Гармоническ ие колебания
Выведем уравнения, описывающие гармонические колебания для рассмотренных видов осцилляторов. Это позволит определить, как получаются формулы для циклической частоты.
Силу, действующую на любой гармонический осциллятор, можно представить из второго закона Ньютона
Сила, действующая на гармонический осциллятор, пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена к положению равновесия. Такая сила аналогична по свойствам упругой силе, поэтому, независимо от физической природы, такая сила называется квазиупругой.
Напишем второй закон Ньютона, в проекции на ось х, для пружинного маятника
Дифференциальное уравнение, описывающее колебания данной системы:
Введя обозначение получим окончательный вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, описывающего гармонические колебания: Решением этого уравнения является фо
Физический маятник О – точка подвеса, С – центр инерции
. . Из уравнения основного закона динамики вращательного движения абсолютно твердого тела: , тогд а При малых углах радианах). Тогда: . sin (в
. Отсюда выводим дифференциальное уравнение собственных колебаний физического маятника:
. Поскольку – собственная циклическая частота колебаний, то дифференциальное уравнение собственных колебаний физического маятника:
Дифференциальное . собственных уравнение колебаний математического маятника :
– собственная циклическая частота. дифференциальное уравнение собственных колебаний математического маятника тоже Тогда можно представить в виде:
Электрический колебательный контур (LC) Уравнение второго закона Кирхгоф на – падение напряжения обкладках конденсатора в LC-контуре
– ЭДС самоиндукции, где i – ток разрядки/зарядки конденсатора.
, Тогда уравнение второго закона Кирхго , , Дифференциальное уравнение собственных колебаний в LC-контуре: или
Электромеханическая аналогия Электрический Механические гармонические осцилляторы Смещение Угол поворота Скорость Угловая скорость Масса Момент инерции x θ колебательный контур Заряд q Ток m Индуктивность Жесткость k Величина, обратная ёмкости конденсатора Сила Момент силы Потенциальная энергия F M U Электродвижущ ая сила Потенциальная энергия электрического поля Кинетическая энергия K Энергия магнитного поля L WЭ WМ
Графическое представление колебаний. Пружинный и физический (математический) маятники Дифференциальное уравнение собственных колебаний можно переписать: Зависимость смещения от времени при условии, что начальная фаза равна
. Потенциальная энергия осциллятора пропорциональна квадрату смещения осциллятора из положения равновесия. Поэтому зависимость потенциальной энергии от времени можно записать:
Графики зависимости смещения и потенциальной энергии U от времени t
. , Зависимость скорости колебания от времени Кинетическая энергия осциллятора пропорциональна квадрату скорости. Поэтому зависимость кинетической энергии от времени
ависимости скорости колебания и кинетической энергии K от времени t
Зависимость ускорения осциллятора от в Возвращающая сила пропорциональна ускорению
Зависимости ускорения и возвращающей силы F от времени t
Еще одним методом изучения гармонических колебаний является метод векторных диаграмм. 1. Рисуем произвольную ось, 2. на ней выбираем начало отсчета, 3. затем рисуем вектор, длина которого равна амплитуде колебаний, 4. а его положение относительно выбранной оси задается углом, равным начальной фазе колебаний. 5. Циклическая частота колебаний
Метод векторных диаграм
Контрольные вопросы 1. Определите, что такое квазиупругая сила 2. Напишите условия вывода дифференциального уравнения для колебаний пружинного, физического и математического маятников 3. Напишите эти условия и уравнение для колебаний в
Скачать презентацию Гармоническ ие колебания Выведем уравнения описывающие
Лекция 2- гармонические колебания динамика.pptx