Геометрические характеристики плоских сечений ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Рассмотрим

Геометрические характеристики плоских сечений

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Рассмотрим поперечное сечение произвольной формы.

Выберем произвольную прямоугольную систему координат YOZ. Разобьем поперечное сечение на конечное число элементарных площадок. Выделим одну из них (∆Ai), которая имеет координаты zi, yi. Результат суммирования (интегрирования) всех площадок дает площадь поперечного сечения A. где n – число элементарных площадок.

Умножив площадь каждой площадки (∆Ai) на координату yi и просуммировав эти произведения, получим значение которое называется статическим моментом площади относительно оси z. По аналогии получим статический момент площади относительно оси y

Умножив каждую площадку (∆Ai) на квадрат координаты yi и просуммировав эти произведения, получим значение которое назовем осевым моментом инерции площади относительно оси z. По аналогии получим значение осевого площади относительно оси y. момента инерции

Умножив площадь каждой площадки (∆Ai) на квадрат расстояния i от начала координат (полюса) O и просуммировав эти произведения, получим значение полярного момента сопротивления Умножив каждую площадку (∆Ai) на свои координаты yi и zi и просуммировав эти произведения, получим значение центробежного момента инерции

СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ. ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ А Размерность характеристики – м 2 или ее производные – см 2, мм 2 и т. д. Величина A, всегда положительна. Иногда, для ее вычисления приходится прибегать к искусственному приёму. I II A = AI – AII где AI – площадь прямоугольника, AII – площадь эллипса.

СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ПЛОЩАДИ S (SУ, SZ) Размерность характеристики – м 3 или см 3, мм 3 и т. д. В зависимости от расположения сечения относительно осей координат статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Рис. 1

В соответствии с рисунком, величина Sz для площадей I, II, V – положительна, а для площадей III, IV, VI – отрицательна. Величина Sy для площадей I, IV, V – положительна, а для II, III, VI – отрицательна. Ось, относительно которой характеристика S равна нулю, называют центральной, а точку пересечения таких осей – центром тяжести сечения.

ОСЕВОЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ J (JУ; JZ) Размерность характеристики – м 4 или см 4, мм 4 и т. д. Величина J всегда положительна, т. к. при любом разбиении сечения на элементарные площадки их расстояния до координатных осей возводятся в квадрат, а суммирование произведений положительных величин дает положительный результат. По расположению сечения относительно координатных осей можно дать сравнительную оценку величины J.

В соответствии с рисунком, величина Jz 1 больше Jz, т. к. расстояние элементарных площадок до оси z 1 (y 1) больше, чем до оси z (y). По той же причине Jy > Jz

Чем дальше от оси расположено сечение, тем большее значение принимает соответствующая характеристика. Из всех параллельных осей координат характеристика минимальна относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.

ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ JP Размерность характеристики – м 4 или см 4, мм 4 и т. д. Величина Jp согласно всегда положительна. В соответствии с рисунком По определению Или полярный момент инерции относительно начала координат равен сумме осевых моментов инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через это начало координат и расположенных в плоскости сечения.

ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ JZY Размерность характеристики – м 4 или см 4, мм 4 и т. д. Величина Jzy может быть положительной, отрицательной и равной нулю в зависимости от произведения координат y и z. В соответствии с Рис. 1, величина Jzy для площадей I, V (обе координаты большинства элементарных площадок положительны), III, VI (обе координаты большинства элементарных площадок отрицательны) положительна, а для площадей II, IV (одна из координат положительна, другая отрицательна) – отрицательна.

Рассмотрим поперечное сечение, имеющее ось симметрии (ось y на рисунке). Центробежный момент этих площадок будет yzΔA+ (-z)yΔA=0. Для любой площадки, расположенной по одну сторону от оси y всегда можно выделить аналогичную площадку, находящуюся симметрично с другой стороны оси. Попарное суммирование центробежных моментов инерции таких площадок дает в результате ноль. Следовательно, если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно прямоугольной системы координат, одна из осей которой – ось симметрии, а другая – любая, ей перпендикулярная, равен нулю. Систему координат, относительно которой Jzy равен нулю, называют главной.

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ Согласно известной из курса «Теоретическая механика» теореме о равенстве момента равнодействующей силы сумме моментов составляющих сил будут иметь место равенства: Левые части выражений представляют собой согласно статические моменты Sy и Sz сечения площадью A, а координаты yc и zc центр тяжести сечения. Следовательно:

Или для сложной фигуры, которую можно разбить на конечное число простых: где Ai, zi, yi – площади и координаты центра тяжести простой фигуры, n – число простых фигур.

