ГБОУ ВПО Кировская ГМА Минздрава России Кафедра физики

ГБОУ ВПО Кировская ГМА Минздрава России Кафедра физики и медицинской информатики «Математическая статистика» Лекция «Анализ временных рядов» План лекции: 1. 2. Показатели временных рядов 3. Определение тенденции временного ряда 4. Лектор О. Л. Короткова Основные понятия Прогнозирование временных рядов 1

Временными рядами или рядами динамики называют статистические данные, полученные последовательно во времени в результате наблюдения за развитием изучаемого явления. При описании рядов динамики обязательно должны иметься два основных элемента: • Показатель времени t; • Соответствующий ему уровень развития изучаемого явления Y. Для наглядности и удобства обработки данных при записи временных рядов пользуются таблицами и (или) построением графиков и диаграмм. 2

Пример временного ряда На 1 января МРОТ, руб. 2005 720 2006 800 2007 1100 2008 2300 2009 4330 Графическое представление временного ряда 3

Основные задачи, возникающие при изучении временных рядов: • Характеристика отдельных изменений в уровнях ряда от периода к периоду или от момента к моменту; • Определение средних показателей за тот или иной период; • Выявление основных закономерностей динамики исследуемого явления на отдельных этапах и в целом за рассматриваемый период; • Выявление факторов, обусловливающих изменение изучаемого объекта во времени; • Прогноз развития явления на будущее. 4

Показатели динамики временного ряда При сравнении нескольких последовательных уровней возможны два варианта их сопоставления: 1) Каждый уровень динамического ряда сравнивается с одним и тем же предшествующим уровнем, принятым за основной, базисный уровень. В качестве базисного уровня выбирается либо начальный уровень ряда, или же уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Такое сравнение называется сравнением с постоянной базой. 5

Показатели динамики временного ряда 2) Каждый уровень динамического ряда сравнивается с непосредственно ему предшествующим уровнем этого же ряда. Такое сравнение называется сравнением с переменной базой. 6

• 1) Показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели) характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда от периода к которому относится базисный уровень, до данного (i-го) периода. • 2) Показатели динамики с переменной базой (цепные показатели) характеризуют интенсивность изменения уровня от периода к периоду в пределах изучаемого промежутка времени. 7

Абсолютный прирост Δy характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. • Базисный абсолютный прирост • Цепной абсолютный прирост 8

Темп роста Тр характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде дроби (иногда, в этом случае, называют как коэффициент роста К) или в процентах, тогда Тр=К∙ 100%. • Базисный темп роста • Цепной темп роста 9

Темп прироста Тп характеризует абсолютный прирост в относительных величинах и показывает во сколько раз или на сколько процентов изменился данный уровень. Темп прироста может быть вычислен как разность между темпом роста и 100%: Тп=Тр-100% Темп наращивания Тн определяется как отношение цепного абсолютного прироста к базовому уровню : 10

Абсолютное значение одного процента прироста А равно отношению цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста за соответствующий период: Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же периоды времени показывает, что замедление темпа прироста не всегда сопровождается уменьшением абсолютных приростов. Поэтому, чтобы правильно оценить значение полученного темпа прироста, его рассматривают в сопоставлении с показателем абсолютного прироста. 11

Пример вычисления показателей динамики временного ряда На 1 января Размер МРОТ Абсолютный (руб. , в прирост месяц) ΔΥ Темп роста, Тр% Темп прироста, Тп% момент времени уровень ряда, Y Ц Б Ц Б 2005 720 0 100% 0% 2006 800 80 80 111% 11% 2007 1100 380 138% 153% 38% 53% 2008 2300 1200 1580 209% 319% 109% 219% 2009 4330 2030 3610 188% 601% 88% 501% 12

Средние характеристики временных рядов Методика расчета среднего уровня ряда зависит от вида временного ряда: • Интервальный равноотстоящий ряд • Интервальный неравноотстоящий ряд • Моментальный ряд с равноотстоящими датами • Моментальный ряд с неравноотстоящими датами 13

Средние показатели изменения уровней ряда • Средний абсолютный прирост • Средний темп роста • Средний темп прироста 14

