Генерация случайных чисел. Моделирование случайных событий

Генерация случайных чисел. Моделирование случайных событий Лекция 10

Моделирование случайных воздействий Имитационная модель позволяет исследовать поведение различных систем с учетом влияния случайных факторов. Эти факторы в зависимости от их природы могут быть отражены в модели как случайные события , случайные величины (дискретные или непрерывные) или как случайные функции (процессы). Общие методы имитации случайных воздействий на ЭВМ: 1) Формирование базовой случайной величины (CB); 2)Преобразование базовой СВ в значения случайных величин распределенных по требуемому закону. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 2 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Формирование базовой СВ В основе базовой СВ обычно используется СВ равномерно распределенная на интервале [0, 1]. Независимые случайные числа (СЧ), равномерно распределенные на интервале 0. . 1, являются основой для генерации СЧ с другими распределениями Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 3 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Требования к генераторам СЧ: 1. СЧ – независимы и равномерно распределены на интервале 0. . 1 2. Генерируется достаточное количество неповторяю- щихся СЧ – период (цикл) генератора довольно длинный 3. Последовательность СЧ воспроизводима: • Возможность повторения эксперимента для верификации (проверки) модели; • Возможность направленного эксперимента с параметрами. 4. Высокое быстродействие – для моделирования может понадобиться большое количество СВ 5. Использование малого обьема памяти. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 4 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Способы организации генераторов случайных чисел 1. Аппаратный (физический) – СЧ вырабатываются электронной приставкой – внешним устройством ЭВМ. Источник случайности – шумы в электронных приборах, радиоактивный распад и т. д. 2. Табличный (файловый) – СЧ в виде таблицы (файла, массива) помещаются во внешнюю (или оперативную) память. 3. Алгоритмический (программный) – СЧ генерируются специальными алгоритмами и реализующими их программами. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 5 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Достоинства и недостатки способов организации ГСЧ Способ Достоинства Недостатки Аппарат- • запас чисел не ограни- • требуется периодичес- ный чен; кая проверка качества; • мало операций ВС; • нельзя воспроизводить • не занимает место в па- последовательности; мяти. • используется специаль- ное устройство. Таблич- • требуется однократная • запас чисел ограничен; проверка качества; • занимает много места в ный • можно воспроизводить ОП или времени на последовательности. обращение к ВП. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 6 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Достоинства и недостатки способов организации ГСЧ Способ Достоинства Недостатки Алго- • требуется однократная • запас чисел ограничен ритми- проверка качества; периодом последовательности; ческий • можно воспроизводить • затраты машинного последовательности; времени. • мало места в памяти; • не используются внеш- ние устройства. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 7 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Алгоритмический способ организации ГСЧ Рассмотрим частный случай равномерного распределения, когда функции плотности и распределения соответственно имеют вид: В этом случае математическое ожидание М (x)=1/2, дисперсия D(x)=1/12. Это распределение требуется получить на ЭВМ. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 8 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Алгоритмический способ ГСЧ Получить такое распределение на цифровой ЭВМ невозможно, т. к. машина оперирует с n-разрядными числами. Поэтому на ЭВМ вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала [0, 1] используют дискретную последовательность случайных чисел того же интервала. Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным распределением. На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел т. к. можно оперировать только с конечным множеством чисел, и для получения значений х случайной величины используют формулы; поэтому такие последовательности называют псевдослучайными (ПСЧ). Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 9 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Алгоритмический способ ГСЧ Генерируется дискретная последовательность СЧ длиной 2 N - квазиравномерное распределение Широкое применение при моделировании на ЭВМ получили конгруэнтные процедуры генерации ПСЧ последовательностей, представляющие собой арифметические операции, в основе которых лежит фундаментальное понятие конгруэнтности. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 10 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Конгруэнтные числа Два числа α и β называются конгруэнтными (равными) по модулю М, где М - целое число, тогда и только тогда, когда существует такое целое число к, что - =к. М, т. е. если разность - делится на М и если числа α и β дают одинаковые остатки от деления на абсолютную величину числа М. Например: 1984 -4 (mod 10), 5008 = 8 (mod 103), 1995 = 5 (mod 10), 2007 = 7 (mod 1000). Конгруэнтная процедура получения последовательностей псевдослучайных квазиравномерно распределенных чисел может быть реализована мультипликативным либо смешанным методом. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 11 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Мультипликативный конгруэнтный метод генерации ПСЧ положительные целые числа Для двоичного компьютера : М = 2 g - 1, где g – длина разрядной сетки. Д ля 32 -разрядного компьютера М = 31 – 1 = 2147483647, 2 поскольку один разряд задает знак числа. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 12 "Моделирование", 2013, Лекция 10

