Геометрические парадоксы Содержание Введение Математические

Геометрические парадоксы

Содержание § Введение; § Математические чудеса и тайны; § Математические софизмы; § В царстве смекалки; § Примеры геометрических парадоксов;

Почему в фигуре лишняя клетка?

Математические чудеса и тайны Перед нами обычная квадратная шахматная сетка из 64 клеток. Мы делаем несколько разрезов и из получившихся частей составляется прямоугольник, в котором, однако, … всего 65 клетки! Фокус? Нет, это эксперимент, основанный на математике, на свойствах фигур и чисел. И понять суть эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но точную математическую закономерность. Существует много замечательных геометрических парадоксов. Все они начинаются с разрезанием фигуры на куски и заканчиваются составлением из этих кусков новой фигуры.

Основное свойство площадей Совершено, очевидно, что если какуюлибо плоскую фигуру разрезать на несколько частей, затем, прикладывая полученные части друг к другу (но, не накладывая одну на другую), образовывая новую фигуру, то по форме новая фигура может отличаться от первоначальной, но площадь ее должна остаться прежней; ни одной квадратной единицы не может ни прибавится, ни убавиться. Это очевидное утверждение считается в геометрии одним из тех первичных основных положений, на которых строится вся теория измерения площадей. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников (Геометрия 7 -9 , автор Л. С. Атанасян) На рисунке 1 показано превращение квадрата в прямоугольник. Всегда ли возможно такое превращение?

Разрежем фигуру на части Квадрат разрезан на два равных треугольника и на две равных трапеции, длины сторон которых пока обозначены х и у, из этих частей составлен прямоугольник. Если такое превращение квадрата в прямоугольник действительно возможно, то возникает вопрос при каких х и у надо делить сторону квадрата? Попробуем установить это практически. Нарисуем квадрат в 64 клетки, пусть х =6, а у=2, разделим его на два равных треугольника и две равных трапеции. Прямоугольник составить не удалось. Выберем другие значении х. и у, например х=4, 5 и у=3, 5. Снова ни чего не выходит.

Но если мы возьмём значения х=5 и у=3 , и проделаем с ним те же действия, мы сможем получить из квадрата прямоугольник. Но площадь прямоугольника окажется равной 65 клеткам, то есть на одну клетку больше, чем площадь первоначально взятого квадрата. Судя по рисунку, длина прямоугольника должна содержать х+х+у=2*5+3=13 единиц; ширина прямоугольника х. то есть 5 единиц. Из этого следует что площадь прямоугольника содержит 5*13=65.

По той же выкройке поделим на четыре части другой квадрат со стороной 13 см. На этот раз получилось, что площадь прямоугольника меньше площади квадрата ровно на одну клетку. Площадь квадрата содержит 13*13=169 клеток, а площадь прямоугольника содержит (2 х+у)*х. (2*8+5)*8=168 клеток. Не хватает одной клетки! В чем причина? Почему в одном случаи больше на одну клетку в другом меньше?

Все действия доверены только глазу, не подкреплены доказательствами, что и привело к такому противоречию. При сложение новой фигуры не получаются сплошные прямоугольники, обязательно должны получится щели, которые незаметны для глаза, или незаметное наложение одной части на другую. Это еще раз доказывает, что все нужно теоретически обосновать. Проанализируем один из случаев, например тот, когда сторона квадрата в 64 клетки делилась на части длиной в 5 и 3 единицы. Складываем треугольник А с трапецией С и треугольник В с трапецией D, получим прямоугольник.

Но у этого прямоугольника не будит получаться точного слияния линий EFK и EHK в одну диагональ ЕК прямоугольника, так как линия EFK и EHK не прямые, а ломаные с очень небольшим изломом в точках F и H. И это факт легко доказать. Пусть М – точка, в которой пересекается сторона KL прямоугольника с продолжением стороны EF треугольника EFN. Если EFK –прямая, а не ломаная, то точка, М совпадёт с точкой К. Проверим расчётом, совпадают ли эти точки. Из подобия треугольника EFN и EML имеем соотношение ML: FN=EL: EN или ML: 3=13: 8 Отсюда ML=(13*3): 8=4, 875, в то время как KL=5 Точка М, как видите, не совпадает с вершиной К, значит, EFK, а также и ENK ломаные. Площадь прямоугольной фигуры KLEG действительно содержит 65 клеток, но в ней есть ромбовидная щёль EFKH, площадь которой как раз составляет одну клетку. Разгадка заключается в том, что точки E, F, K, H не лежат на прямой линии.

