Гамильтоновы графы Выполнил студент группы ПИ-11 -1

Гамильтоновы графы Выполнил студент группы ПИ-11 -1 Колесников Никита Михайлович

• Гамильтонов граф — в теории графов это граф, содержащий гамильтонову цепь или гамильтонов цикл. • Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом. Гамильтонов цикл является простым основным циклом.

• Граф додекаэдра с выделенным циклом Гамильтона

Додекаэдр • Додекаэдр — это многогранник, гранями которого служат 12 правильных пятиугольников. У него 20 вершин и 30 ребер.

• Гамильтоновы путь, цикл и граф названы в честь ирландского математика У. Гамильтона, который впервые определил эти классы, исследовав задачу «кругосветного путешествия» по додекаэдру, узловые вершины которого символизировали крупнейшие города Земли, а рёбра — соединяющие их дороги.

Необходимое условие • Если неориентированный граф G содержит гамильтонов цикл, тогда в нём не существует ни одной вершины x(i) с локальной степенью p(x(i)) < 2.

Замечание Любой граф G можно превратить в гамильтонов граф, добавив достаточное количество вершин.

• Ясно, что такая цепь должна быть циклом, исключая тривиальный случай, когда является графом. • Если такой цикл существует, то он называется гамильтоновым циклом (путем), но может называться гамильтоновым графом. Граф, который содержит простую цепь, проходящую через каждую его вершину, называется полугамильтоновым. • Примеры:

Фактор графа • Фактором графа (V, E) называется частичный граф (V, E 0), в котором каждая вершина обладает полустепенями исхода и захода, равными 1.

Теорема Дирака. • Если в графе G(V, E) c n вершинами (n ≥ 3) выполняется условие d(v) ≥ n/2 для любого v. V, то граф G является гамильтоновым.

Условие Дирака • Пусть p — число вершин в данном графе; если степень каждой вершины не меньше p/2, чем , то граф называется графом Дирака. Граф Дирака — гамильтонов.

Теорема Оре. • Если число вершин графа G(V, E) n ≥ 3 и для любых двух несмежных вершин u и v выполняется неравенство: • d(u)+d(v) ≥ n и (u, v)E, то граф G — гамильтонов.

Условие Оре • p — количество вершин в данном графе. Если для любой пары несмежных вершин x, y выполнено неравенство d(x) + d(y) >= p , то граф называется графом Оре (словами: степени любых двух несмежных вершин не меньше общего числа вершин в графе). Граф Оре — гамильтонов.

Теорема Бонди-Хватала • Теорема Бонди-Хватала обобщает утверждения Дирака и Оре. Для графа G с n вершинами замыкание определяется добавлением в G ребра (u, v) для каждой пары несмежных вершин u и v, сумма степеней которых не меньше n. • Граф является гамильтоновым тогда и только тогда, когда его замыкание — гамильтонов граф.

• Граф G имеет гамильтонов цикл если выполняется одно из следующих условий: • Условие Поша: d(vk) ≥ k+1 для k < n/2. • Условие Бонди: из d(vi) ≤ i и d(vk) ≤ k => d(vi)+d(vk)≥n (k≠i) • Условие Хватала: из d(vk) ≤ k ≤ n/2 => d(vn-k) ≥ n-k.

Пример графа • Когда не выполняется условие теоремы Дирака, но граф является гамильтоновым. • N = 8; d(vi) = 3; 3 ≥ 8/2 = 4 не гамильтонов граф, но существует гамильтонов цикл: M = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1)

Список литературы • http: //ru. wikipedia. org/wiki/%C 3%E 0%EC%E 8%EB%FC%F 2%EE% ED%EE%E 2_%E 3%F 0%E 0%F 4 • http: //rain. ifmo. ru/cat/view. php/theory/graph-circuits- cuts/hamiltonian-2005 • http: //www. bestreferat. ru/referat-54029. html • http: //www. refstar. ru/data/r/id. 16731_1. html • http: //lmatrix. ru/news/theory/gamiltonov-graf_49. html

Конец