ПРИМЕР М = 24 = 16 Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 13 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Длина отрезка апериодичности ГСЧ L - количество случайных чисел, через которое они начинают повторяться Грубая оценка L при заданном M: При М = 2 N N = 4 L = 22 = 4 Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 14 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Моделирование случайных событий 1) Моделирование события А, наступающего с вероятностью Р Генерируем Х - СЧ, равномерно распределенное на инт. 0. . 1 Если - событие наступило, иначе - нет 2) Моделирование группы событий А 1, …, Аn с вероятностями Р 1, …, Рn Полная группа событий Событие Аi : Xi попадает в интервал Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 15 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Алгоритм: моделирование Начало Р …P группы событий 1 n L = 0 ; I = 1 Реализация одного события, ГСЧ для реализации М событий добавляется внешний цикл L: =L + Pi X<=L Ai нет i: =i + 1 AN нет конец i=N-1 Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 16 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Начало Моделирование РА , РВ объединения событий ГСЧ нет X<=РА ГСЧ нет X<=РВ С не С Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 17 конец "Моделирование", 2013, Лекция 10

Начало Моделирование пересечения событий РА , РВ ГСЧ да X<=РА ГСЧ да X<=РВ не С Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 18 конец "Моделирование", 2013, Лекция 10

Моделирование дискретных случайных величин Дискретная случайн ая величина задается рядом своих значений Y 1 , …, Y n c вероятностями Р 1 , …, Рn Если считать, что событие Аi состоит в появлении числа Y i , то для генерации дискретных случайных величин можно использовать алгоритм м оделиро - вани я группы событий А 1 , …, А n с вероятностями Р 1, …, Рn Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 19 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Моделирование непрерывных случайных величин. Метод обратных функций Случайная величина (СВ) F(y) y с функцией распре- 1 деления (ФР) F(y) x Число X = F (y) равномерно распределено на интервале 0. . 1 Y=F-1(x) 0 y F-1 – функция, обратная F Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 20 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Метод обратных функций: примеры 1) Экспоненциальное 2) Равномерное распределение распределение с параметром на интервале от a до b Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 21 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Принцип моделирования параллельных процессов Построение имитационной модели при: 1) наличии ЭВМ с одним процессором; 2) в системе – несколько параллельно протекаю- щих процессов. Возникает проблема синхронизации моделирования Решение: Принцип псевдопараллелелизма: особое представление времени в модели Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 22 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Физическое, модельное и машинное время Физическое (реальное) время – время, в котором развиваются процессы в реальных системах Модельное время – представляет физическое время в программе моделирования Машинное время – время, которое тратит ЭВМ на моделирование Обьект моделирования – вычислительная система (ВС) Процесс выполнения программы в ВС – последовательность событий в физическом (реальном) времени Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 23 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Интерпретация событий в ВС События – изменения состояния обслуживаемой программы : • Инициализация • Начало и завершение обслуживания процессором и другими устройствами и т. д. В интервале времени между событиями программа: • Обслуживается ресурсами ВС • или находится в состоянии ожидания обслуживания ВС рассматривается как система с дискретными событиями: предполагается, что события мгновенны в физическом и модельном времени Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 24 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Методы задания модельного времени Метод Постоянные Отсчет модельного фиксированного интервалы времени и определение шага времени состояний ведется через (Метод Т) временные интервалы равной длины Метод шага до Переменные Модельное время следующего интервалы изменяется и состояние события времени системы обновляется с (Метод S) появлением каждого существенного события Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 25 "Моделирование", 2013, Лекция 10

Критерии применения методов Метод фиксированного Метод шага до шага следующего события • События появляются регулярно и распределены нерегулярно во времени равномерно • События появляются редко и средняя длитель- часто и средняя длитель- ность событий велика ность событий мала Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс 26 "Моделирование", 2013, Лекция 10