ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ Колебаниями называются периодические процессы. (Процессы обладающие некоторой степенью периодичности). В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают: механические колебания – колебания зданий, деталей машин, маятников, струн, камертонов, частиц среды; электромагнитные колебания – колебания напряжения на обкладках конденсатора и силы тока в катушке колебательного контура радиоприемника; экономические, демографические, популяционные, климатические колебания.
2. КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания. Свободными (или собственными), называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия. Вынужденными называются колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодической силы.
3. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР Простейшими являются гармонические колебания то есть такие, при которых колеблющаяся величина изменяется по гармоническому закону (синус или косинус). Система, в которой некоторая физическая величина совершает колебания по закону синуса или косинуса называется гармоническим осциллятором. Колебания в природе и технике часто имеют характер очень близкий к гармоническим. Негармонические периодические процессы могут быть представлены суммой гармонических колебаний.
4. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ Рассмотрим колебания гармонического осциллятора. Они описываются уравнением
5. ПАРАМЕТРЫ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебаний Величина являющаяся аргументом гармонической функции называется фазой колебаний. Косинус – периодическая функция с периодом радиан. Различные состояния колеблющейся системы повторяются через промежуток времени, называемый периодом, за который фаза колебаний получает приращение радиан:
6. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАНИЙ Закон гармонического движения: Дифференцируя по времени, получим проекцию скорости: Дифференцируя по времени получим проекцию ускорения:
7. ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАНИЙ Квазиупругая сила является консервативной. Ей отвечает потенциальная энергия полная энергия гармонических колебаний должна оставаться неизменной.
8. ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК Маятником называют тело, совершающее колебания под действием силы тяжести. Рассмотрим систему, состоящую из тела массой подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь. В положении равновесия сила тяжести уравновешивается упругой силой Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой причем ось направим вертикально вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия шарика. Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой то удлинение пружины станет равным а проекция результирующей силы примет значение
9. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИКИ Физический маятник – любое твердое тело, совершающее малые колебания относительно оси, не проходящей через его центр масс.
10. ИДЕАЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
11. УРАВНЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к затуханию колебаний. В простейшем и наиболее часто встречающемся случае сила сопротивления пропорциональна скорости:
12. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ Решение дифференциального уравнения движения для затухающих колебаний имеет вид: Движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой и амплитудой – коэффициентом затухания. Определим время за которое амплитуда колебаний уменьшается в e=2, 7 раз: Коэффициент затухания обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.
13. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ Отношение амплитуд, соответствующих моментам времени, различающимся на период, называют декрементом затухания Логарифм отношения амплитуд, отстоящих на период, называется логарифмическим декрементом затухания
14. ДОБРОТНОСТЬ Для характеристики потерь энергии в колебательной системе используется величина, называемая добротностью. Добротность в раз превышает число колебаний совершаемых системой за время в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в раз.
15. ЭНЕРГИЯ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ Полная механическая энергия колебательной системы складывается из кинетической и потенциальной энергии, то есть Для затухающих колебаний Скорость изменения энергии системы равна мощности, развиваемой силой сопротивления: В моменты времени, для которых скорость тела равна нулю мощность силы сопротивления также равна нулю. Во все остальные моменты мощность отрицательна и энергия убывает.
16. УРАВНЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ Рассмотрим движение тела, на которое действуют: возвращающая сила (квазиупругая) сила сопротивления внешняя гармоническая вынуждающая сила с амплитудой Уравнение движения в данном случае будет иметь вид: – амплитуда ускорения и частота внешней вынуждающей силы.
17. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ Уравнение движения вынужденных колебаний является неоднородным: Согласно известной математической теореме, общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, то есть – частота свободных затухающих колебаний.
18. АНАЛИЗ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ Первое слагаемое описывает собственные затухающие колебания системы. Оно играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за множителя роль первого слагаемого уменьшается и им можно пренебречь, оставляя в решении лишь второе слагаемое. Оно представляет собой гармоническое колебание с частотой внешней вынуждающей силы
19. РЕЗОНАНС Амплитуда вынужденных колебаний определяется выражением Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной. Резонансную частоту определим из условия максимального значения амплитуды или минимального значения для подкоренного выражения в знаменателе. Продифференцировав это выражение по и приравняв нулю, получим условие, определяющее резонансную частоту:
20. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ Пусть частица участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одной частоты. Пусть колебания вдоль оси происходят с нулевой начальной фазой, а вдоль оси со сдвигом по фазе на Тогда уравнения колебаний примут вид: Чтобы получить уравнение траектории в явном виде исключим время Из первого уравнения следует, что Подставляя синус и косинус в формулу для получим: уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса в общем случае не совпадают с осями координат.
21. ДВИЖЕНИЕ ПО ПРЯМОЙ Определим форму траектории результирующего колебания для некоторых частных случаев. 1. Пусть В этом случае общее уравнение траектории принимает вид Движение является гармоническим колебанием вдоль прямой с амплитудой 2. Пусть В этом случае Траектория является прямой, лежащей во 2 -м и 4 -м квадрантах.
22. ДВИЖЕНИЕ ПО ЭЛЛИПСУ При общее уравнение траектории принимает вид Это уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При движение по часовой стрелке При движение против часовой стрелки.
23. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ Если то уравнение траектории При равенстве амплитуд эллипс вырождается в окружность. Это означает что равномерное движение по окружности радиуса с угловой скоростью может быть представлена как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний принимает вид Знак «+» в выражении для соответствует движению против часовой стрелки, знак «-» – движению по часовой стрелке.
Скачать презентацию ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1 КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ Колебаниями называются
25 Гармонические колебания++.pptx