Гармонический ряд Гармоническим рядом называют сумму

Гармонический ряд

Гармоническим рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных последовательным числам натурального ряда. Его обозначают

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник» : k-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны Гармонический ряд является исторически первым примером численного ряда, члены которого неограниченно убывают и который, несмотря на это, расходится

Расходимость его была доказана Лейбницем в 1678 г. Название ряда объясняется тем, что каждые три последовательных его члена, начиная со второго, un-1, un+1, удовлетворяют одному и тому же правилу: средний член связан с крайними равенством un = 2 un-1 un+1 un-1 + un+1 Подобная зависимость чисел называют гармоническим делением или золотым сечением.

Чтобы доказать расходимость ряда, воспользуемся тем, что переменная величина при неограниченном возрастании n стремится к неперову числу e как к своему пределу, всё время . оставаясь меньше этого предела. Поэтому при любом положительном n имеем

Отсюда или Подставляя в последнее неравенство вместо n числа 1, 2, 3, 4, . . . , получим неравенства:

Складывая почленно эти неравенства, получим: или Sn>ln(n+1) Но а поэтому и т. е. ряд расходится.

Исследовать ряд на сходимость Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом Используем признак сравнения: Если , то

Таким образом, для всех членов ряда выполнено неравенство значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом .