ГБОУ СПО КГИС 1 Презентация по теме

ГБОУ СПО КГИС № 1 Презентация по теме : « Уравнение прямой» Презентация выполнена обучающимся группы: 2 м-18 с специальность : 080501 Менеджмент Муженко Константин Михайлович Преподаватель : Литвинова Ирина Александровна

Пересечение двух прямых. Параллельность и перпендикулярность прямых.

Уравнение прямой. • Уравнение 1 -й степени с 2 -мя неизвестными вида у = ах + b выражается помощью координатных осей в виде прямой линии, которая образует с положительным направлением оси x угол α, определяемый равенством: tg α = а, и отсекает от оси у отрезок, равный b. • Всякая прямая линия может быть выражена уравнением 1 -й степени с двумя неизвестными х и у.

Черт. 1 Прямая АА' (черт. 1) проходит через начало координат О, образуя с Ох острый угол α. • Возьмем на этой прямой произвольную точку М, абсцисса которой есть х = ОВ и ордината у = МВ. Из треугольника ОМВ видно, что y = x tg α, или у = ах, если tg α обозначим а. Выведенное нами уравнение у = ах верно не только для точек полупрямой ОА, но и для точек полупрямой ОА'. Возьмем, напр. , точку M', которой координаты будут: x = — ОВ', у = — M'В'. Из трка ОВ'М' находим: M'B' = B'O tg α, т. е. — y = — x tg α, или y = x tg α. Таким образом, уравнение у = ах верно для всякой точки прямой АА'.

• Если M есть какая-нибудь точка этой прямой, то ее абсцисса х = — ОВ и ордината у =MВ, и мы из трка ОMВ находим: MВ =ОВ tg MОВ, т. е. у = — x tg MОВ. Но tg MOB = tg(180°—α) = — tg α; значит, у = — х( — tg α)= х tg α = ax, если попрежнему обозначим tg α через а. Подобное же уравнение получим и для любой точки M, расположенной на ОА'. Черт. 2 Прямая АА' проходит через начало координат, но образует с Ох не острый угол, а тупой α (черт. 2).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку. • Если прямая у = ах + b проходит через точку (x 1 , y 1 ), то мы должны иметь равенство y 1 = аx 1 + b Вычтя почленно это равенство из уравнения у = ах + b, получим: у — y 1 = а(х — x 1). • Что прямая, определяемая этим уравнением, действительно проходит через точку (x 1 , y 1 ), видно из уравнения непосредственно: подставив вместо х и у соответственноy 1 иx 1 получим тождество: 0 = 0. • Угловой коэффициент а остается неопределенным, так как через одну точку может проходить бесчисленное множество прямых

• Примеры. Уравнение прямой, проходящей через точку (2, 3) будет: у — 3 = а(х — 2); „ ( — 2, 3) „ у— 3 = a(x + 2); „ ( — 2, — 3) „ у + 3 = а(х + 2); , , (0, 3) , , у — 3 = ах; , , (0, 0) „ у = ах.

Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки. • Предположим, что прямая: у — y 1 = а(х — x 1), проходящая через точку (x 1 , y 1 ), проходит еще через другую точку (x 2 , y 2 ). Тогда координаты этой другой точки должны удовлетворять уравнению прямой, и следовательно: y 2 — y 1 = а (x 2 — x 1), откуда находим:

Условия параллельности двух прямых: • Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k 1 = k 2.

Условия перпендикулярности двух прямых: а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. Это условие может быть записано также в виде k 1 k 2 = -1.

• б) Если уравнения прямых заданы в общем виде, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Параллельность и перпендикулярность прямых. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве и перпендикулярность прямой к плоскости находятся в некоторой зависимости. Именно наличие параллельности одних элементов влечёт за собой перпендикулярность других, и, обратно, из перпендикулярности одних элементов можно сделать заключение о параллельности других. Эта связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве выражается следующими теоремами.

• Теорема. Если плоскость (Р, черт. 18) перпендикулярна к одной из параллельных прямых (АВ), то она перпендикулярна и к другой (CD).

• Обратная теорема. Если две прямые (АВ и СD, черт. 19) перпендикулярны к одной и той же плоскости (Р), то они параллельны.

• Теорема. Если прямая (ВВ 1, черт. 20) перпендикулярна к одной из параллельных плоскостей (Р), то она перпендикулярна и к другой (Q).

• Обратная теорема. Если две плоскости (Р и О, черт. 21) перпендикулярны к одной и той же прямой (АВ), то они параллельны.

Пересечение двух прямых • Если две прямые пересекаются, то все их одноименные проекции на комплексном чертеже пересекаются и точки пересечения любых двух проекций будут расположены на одной линии связи.

• На рисунке 214 (а) показаны две пересекающиеся прямые общего положения. В данном случае для суждения о взаимном расположении прямых достаточно двух проекций, так как одноименные фронтальные проекции А 2 В 2 и C 2 D 2, так же как и одноименные горизонтальные А 1 В 1 и C 1 D 1, пересекаются в точках Е 1 и E 2, лежащих на одной линии связи. Но есть исключение, когда нельзя судить о пересечении прямых по двум данным их проекциям. Так, если одна из двух данных прямых (или обе) параллельна к одной из плоскостей проекций рисунка 214(б) , например прямая CD параллельна плоскости П 3 (профильная прямая), то при наличии одноименных проекций фронтальных А 2 В 2 и C 2 D 2 и горизонтальных А 1 В 1 и C 1 D 1 нельзя судить о пересечении двух данных прямых. Необходимо построить третью проекцию, по которой и определить взаимное положение двух прямых.