Алгебраический способ доказательства. Площадь квадрата равна . Площадь прямоугольника равна . Разность R между площадью прямоугольника и площадью квадрата равна R= Площадь квадрата и прямоугольника будут равными, если . Разделив на получим квадратное уравнение относительно : Принимая во внимание только положительные решения, имеем: Только при таком отношении частей х и у стороны квадрата при разрезании его на два равных треугольника и две равные трапеции возможно полноценное превращение квадрата в прямоугольник. При целых значениях х и у наименьшее возможная разность между площадями равна 1. Эта наименьшая разность достигается, если брать пары чисел стоящих в ряду Фибоначчи. Числа Фибоначчи- это элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, в которой каждое число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих. Эти числа ввел итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи).

Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Итальянский купец Леонардо из Пезы был самым значительным математиком европейского средневековья. В век Фибоначчи Возрождение было еще далеко, - однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией эпохи Ренессанса. Этой «репетицией» руководил Фридрих II. Он не любил рыцарские турниры, на которых сражающиеся калечили друга на потеху публике, вместо этого он культивировал гораздо менее кровавые математические соревнования (очень похожие на математические олимпиады и КВН), на котором противники обменивались не ударами мечом, а задачами. На таких турнирах и блистал Леонардо Фибоначчи. Покровительство Фридриха II позволило в 1202 году Фибоначчи выпустить научный трактат « Книга абака» . математиков стран Востока, древней Греции и Европы. Эта книга более двух столетий была основным источником математических знаний в Европе.

« Книга Абака» . В этой книге все знания того времени по арифметике и алгебре. Эта была одна из первых книг в Европе, учившая употреблять десятичную систему счисления. В своем труде Фибоначчи обобщил знания математиков стран Востока, древней Греции и Европы. Эта книга более двух столетий была основным источником математических знаний в Европе. Свою последовательность он получил как численность семейства кроликов, происходящей от одной пары, при условии, то пара ежемесячно производит новую пару. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Оказалось, что числа Фибоначчи возникают в самых различных областях жизни. У них есть красивые геометрические применения, важные приложения биологии растений. Но эта тема другой работы. Нам важны свойства этого ряда.

Одно из свойств ряда Фибоначчи Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде прямоугольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фибоначчи. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … При возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда плюс или минус единица. Приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из «первой» подпоследовательности расположенных через одно чисел Фибоначчи (2, 5, 13, . . . ) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим вдоль его диагонали просвет и как следствие кажущийся прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из «второй» подпоследовательности (3, 8, . . . ), мы получим вдоль диагонали прямоугольника перекрывание площадей и потерю одной квадратной единицы площади. Чем дальше мы продвигаемся по ряду чисел Фибоначчи, тем менее заметными становятся перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже мы спускаемся по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить парадокс даже на квадрате со стороной в две единицы. Но тогда в прямоугольнике 3 x 1 получается столь очевидное перекрывание, что эффект парадокса полностью теряется.

Теперь я знаю, откуда появилась эта лишняя клетка.

« Правильно понятая ошибка – это путь к открытию» . И. П. Павлов § Математический парадокс можно определить как истину, настолько противоречащую опыту, интуиции и здравому смысл у , что в нее трудно поверить даже после того, как мы шаг за шагом проследим все ее доказательство. § Матема тическим софизмом принято называть не менее удивительные утверждения, в доказательствах которых в отличие от доказательства парадоксов кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. В любой области математики , есть свои псевдодоказательства, свои софизмы. В них рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям. Ошибкам в геометрических доказательствах Евклид посвятил целую книгу, но до наших дней она не дошла, и нам остается лишь гадать о том, какую невосполнимую утрату понесла из-за этого элементарная математика.

Софизм (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка» ) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. § Каким бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. § Особенно часто в математических софизмах выполняются : - «запрещенные» действия ; -не учитываются условия применимость теорем, формул и правил; -рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа ; -опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидность » . § В истории развития математики роль софизмов играли существенную роль: 1) они способствовали повышению строгости математических рассуждений; 2) содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики; 3) « правильно понятая ошибка – это путь к открытию» . Роль софизмов в развитии математики сходно с той ролью, которую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. Уяснения ошибок в математических рассуждениях часто содействовала развитию математики. Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждений. Разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью чертежей. Разбор софизмов увлекателен.

