ГБОУ СПО Сызранский механико-технологический техникум Функция нескольких переменных

ГБОУ СПО «Сызранский механико-технологический техникум» Функция нескольких переменных Разработала: преподаватель математики Н. Л. Косырева

Функция n переменных. Переменная u называется функцией n переменных (аргументов) x, y, z, …, t, если каждой системе значений x, y, z, …, t, из области их изменений (области определения), соответствует определенное значение u. Областью определения функции называется совокупность всех точек, в которых она имеет определенные действительные значения. Для функции двух переменных z=f(x, y) область определения представляет некоторую совокупность точек плоскости, а для функции трех переменных u = f (x, y, z) –некоторую совокупность точек пространства.

Функция двух переменных Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значен зависимой переменной z (функции). Данную функцию обозначают следующим образом: z = z(x, y) либо z= f(x, y) , или же другой стандартной буквой: u=f(x, y) , u = u (x, y)

Геометрический смысл функции 2 -х переменных. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью, но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (прямые) либо даже единственную точку.

Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение . Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть. Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой точки существует значение .

Нахождение области определения функции двух переменных. При выяснении области определения обращаем особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д.

Найти область определения функции Решение: так как знаменатель не может обращаться в ноль, то: Ответ: вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой y 5 x 0 5

Найти область определения функции Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: у Ответ: полуплоскость x y =

Найти область определения функции и изобразить её на чертеже Решение: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим: Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое, то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром.

y - x - Ответ: внешняя часть круга

Частные производные, геометрический смысл.

Частное приращение по одному из аргументов Если одному из аргументов функции z = f(x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – это частное приращение функции z по аргументу x; – это частное приращение функции z по аргументу у.

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: – это частная производная функции z по аргументу x; – это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования Частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного. 2 Пример. Найти частные производные функции z=x e x-2 y Решение. Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных Частная производная от функции в точке равна тангенсу угла, составленного осью и касательной к линии , проведенной в .

Полное приращение функции 2 -х переменных Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

Определение дифференцируемой функции Функция называется дифференцируемой в точке М(х, у), если ее полное приращение можно представить в виде где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х, у), А и В –постоянные, независящие от Δx и Δy , o(ρ)-бесконечно малая более высокого порядка, чем -расстояние между М(х, у) и

Определение дифференциала Главная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x, y). Таким образом, .

Формула для вычисления дифференциала Если функция дифференцируема в точке М(х, у), то она имеет в этой точке частные производные и , причем =А, а =В. Таким образом, . Если положить , то