Q 1 P 2 R 1 R 0 Q 0 P 0 Wien, 18. Nov. 2004 R 3 Q 2 R 2 Q 3 • In jedem Iterationsschritt werden die einzelnen Zwischenstrecken bei 1/4 bzw. 3/4 geteilt. P 3 www. geometrie. tuwien. ac. at 36

Chaikins Algorithmus GEOMETRIE k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 37

GEOMETRIE Unterteilungsflächen (Subdivision surfaces) Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 38

Unterteilungsflächen (Subdivision surfaces) GEOMETRIE • Analog zum Kurvenfall wird in jedem Iterationsschritt die polygonale Flächendarstellung verfeinert, durch geeignetes Einfügen neuer Punkte • Bsp: Interpolierende Unterteilungsschemata, welche auf einer Triangulierung basieren P. Zorin Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 39

Unterteilungsflächen (Subdivision Surfaces) GEOMETRIE • Können im Gegensatz zu klassischen Freiformflächen (NURBS-Flächen, …) Flächen beliebiger Topologie darstellen • Methode: Ausgehend von einem polygonalen Netz wird dieses nach gegebenen Unterteilungsregeln verfeinert, bis man eine hinreichend glatte Fläche erhält Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 40

Unterteilungsflächen GEOMETRIE • Für Anwendungen noch wichtiger als der Kurvenfall, weil mit Unterteilungsflächen einfacher Zugang zur Modellierung komplizierter glatter Formen mit beliebiger Topologie gegeben ist Geri’s game, Pixar Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 41

Doo-Sabin-Schema GEOMETRIE • Einer der ersten Unterteilungsalgorithmen für Flächen wurde von Doo und Sabin 1978 vorgestellt • Der Algorithmus geht von einem Vierecksnetz aus, welches sodann schrittweise verfeinert wird Orginaler Würfel Wien, 18. Nov. 2004 Erste Unterteilung Zweite Unterteilung Dritte Unterteilung Fünfte Unterteilung www. geometrie. tuwien. ac. at 42

Doo-Sabin-Schema GEOMETRIE • In jeder Vierecksmasche wird der Schwerpunkt S bestimmt (liegt im Schnitt der Verbindungsgeraden gegenüberliegender Seitenmitten) • Die neu eingefügten Punkte sind die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken zwischen dem Schwerpunkt und den Ecken der Ausgangsmasche S Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 43

Doo-Sabin-Schema GEOMETRIE • Die eingefügten Punkte werden nach untenstehendem Prinzip verbunden • In einer Ecke mit Valenz k entsteht dabei ein k-Eck als Masche (vergleiche die Dreiecke im angegebenen Beispiel, welche aus Ecken mit Valenz drei entstehen) • Die alten Punkte werden nicht weiter verwendet; approximierender Algorithmus Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 44

Doo-Sabin-Schema GEOMETRIE • Aus Ecken mit Valenz k entstehen k-eckige Maschen • In diesen Maschen werden die neuen Punkte analog zu der bei den Vierecken angewandten Regel konstruiert: Man bestimmt den Schwerpunkt S und sodann die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken von S mit den Maschenecken S Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 45

Doo-Sabin-Schema GEOMETRIE • Erzeugt eine Folge von polygonalen Netzen, welche gegen eine bi-quadratische B-spline Fläche konvergieren, bis auf die Umgebung der irregulären Punkte des Ausgangsnetzes • Eine Doo-Sabin-Fläche interpoliert die Schwerpunkte der Maschen des Ausgangsnetzes Orginaler Würfel Wien, 18. Nov. 2004 Erste Unterteilung Zweite Unterteilung Dritte Unterteilung Fünfte Unterteilung www. geometrie. tuwien. ac. at 46

Beispiele zum Doo-Sabin-Schema GEOMETRIE • Man beachte die Möglichkeit der Modellierung von glatten Flächen beliebiger Topologie • Dies wäre mit B-Spline-Flächen nur durch kompliziertes Zusammenfügen von B-Spline-Patches möglich Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 47

Beispiele zum Doo-Sabin-Schema GEOMETRIE Wien, 18. Nov. 2004 www. geometrie. tuwien. ac. at 48