Пример вычисления средних показателей временного ряда • Моментальный ряд с равноотстоящими датами. Хронологическая средняя вычисляется по формуле: 15

Пример вычисления средних показателей временного ряда • Средний абсолютный прирост • Средний темп роста • Средний темп прироста 16

Показатели вариации (колебаний) уровней временного ряда аналогичны показателям вариации признака в статистических совокупностях: • Размах уровней • Среднее линейное отклонение ряда • Среднее квадратичное отклонение • Коэффициент вариации 17

Определение тенденции изменения временного ряда (построение математической модели) • Основная тенденция временного ряда, называемая трендом, проявляется как результат регулярного влияния большого числа факторов на величину уровней временного ряда и представляет собой детерминированную составляющую в формуле: 18

Выделим основные методы выявления основной тенденции (тренда) во временных рядах: 1. 2. Метод графического изображения фактических данных заключается, как видно из названия, в изображении фактических уровней ряда и визуальном определении тенденции развития ряда по расположению точек на плоскости. Метод усреднения по левой и правой половине ряда заключается в разделении ряда на 2 равные части: левую и правую, нахождении в каждой части среднего арифметического значения и проведения через полученные точки линии тренда. 19

3. 4. Метод укрупнения интервалов заключается в укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни, нахождении в каждом укрупненном периоде среднего арифметического значения и проведения через полученные точки ломанной линии, которая будет более «сглаженной» , чем фактическая. Метод скользящей средней заключается в разделении ряда на звенья, причем первое звено начинается с 1 -го уровня, второе – со 2 -го уровня, третье – с 3 -го и т. д. , как бы скользя вдоль ряда. Для каждого звена находится среднее арифметическое значение, которым заменяются фактические уровни, входящие в звено. За временную координату точки берется середина звена. 20

5. Метод аналитического выравнивания заключается в замене фактических уровней Y теоретическими Y*, которые находятся по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, т. е. определяется функция , которая наиболее точно соответствует детерминированной составляющей временного ряда. В тех случаях, когда вид тренда известен (допустим при исследовании графическим методом), остается вычислить параметры функции. В тех случаях, когда вид возможной функции тренда не известен или его трудно сразу оценить, рассматривают несколько наиболее вероятных зависимостей. 21

Удобным критерием является оценка дисперсии отклонений, которая вычисляется по формуле: где Yi – фактические значения временного ряда; Yi* - теоретически вычисленные по выбранной формуле; p – число параметров искомого уравнения. 22

Рассмотрим процесс нахождения линейного тренда в виде уравнения где t - условное время, a и b – параметры уравнения, которые находятся из решения системы уравнений: 23

Для удобства и упрощения решения рекомендуется отсчет времени выбрать таким образом, чтобы Тогда решение системы будет иметь вид: Для этого при нечетном числе уровней ряда за t=0 принимается серединный уровень, уровни расположенные к началу ряда от середины обозначаются натуральными числами со знаком минус, к концу ряда – со знаком плюс. 24

Пример построения линейной модели (тренда) временного ряда На 1 января Размер МРОТ (руб. , в месяц) Условный номер ряда момент времени уровень ряда, Y t t 2 Y·t 2005 720 1 1 720 2006 800 2 4 1600 2007 1100 3 9 3300 2008 2300 4 16 9200 2009 4330 5 25 21650 Сумма столбца 9250 15 55 36470 25

Линейный тренд вычисляем с помощью системы линейных уравнений: Получаем искомую функцию, которая и будет моделью нашей динамической системы: 26

Пример построения линейного тренда 27

Пример построения нелинейного (параболического) тренда 28

Задачу прогнозирования в общем виде можно поставить следующим образом: Имеются экспериментально полученные значения временных рядов. Необходимо составить по этим данным математическую модель и вычислить ожидаемое значение временного ряда в интересующий будущий момент времени. Пример прогнозирования показателей временного ряда по тренду На 1 января Размер МРОТ (руб. , в месяц) момент времени уровень ряда, Y 2010 прогноз Условный номер ряда Теоретическое значение уровня по тренду t линейный полином 6 4466 6866 29