Порядок определения положения центра тяжести сложной фигуры: 1 Выбрать произвольную систему координат. 2 Разбить сложную фигуру на простые составляющие (площадь и координаты центров тяжести которых легко определить) и отметить центры тяжести каждой простой фигуры. 3 Вычислить площади простых фигур (Ai) и координаты их центров тяжестей (yi и zi) в выбранной по пункту 1 произвольной системе координат. 4 Вычислить по формулам (1) координаты центра тяжести сложной фигуры и отложить величины yc и zc в выбранной по пункту 1 произвольной системе координат. Примечания: При выборе произвольной системы координат желательно руководствоваться соображениями облегчения дальнейшего решения. Центр тяжести сечения, имеющего ось симметрии, находится на этой оси.

Пример Определить положение составного сечения центра тяжести

Решение. Выбираем произвольную исходную систему координат YOZ. Разбиваем фигуру на составляющие: I - прямоугольник со сторонами 4 a и 2 a; II- прямоугольник со сторонами a и 4 a. На рисунке разбиение показано штриховой линией. Вычислим площади простых фигур и координаты их центров тяжести Вычисляем координаты центра тяжести сложной фигуры

Откладываем значения yc и zc в системе координат YOZ и отмечаем центр тяжести сложной фигуры ( С ), yc и zc – центральные оси

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР Прямоугольник Разобьем сечение на элементарные площадки в виде полос и выделим одну из них.

Площадь полосы Подставим это значение в выражение для Jz Аналогично получаем

Треугольник Разобьем сечение на элементарные площадки в виде полос и выделим штриховкой одну из них. Ширина полосы by меняется в зависимости от расстояния y.

Закон изменения by установим из соотношения Или Площадь полосы

Тогда момент инерции

Круг Подсчитаем сначала полярный момент инерции круга. Для этого выделим в сечении окружностями радиуса и +d элементарное кольцо площадью • и вычислим Jp

или Учитывая что получаем для осевых моментов инерции круга выражение Для сечений, выполненных в виде прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок), Значения геометрических характеристик приведены в соответствующих сортаментах.

Зависимость между моментами инерции при переходе к параллельным осям Предположим, что моменты инерции Jy, Jzy данного сечения относительно осей y и z известны

Выберем новую систему координат Y 1 O 1 Z 1, оси которой параллельны прежним. Расстояния между осями обозначим a и b соответственно. Рассмотрим элементарную площадку d. A. Координаты ее в старой системе координат равны y и z. В новой системе они равны и Подсчитаем новые значения моментов инерции т. к.

получим аналогично

Если старая система координат была центральной (характеристики S в этом случае равны нулю), то выражения принимают вид: Из формул следует, что наименьшее значение осевые моменты инерции имеют относительно центральных осей сечения, так как величины a 2 A и b 2 A всегда положительны.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат Предположим, что известны моменты инерции Jy, Jz и Jzy сечения относительно осей y и z старой системы координат с началом в точке O

Выберем новую систему координат Y 1 Z 1 с началом в той же точке O, но повернутую на некоторый угол относительно старой. Будем считать угол положительным при повороте старой системы координат к новой против хода часовой стрелки. Рассмотрим элементарную площадку d. A с координатами y и z в старой системе координат. Определим координаты y 1 и z 1 этой же площадки в новой системе координат, выразив их через старые значения.

Подсчитаем новые значения моментов инерции или (1) Аналогично (2) Сложив между собой уравнения, получим

Следовательно, сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат постоянной. Центробежный момент инерции остается Или (3)

Главные оси и главные моменты инерции Из формул вытекает, 1) моменты инерции меняют свое значение при повороте осей на угол , т. е. являются функциями угла. Экстремальные значения осевых моментов инерции сечения называют главными, а оси, относительно которых моменты инерции экстремальны – главными осями. 2) если осевой момент инерции относительно некоторой оси максимален, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение. 3) главные оси инерции взаимно перпендикулярны.

Исследуем функцию JZ 1 на экстремум, для чего возьмем производную по углу : Найдем угол 0, на который необходимо повернуть оси y и z, чтобы они совпали с главными. Для этого приравняем нулю производную (4)

Сравнение (3) и (4) дает при = 0. Следовательно, относительно главных осей центробежный момент инерции сечения равен нулю, что отмечалось ранее. Из (4) следует (5) подставив угол 0 из (5) в (1) и (2) получим Если начало координат главных осей инерции совпадает с центром тяжести сечения, то такую систему координат называют главной центральной