Обреимов Василий Иванович Имеется немала книг, в которых собраны софизмы. В конце XIX – XX века особенно большой популярностью пользовалась книга Василия Ивановича Обреимова «Математические софизмы» . Этой книгой зачитывались. Трудно было найти гимназиста, который не читал эту книгу. Василий Иванович Обреимов собрал и обработал интересные софизмы.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОФИЗМ – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Мартин ГАРДНЕР Что касается самих софизмов, то, пожалуй, одним из первых софизмов в Древней Греции был софизм Евбулида : «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога» . § Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . . » , то вывод стал бы логически безупречным.

1. “В любой окружности хорда, не проходящая через её центр, равна её диаметру” В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению. Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ=СЕ, т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

2. “Окружность имеет два центра” Построим произвольный угол ABC и, взяв на его сторонах две произвольные точки D и Е, восстановим из них перпендикуляры к сторонам угла. Перпендикуляры эти должны пересечься (если бы они были параллельны, параллельны были бы и стороны АВ и СВ). Обозначим их точку пересечения буквой F. Через три точки D, E, F проводим окружность, что всегда возможно, так как эти три точки не лежат на одной прямой. Соединив точки Н и G(точки пересечения сторон угла ABC с окружностью) с точкой F, получим два вписанных в окружность прямых угла GDF и HEF. Итак, мы получили две хорды GF и HF, на которые опираются вписанные в окружность прямые углы GDF и HEF. Но в окружности вписанный прямой угол всегда опирается на ее диаметр, следовательно, хорды GF и HF представляют собой два диаметра, имеющие общую точку F, лежащую на окружности. Поскольку эти две хорды, являющиеся, как мы установили, диаметрами, не совпадают, то, следовательно, точки О 1 делящие отрезки GF и HF пополам, представляют собой не что иное, как два центра одной окружности.

« В царстве смекалки» . Книга Е. И. Игнатьева « В царстве смекалки» написана в начале XX века и она является одной из первых популярных книг по математике, изданных на русском языке. В своем предисловии к изданию 1908 году автор написал , что надеется, что данная книга может послужить неплохим пособием для математического саморазвития.

Яков Исидорович Перельман - Певец математики, бард физики, поэт астрономии, герольд космонавтики. В 1913 году появилась еще одна замечательная книга удивительного педагога Якова Исидоровича Перельмана «Занимательная арифметика» . Эта книга и другие его книги, популярны и сейчас. Они постоянно переиздаются, и даже есть их электронные версии. Его книги разошлись по всему свету в миллионах экземпляров. С именем этого замечательного человека связано возникновение и развитие особого – занимательного – жанра научной популяризации основ знаний. Автор более ста книг и брошюр, он обладал редким даром захватывающе интересно рассказывать о сухих научных истинах, возбуждать жгучее любопытство и любознательность – эти первые ступени самостоятельной работы ума. Именем Перельмана назван кратер на обратной стороне Луны, диаметром 95 км.

«Математическая смекалка» , « В труде, в учении, в игре, во всякой творческой деятельности нужны человеку сообразительность, находчивость, догадка, умение рассуждать – все то, что наш народ метко определил одним словом смекалка» такими словами начинается книга Б. А. Кордемского «Математическая смекалка» , которая, так же раскрывает тайну математических парадоксов. В своей книге Б. А. Кордемский отбирает задачи, которые «рассыпаны по страницам отечественной и зарубежной популярной литературы, стремясь не повторять задач, включенные в книги Я. И. Перельмана, но обращается к задачам Е. И. Игнатьева « В царстве смекалки» , The Amerikan Mathematical Monthly и др.

МАРТИН ГАРДНЕР Martin Gardner (1914)

Не верь глазам своим! Задачи из книги М. Гарднера « Математические чудеса и тайны»

§ История математики богата остроумными гипотезами, подсказанными интуицией ученых, обладавших даром математического предвидения, которые в течение столетий не удается доказать, ни опровергнуть. Когда же, наконец, появляется доказательство или опровержение, математики считают это событием первостепенной важности.

Когда мы стремимся искать неведомое нам, то становимся лучше, мужественнее и деятельнее, тех, кто полагает, будто неизвестное нельзя найти и незачем искать. ” ПЛАТОН